Sức bền vật liệu - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng

CHƯƠNG 7- UỐN PHẲNG THANH THẲNG GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn Nội dung: CHƯƠNG 7- UỐN PHẲNG THANH THẲNG 7.1. Khái niệm 7.2. Uốn thuần túy phẳng 7.3. Uốn ngang phẳng 1. KHÁI NIỆM  Trục thanh bị uốn cong. Thanh nằm ngang  dầm, đà.  Ngoại lực: + P, q  trục dầm. + M  mp chứa trục dầm.  Mặt phẳng tải trọng : mp chứa tải trọng và trục dầm  Đường tải trọng: Giao tuyến MPTT và mặt cắt ngang Mặt phẳng tải trọng Đường tải trọng P1  V2 V1 P2 M0 1. KHÁI NIỆM  Trục thanh bị uốn cong. Thanh nằm ngang  dầm, đà.  Ngoại lực: + P, q  trục dầm. + M  mp chứa trục dầm.  Mặt phẳng tải trọng : mp chứa tải trọng và trục dầm  Đường tải trọng: Giao tuyến MPTT và mặt cắt ngang Mặt phẳng tải trọng Đường tải trọng P1  V2 V1 P2 M0 1. KHÁI NIỆM Giới hạn: + Mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng. + Đường tải trọng  trục đối xứng của mặt cắt ngang.  Trục dầm khi cong vẫn  mặt phẳng : uốn phẳng. + Mặt phẳng đối xứng  mp (trục đối xứng, trục thanh). + Tải trọng MPĐX  MPTT + Chiều rộng m/c ngang bé so với chiều cao y y y yy 1. KHÁI NIỆM  Nội lực: + Lực cắt QY. + Mômen uốn MX.  Phân loại: Uốn thuần túy phẳng: Mx. Uốn ngang phẳng : Qy, Mx z y MX x QY 1. KHÁI NIỆM A B C QY a aL-2a P P Pa MX + - D M0 M0A B A B+ M0 MX M0 - M0 MXCD -Uốn thuần túy phẳng. AC.DB- Uốn ngang phẳng. AB -Uốn thuần túy phẳng. Dầm uốn thuần túy phẳng. 2. UỐN THUẦN TÚY 1. Định nghĩa: Nội lực- Mx. Pa Dấu : Mx > khi căng thớ y > 0. z y MX x 1-1 A B C QY a aL-2a P P MX + - D 1 1  2.1. Định nghĩa 2. UỐN THUẦN TÚY Thí nghiệm và quan sát: z y MX x 1-1 Mặt trung hòa MX Đường trung hòa y MXM0 M0 dz 1 2 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 2. UỐN THUẦN TÚY 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: Các giả thiết: + Mặt cắt ngang phẳng. + Các thớ dọc không ép,đẩy nhau . Lập công thức: z y MX x 1-1 y dAZ ĐTHòa Z + Tại điểm bất kỳ, chỉ có ứng suất pháp Z. + Định luật Hooke: Z = E.Z 2. UỐN THUẦN TÚY 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: B 1 dz 2 MX MX C O2O1 y O' r d y Z Z O1 B1 C1 z y MX x 1-1 y dAZ ĐTHòa Z O1  B + Định luật Hooke: Z = E.Z     r  r rr  r    y d ddy dz dzdy BC BCCB 11 z 2. UỐN THUẦN TÚY 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: + Liên hệ giữa Z và NZ: 0dA.yEdAN AA zZ  r   0dA.yE A  r  0S0dA.y XA  Đường trung hòa qua trọng tâm mặt cắt 2. UỐN THUẦN TÚY 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: + Liên hệ giữa Z và MX: dA.yEdA.yEdA.y.M A 2 A 2 A zx  rr Và x x EI M1  r y I M x x z  Tích EIX gọi là Độ cứng khi uốn của dầm  A 2 X dA.yIVới: - Mômen quán tính m/c đối với trục x 2. UỐN THUẦN TÚY 2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: + Công thức kỹ thuật : y I M x x z  Dấu (+) nếu MX gây kéo tại điểm cần tính ứng suất Dấu (–) nếu MX gây nén tại điểm cần tính ứng suất . z y MX x ĐTHòa + - 2. UỐN THUẦN TÚY 2.3. Biểu đồ ứng suất pháp: + Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trị số ứng suất càng lớn + Những điểm cùng có khoảng cách tới trục trung hòa sẽ có cùng trị số ứng suất pháp. z y MX ĐTHòa - + x + - max min ymax,k ymax,n + Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diển giá trị các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang. 2. UỐN THUẦN TÚY 2.3. Biểu đồ ứng suất pháp: + Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng. z MX + - hx y max min ĐTH O y kmax y nmax 2. UỐN THUẦN TÚY 2.3. Ứng suất pháp cực trị: z MX + - hx y max min ĐTH O y kmax y nmax + Những điểm xa trục trung hòa nhất về phía kéo (nén) có ứng suất max (min ) k x xk x x W M y I M  maxmax n x xn x x W M y I M  maxmin 2. UỐN THUẦN TÚY 2.3. Ứng suất pháp cực trị: z MX + - hx y max min ĐTH O y kmax y nmax + Với n xn xk xk x y IW y IW maxmax ; '  Các Mômen chống uốn khi kéo (nén) của mặt cắt ngang 2. UỐN THUẦN TÚY + Trường hợp đặc biệt- 2.3. Ứng suất pháp cực trị: - y ĐTH- + x max min O y kmax y nmax + Nếu trục x cũng là trục đối xứng ( mặt cắt chữ nhật, dạng chữ nhật, tròn, ,) thì : 2maxmax hyy nk  h IWWW xx n x k x 2  x x W M  minmax x x W M  minmaxvà 2. UỐN THUẦN TÚY  Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h : 2.4. Mômen chống uốn của các mặt cắt thường gặp: x x W M  minmax 6 ; 12 23 bhWbhI xx  4 4 x D05,064 DI   Mặt cắt ngang hình tròn đường kính D : 3 3 x D1,032 DW  y nmax- y ĐTH- + x max min O y kmax+ MX z - y ĐTH- + x max min O y kmax y nmax +z MX 2. UỐN THUẦN TÚY  Mặt cắt ngang các thép hình I, C : WX tra bảng 2.4. Mômen chống uốn của các mặt cắt thường gặp: x x W M  minmax  Mặt cắt ngang vành khăn D, d : )1( 64 DI 4 4 x    )1( 32 DW 4 3 x    y O D/2 D/2 x d  = d/D y x h/2 h/2 y x h/2 h/2 2. UỐN THUẦN TÚY 2.5. Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản:  Điều kiện bền: + Dầm bằng vật liệu dòn:  k  n + Dầm bằng vật liệu dẻo:  k =  n =  min  n max   k max max, min   Ba bài toán cơ bản: Kiểm tra bền, chọn kích thước mặt cắt ngang, chọn tải trọng cho phép. 2. UỐN THUẦN TÚY Thí dụ 1: Bài toán cơ bản 1- Kiểm tra bền Thí dụ 7.1 Mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược , mômen uốn Mx = 7200 Nm. Kiểm tra bền biết rằng: Ix = 5312,5 cm4 Vật liệu có : [s ]k = 2000 N/cm2; [s]n = 3000 N/cm2 z MX x y O 12,5cm 7,5cm 2. UỐN THUẦN TÚY Giải Ta có: y kmax = 7,5 cm y nmax = 12,5cm   2k2 2 k max x x max cm/N2000cm/N5,10235,75,5312 107200y I M       2n2 2 n max x x min cm/N3000cm/N1,16945,125,5312 107200y I M     Thí dụ 1: Bài toán cơ bản 1- Kiểm tra bền + - max min z MX x y O 12,5cm 7,5cm Kết luận: Mặt cắt đảm bảo điều kiện bền 2. UỐN THUẦN TÚY Thí dụ 2: Bài toán cơ bản 2- Chọn mặt cắt ngang 4m  M0 M0=60kNm A B x   a) b) Cho dầm chịu lực như hình. +Trường hợp a): Mặt cắt ngang  Chọn số hiệu của thép chữ  để dầm thỏa điều kiện bền. trong 2 trường hợp. Biết [s ] = 16 kN/cm2. +Trường hợp b): Mặt cắt ngang ghép bởi 2 thép  2. UỐN THUẦN TÚY  Dầm chịu uốn thuần túy; mọi mặt cắt ngang của dầm có mômen uốn Mx=60 kNm. Thí dụ 2: Bài toán cơ bản 2- Chọn mặt cắt ngang 4m M0  BA M0 M0=60kNm A B x   a) b) Mx Giải  Vẽ biểu đồ nội lực. 3 2 max x cm 37516 10.60 ][ MW    Từ điều kiện bền, ta có:  Trường hợp 1: Chọn 1 thép I 27 có WX=371cm3  Trường hợp 2: Chọn 2 thép I 20 có WX=2x184=368cm3 2. UỐN THUẦN TÚY Thí dụ 3: Bài toán cơ bản 3- Định tải cho phép 1) Dầm bằng gang có mặt cắt ngang như hình. Xác định trị số mômen uốn M0 cho phép (chiều M0 như hình vẽ). Biết: [s ] k = 1,5 kN/cm2 . 2) Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho biết Ix = 25470 cm4 19,2cm 10,8cm M0 x y z 2. UỐN THUẦN TÚY Thí dụ 3: Bài toán cơ bản 3- Định tải cho phép Giải 19,2cm 10,8cm M0 x y z  Từ điều kiện bền:  kkmax x x max yI M    Ncmk5,3537 8,10 254705,1 y IM k max x kx    Ncmk5,3537Mx   Tương ứng, ta có:   2 maxmin N/cm 67,2 19,2 54702 5,3537 ky I M n x x  3. UỐN NGANG PHẲNG Dầm uốn ngang phẳng: 3.1. Định nghĩa- Nội lực Mặt cắt ngang có 2 nội lực: + Mômen uốn Mx + Lực cắt Qy P Mx QY + P PL L 1 1 1-1 MX y x z QY zy z z 3. UỐN NGANG PHẲNG 1. Thí nghiệm và quan sát: 3.2. Các thành phần ứng suất zz  yz  zy a) b) dz P P 1 2 Sau biến dạng các góc vuông không còn vuông 2. Trạng thái ứng suất: + Ứng suất pháp z do mômen Mx + Ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy. Tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có: 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.3. Công thức tính ứng suất pháp + Công thức đại số 1-1 MX y x z QY zy z z y I M x x z  y I M x x z  + Công thức kỹ thuật z y MX x ĐTHòa + - 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.4. Công thức tính ứng suất tiếp 1 2 dz Mx + dMx Nz Mx Qy Qy P Mx QY + P PL L 1 2 Mx Mx+dMx dz MX Qy y y x z Ox Qy MX+dMx 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.4. Công thức tính ứng suất tiếp - Ứùng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt. Giả thiết: - Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao. dz MX Qy zy y y x z z1 z2 O yz x Qy MX+dMx AC B'B 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.4. Công thức tính ứng suất tiếp dz MX Qy zy y y x z z1 z2 O yz x Qy MX+dMx AC B'B 0dzbdAydAy cyzA 2ZA 1Z cC   Công thức: Z = 0 0dzbdAy I dMM dAy I M c yzA x xx A x x c C       với: AC- Diện tích cắt bC - Bề rộng cắt 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.4. Công thức tính ứng suất tiếp dz MX Qy zy y y x z z1 z2 O yz x Qy MX+dMx AC B'B Công thức Zurápski: - Mômen tĩnh của diện tích cắt ra đối với trục x        cAcx x yzzy ydAbIdz dM 1   cAcx y yzzy ydAbI Q  c x c xy yzzy bI SQ    cA c x ydASVới: 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp c x c xy zy bI SQ  Với: a) Mặt cắt chữ nhật: Từ maxMX Qy zy y y x z Ox AC B B' h b - max min + x h/2 bC = b )y 4 h( 2 b)y 2 h( 2 1)y 2 h(bS 2 2 c x         2 2 x y zy y4 h I2 Q A Q 2 3 y max  ở điểm trên trục x  =0 ở các điểm biên trên, dưới 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp c x c xy zy bI SQ  Với: b) Mặt cắt tròn: Từ        2 2 y zy R y1 A3 Q4 A Q 3 4 y max  ở điểm trên trục x  =0 ở các điểm biên trên, dưới - max min + x D/2 max y MX Qy zy OR bC D y x 22C yR2b  322c x )yR(3 2S  3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp Với: c) Mặt cắt I: Từ y x h/2 h/2 d t b x y zy trong bản bụng: c x c xy zy bI SQ  zy x y h/2 h/2 t y d 2 yydSS X C X  bC = d SCX - Mômen tĩnh của nửa mặt cắt I đối với trục x 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp Điểm trên trục x        2 2ydS dI Q x x y zy dI SQ X Xy max         2 hdS dI Q 21 x x y 1 Điểm tiếp giáp cánh và bụng khi y=h1/2 zy x y h/2 h/2 h1 y d t max 1  zy trong bản bụng: 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp  zy trong bản cánh: Bé zy = 0 ở biên trên, dướiù zy x y h/2 h/2 h1 y d t max 1 zx trong bản cánh: zx x y h/2 h/2 d t zx x zx              2 t 2 hx 2 btSCX bC = t              2 t 2 hx 2 b I Q X Y zx Biểu đồ phân bố zx bậc 1 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.5.c. Phân bố ứng suất trên mặt cắt I zy do QY zy x y h/2 h/2 h1 y d t max 1 - max min + x 1 1 zmax min 1 1 z do MX 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng zy x y h/2 h/2 h1 y d t max 1 - max min + x 1 1 zmax min 1 1  Những điểm ở biên trên và dưới:  = 0, chỉ có max, min Trạng thái ứng suất đơn max min + QmaxMmax min max max - max    3. UỐN NGANG PHẲNG 3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng  Những điểm ở biên trên và dưới:  = 0, chỉ có max, min Trạng thái ứng suất đơn Điều kiện bền: + Vật liệu dòn:  k  n + Vật liệu dẻo:  k =  n =  min  n max   k max max, min  Mặt cắt có trị số MX lớn nhất. 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng  Những điểm ở trên trục x ( trung hòa):  = 0, chỉ có  TTỨS trượt thuần túy Điều kiện bền: + Vật liệu dòn:  k  n + Vật liệu dẻo:  k =  n =  * Thuyết bền 3 ( TB ứng suất tiếp):   /2 * Thuyết bền 4 ( TB Thế năng):   /√3 n k ][ ][   Với:t5= 1 -  3   k* Thuyết bền 5 : Mặt cắt có trị số QY lớn nhất. 3. UỐN NGANG PHẲNG 3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng  Những điểm bất kỳ ( tiếp giáp cánh và bụng thép I): Có 1 , 1 khá lớn TTỨS phẳng đặt biệt Điều kiện bền: + Vật liệu dòn:  k  n + vật liệu dẻo:  k =  n =  n k ][ ][   Với:t5= 1 -  3   k* Thuyết bền 5 : Mặt cắt có MX và QY cùng lớn. * Thuyết bền 3 : √(1)2 + 4(1)2   * Thuyết bền 4 : √(1)2 + 3(1)2   3. UỐN NGANG PHẲNG 3.7. Ba bài toán cơ bản của dầm uốn phẳng  Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền  Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang Dựa vào điều kiện bền của điểm chỉ có  max , min để chọn sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với các điểm ở trạng thái ứng suất khác . Nếu không đạt thì thay đổi kích thước mặt cắt ngang. Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép. Từ điều kiện bền của điểm chỉ có  max , min , xác định sơ bộ tải trọng cho phép . Sau đó tiến hành kiểm tra bền các điểm còn lại