Thiết kế hệ thống điều khiển

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ThS. Nguyễn Hữu Quang Bộ môn GCVL & DCCN Nội dung môn học (dự kiến) • Giới thiệu • Mô hình toán học của các hệ thống kỹ thuật • Phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển • Ứng dụng phần mềm MATLAB • Phần tùy chọn (thay thế cho bài thi giữa kỳ): Project “Điều khiển tốc độ động cơ một chiều, sử dụng vi điều khiển” 2 Tài liệu tham khảo chính • Lý thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Doãn Phước • Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động – Nguyễn Phùng Quang • Modern control engineering – 4th – Katsuhiko Ogata (pdf file) 3 PHẦN MỘT: MÔ HÌNH TOÁN HỌC • Mô hình phương trình vi phân • Mô hình hàm truyền đạt • Mô hình trạng thái • Tuyến tính hóa mô hình 4 Phương trình vi phân • Mô tả hệ thống kỹ thuật bằng phương trình vi phân Ví dụ 1: Hệ vật – lò xo M ky r(t) y by ( ) ( ) ( ) ( )2 2d y t dy tM b ky t r tdt dt+ + =Áp dụng định luật Newton: 5 Phương trình vi phân • Ví dụ 2: Động cơ một chiều kích thích bằng nam châm vĩnh cửu ( )mT t Mô-men động cơ Tốc độ góc Mô-men cản nhớt u bE m mT k i= b diL u Ri e dt = − − b me k ω= m d f dJ T T k dt ω ω= − − ( ) ( )2 22 f m f m dd dJL JR Lk k Rk k u RTdt dtω ω ω+ + + + = −Suy ra: 6 Mô hình hàm truyền đạt • Phép biến đổi Laplace: • Phép biến đổi Laplace ngược: ( ) ( ) ( ) 0 stf t F s f t e dt ∞ −⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫L ( ) ( ) ( )1 1 0 2 c j st c j F s f t F s e ds t jπ + ∞ − − ∞ ⎡ ⎤ = = >⎣ ⎦ ∫L , 7 Mô hình hàm truyền đạt • Một số tính chất của phép biến đổi Laplace: 8 Mô hình hàm truyền đạt • Khái niệm: Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính tham số hằng là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0. • Xét hệ mô tả bằng ptvp: Với giả sử các điều kiện đầu bằng 0 và . Hàm truyền đạt của hệ là: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 1 1 0... ... n n m m n n m ma y a y a y a y b u b u b u b u − − − −+ + + + = + + + +  ( ) ( )( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 ... ... m m m m n n n n Y s b s b s b s bG s U s a s a s a s a − − − − + + + += = + + + + n m≥ 9 • Ví dụ: Hàm truyền đạt của động cơ một chiều Mô hình hàm truyền đạt ( ) ( )( ) ( )( ) 2m f m s kG s u s Ls R Js k k ω= = + + + R = 2.0; % Ohms L = 0.5; % H Km = 0.1; % Hằng số động cơ Kf = 0.2; % Nms/rad J = 0.02; % kg.m^2 2 0.1 0.01 0.14 0.41 G s s = + + 10 Mô hình hàm truyền đạt • Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối: Hình 1: Biểu diễn một khối 11 Hình 2: Biểu diễn một hệ kín Mô hình hàm truyền đạt • Rút gọn sơ đồ khối: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 C s G s G s R s = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 C s G s G s R s = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 21 C s G s R s G s G s = + 12 Mô hình không gian trạng thái • Trạng thái của một hệ thống là tập hợp các biến mà giá trị của biến cùng với giá trị của tín hiệu vào sẽ cho phép xác định trạng thái tương lai của hệ thống, và tín hiệu ra của hệ thống. • Mô hình trạng thái của hệ thống: Hệ ptvp bậc nhất của các biến trạng thái 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m n n m m n n n nn n n n nm m x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u = + + + + + + + +⎧⎪ = + + + + + + + +⎪⎨⎪⎪ = + + + + + + + +⎩    x Ax Bu= + 13 Mô hình không gian trạng thái • Ví dụ: Mô hình trạng thái của động cơ một chiều 1m fm d kdi R i u dt L L L kk Td i dt J J J ω ω ω ⎧ = − − +⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩ 1 1 m f dm kR ui id L L k Tdt L Jk J J ω ω ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠ 14 Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến • Đối tượng bình mức: iQ maxiQ oQ Lưu lượng nước chảy ra khỏi bình Lưu lượng nước chảy vào bình Lưu lượng nước chảy vào bình max H Mức nước trong bình maxH Mức nước cao nhất trong bình A Tiết diện bình a Tiết diện đường ống dẫn nước ra khỏi bình V Thể tích nước trong bình g Gia tốc trọng trường (9.8 ) p Vị trí góc mở của van lưu lượng, thay đổi từ 0 tới 1 15 Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến • Đối tượng bình mức: 2oQ a gH=Pt Berloulli: i o dV dHQ Q A dt dt − = =Pt cân bằng vật chất: max maxi i iQ pQ Q u= = ∫Lưu lượng vào phụ thuộc góc mở van max 2i i i dHA Q a gH dt dQ Q u dt ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ Phi tuyến Suy ra: 16 Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến • Đối tượng bình mức: Đặt 0H H h= + 2i dHA Q a gH dt = − ( ) ( )0 02id H hA Q a g H hdt +⇔ = − + 0 0 2 1i dh hA Q a gH dt H ⇔ = − + 0 0 1 1 2 h h H H + ≈ +Ta có công thức xấp xỉ: ( ) 0 0 0 0 2 1 2 2 2 i i dh hA Q a gH dt H ga h Q a gH H ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ 17 Suy ra: 0 max 2 i dh a g qh dt A H A dq Q u dt ⎧ ⎛ ⎞= − +⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ =⎪⎩ Đặt 02iQ a gH q− = Tuyến tính !!! Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến • Đối tượng bình mức: Mô hình hàm truyền: ( ) ( )( ) max 0 0 2 1 21 ih s Q HG s u s a g HAs s a g = = ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ Hệ thống cụ thể: Tham số Giá trị A 1 a 0.05 0.5 2 1 maxiQ maxH 0H ( ) ( ) 4.5175 1 9.0351 G s s s = + 18 PHẦN HAI: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG • Khảo sát hệ bậc nhất • Khảo sát hệ bậc hai • Phân tích tính chất ổn định của hệ – Phân tích tính chất ổn định trên miền thời gian; – Phân tích tính chất ổn định trên miền tần số. • Phân tích sai lệch tĩnh • Ảnh hưởng của khâu trễ 19 Khảo sát hệ bậc nhất: ( ) • Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: 1G s = Ts +1 ( ) /1 t Ty t e−= −y(t) 20 Khảo sát hệ bậc nhất: ( ) • Đáp ứng với tín hiệu ramp: 1G s = Ts +1 ( ) /t Ty t t T Te−= − +y(t) y(t) ( )e T∞ = 21 Khảo sát hệ bậc nhất: ( ) • Đáp ứng với tín hiệu xung: 1G s = Ts +1 ( ) /1 t Ty t e T −=y(t) y(t) 22 23 Khảo sát hệ bậc hai: • Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực thực phân biệt 1 2 ns s ω= = − ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω 1ζ > 2 1,2 1n ns ζω ω ζ= − ± − Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .( ) 1 2 2 1 2 1 11 2 1 s t s tny t e e s s ω ζ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟− ⎝ ⎠ • Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực thực trùng nhau Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .( ) ( )1 1 ntny t t e ωω −= − + 1ζ = • Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực phức liên hợp 0 1ζ< < 2 1,2 1n ns jζω ω ζ= − ± − Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .( ) ( ) 2 11 sin 1 nt dy t e t ζω ω θζ −= − +− Trong đó: . 2 2 1 11 , tand n ζω ω ζ θ ζ − −= − = 24 Khảo sát hệ bậc hai: ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω • Trường hợp : Vị trí các điểm cực phức trên mặt phẳng phức 0 1ζ< < -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.220.420.60.740.84 0.91 0.96 0.99 0.220.420.60.740.84 0.91 0.96 0.99 0.20.40.60.811.21.4 Pole-Zero Map Real Axis I m a g i n a r y A x i s Khảo sát hệ bậc hai: ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω • Ứng dụng Matlab: Vẽ đáp ứng quá độ của hệ bậc hai 25 wn=1; for zeta=[0,0.1,0.4,0.7,1.0,1.4,2.0] sys=tf(wn*wn,[1,2*zeta*wn,wn*wn]); step(sys,20) gtext(['\zeta =',num2str(zeta)]) hold on %pause end 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 ζ =0 ζ =0.1 ζ =0.4 ζ =0.7 ζ =1 ζ =1.4 ζ =2 Step Response Time (sec) A m p l i t u d e Khảo sát hệ bậc hai: ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω • Định nghĩa các chỉ tiêu đáp ứng quá độ: 26 27 Khảo sát hệ bậc hai: • Ví dụ: Chọn K,p sao cho: P.O không quá 5% và thời gian xác lập không quá 4s. ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω 28 Khảo sát hệ bậc hai: • Kiểm chứng trên Matlab & Simulink ( ) 2n2 2 n n ωG s = s + 2ζω s +ω Step Response Time (sec) A m p l i t u d e 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Phân tích tính chất ổn định • Khái niệm: Một hệ thống ổn định là hệ thống có tín hiệu ra bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn. • Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính tham số hằng (LTI) ổn định là hệ có tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo, hay có phần thực âm. 29 30 Phân tích tính chất ổn định Phân tích tính chất ổn định 31 • Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz: cho phép xác định được số điểm cực nằm bên phải trục ảo mà không cần phải giải ptđt. • Xét hệ có phương trình đặc trưng: • Lập bảng Routh như sau: 1 0 1 1... 0 n n n na s a s a s a − −+ + + + = Phân tích tính chất ổn định • Một số ví dụ: – Ví dụ 1: – Ví dụ 2: Điều kiện ổn định của hệ bậc hai – Ví dụ 3: Điều kiện ổn định của hệ bậc ba – Ví dụ 4: Xác định hệ số khuếch đại K làm hệ kín ổn định Zero -Pole 1 (s+2)(s+3)(s+5) Step ScopeGain K 32 Phân tích tính chất ổn định • Phương pháp Routh-Hurwitz: Các trường hợp đặc biệt – Ví dụ 5: – Ví dụ 6: 35632 10)( 2345 +++++= ssssssT 5684267 10)( 2345 +++++= ssssssT 33 Phân tích đáp ứng tần • Khái niệm: Đáp ứng tần của hệ là đáp ứng xác lập của hệ với tín hiệu vào là tín hiệu sin. • Khi kích thích hệ LTI bằng tín hiệu sin thì đáp ứng xác lập cũng là tín hiệu sin với cùng tần số, nhưng khác về biên độ và góc pha. • Hàm đặc tính tần: • Một số phương pháp đồ họa biểu diễn đáp ứng tần: – Biểu đồ Bode; – Biểu đồ Nyquist; – Biểu đồ Nichol. ( ) ( ) ( )( )s jw Y jw G jw G s X jw= = = 34 Phân tích đáp ứng tần • Tần số gãy • Tần số cộng hưởng • Dải thông 35 Phân tích đáp ứng tần • Độ dự trữ biên: • Độ dự trữ pha: 36 Phân tích sai lệch tĩnh 37 PHẦN BA: THIẾT KẾ HTĐK • Điều khiển vòng kín và điều khiển vòng hở (chap. 4-MCS) • Phương pháp quỹ đạo nghiệm • Bộ điều khiển PID • Cấu trúc điều khiển tầng • Phương pháp gán điểm cực • Điều khiển tối ưu LQR • Cơ sở điều khiển số 38 Open-loop vs Closed-loop • Ưu điểm của cấu trúc điều khiển phản hồi: – Giảm độ nhạy với sai lệch mô hình; – Bền vững với nhiễu quá trình và nhiễu đo; – Điều chỉnh được sai lệch tĩnh và các chỉ tiêu đáp ứng quá độ; • Nhược điểm của cấu trúc điều khiển phản hồi: – Hệ thống phức tạp hơn; – Chi phí thực hiện hệ thống cao hơn (Cảm biến thường là thành phần có giá cao nhất trong một hệ thống điều khiển); – Cảm biến và hệ thống đo sẽ đưa thêm nhiễu và yếu tố bất định vào hệ thống. – Hệ thống có thể mất ổn định ? 39 Phương pháp quỹ đạo nghiệm • Vấn đề: Khảo sát sự thay đổi vị trí các điểm cực khi có một hệ số trong mô hình của hệ thống thay đổi? • Xét hệ có ptđt: . Khi K thay đổi, điểm cực của hệ phải thỏa mãn các điều kiện sau: – Điều kiện pha: – Điều kiện biên: 1 ( ) 0KG s+ = ( ) 180 360KG s k∠ = °+ ° ( ) 1KG s = 40 Phương pháp quỹ đạo nghiệm • Một số tính chất của quỹ đạo nghiệm khi : – Quỹ đạo nghiệm có dạng đối xứng qua trục thực; – Quỹ đạo nghiệm có n nhánh, mỗi nhánh bắt đầu từ một điểm cực của G(s). – Quỹ đạo nghiệm có m nhánh kết thúc tại các điểm không của G(s), và n-m nhánh kéo ra vô cùng. (Giả sử n≥m). – Tất cả các điểm trên trục thực nằm bên trái tổng số lẻ các điểm cực và điểm không của G(s) đều thuộc quỹ đạo nghiệm. – n-m nhánh kéo ra vô cùng đều có đường tiệm cận. Các đường tiệm cận đó cùng cắt trục thực tại một điểm: và hợp với trục thực một góc: 0 K≤ ≤ ∞ 0 1 1 1 n m i ir p zn m ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑ ∑ 2 1 , 0,1,..., 1i i i n m n m γ π+= = − −− 41 Phương pháp quỹ đạo nghiệm • Khảo sát quỹ đạo nghiệm với Matlab: – rlocus; – sgrid; – rlocfind. • Ví dụ: num=[0 0 0 1]; den=[1 4 5 0]; rlocus(num,den) v=[-3 1 -2 2];axis(v);axis equal sgrid([0.5,0.707],[0.5,1,2]) title('Root-Locus Plot') -3 -2 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5 0.707 0.5 0.707 0.512 Root-Locus Plot Real Axis I m a g i n a r y A x i s 42 Phương pháp quỹ đạo nghiệm 43 • Ví dụ: Cho hàm truyền đạt hệ hở là . Vẽ quỹ đạo nghiệm của hệ kín và xác định hệ số K sao cho hệ kín có một cặp nghiệm phức liên hợp với hệ số ? Tính tần số tự nhiên tương ứng với cặp nghiệm đó? ( )( )1 2 K s s s+ + 0.5ς = sys=zpk([],[-2 -1 0],1); rlocus(sys) sgrid(0.5,[]) [K,r]=rlocfind(sys) nω -8 -6 -4 -2 0 2 4 -5 0 5 0.5 0.5 Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s K = 1.0292 r = -2.3315 -0.3342 + 0.5742i -0.3342 - 0.5742i 0.3342 0.6684n nζω σ ω= = ⇒ = Bộ điều khiển PID ( ) • Luật điều khiển PID: 1= 1ic p d p d i KG s K K s K T s s T s ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( )p i d de tu t K e t K e t dt K dt= + +∫ • Hàm truyền của bộ điều khiển PID: • Chú ý: Thành phần vi phân trong thực tế là , với rất nhỏ so với hằng số thời gian của đối tượng cần điều khiển. ( ) 1 d d d K sG s sτ= + dτ 44 Bộ điều khiển PID • Xu hướng ảnh hưởng của các tham số PID tới đáp ứng của hệ thống: -GiảmGiảm-Kd Triệt tiêuTăngTăngGiảmKi Giảm-TăngGiảmKp SS ErrorSettling TimeOvershootRise Time 45 Bộ điều khiển PID • Phương pháp Ziegler-Nichols thứ nhất: 46 Bộ điều khiển PID • Phương pháp Ziegler-Nichols thứ hai: 47 48 -20 -15 -10 -5 0 5 10 -15 -10 -5 0 5 10 15 Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s • Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai, cho đối tượng . Bộ điều khiển PID ( ) ( )( ) 1 1 5 G s s s s = + + I m a g i n a r y A x i s System: G Gain: 29 Pole: -0.00354 + 2.2i Damping: 0.00161 Overshoot (%): 99.5 Frequency (rad/sec): 2.2 29; 2.2; 2 2.856 cr cr cr cr K P ω π ω = = = = 17.4; 1.428; 0.357; p i d K T T = = = 49 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Step response w ith Kp=17.4,Ti=1.428,Td=0.357 Time (sec) A m p l i t u d e • Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai, cho đối tượng . Bộ điều khiển PID ( ) ( )( ) 1 1 5 G s s s s = + + 50 • Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai, cho đối tượng . Bộ điều khiển PID ( ) ( )( ) 1 1 5 G s s s s = + + 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Step response w ith f ine tuned Kp,Ti,Td Time (sec) A m p l i t u d e Bộ điều khiển PID • Phương pháp tối ưu độ lớn: ( ) 1 , 2 I PID I KG s K s kT = =( ) 1 kG s Ts = + ( ) 1 1 2 11 , , 2PID P P II TG s K K T T T s kT ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠( ) ( )( )1 21 1 kG s T s T s = + + ( ) ( )( )( )1 2 31 1 1 kG s T s T s T s = + + + ( ) 1 2 1 21 2 3 1 2 11 , , , 2PID P D P I DI T T TTG s K T s K T T T T T s kT T T ⎛ ⎞ += + + = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ 51 Bộ điều khiển PID • Phương pháp tối ưu độ lớn: Ví dụ động cơ một chiều 52 ( )( )2 0.1 0.2439 0.01 0.14 0.41 1 0.2397 1 0.1018 G s s s s = =+ + + + 4.8295 0.2397 P I K T = = 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (sec) A m p l i t u d e Bộ điều khiển PID • Phương pháp tối ưu đối xứng: ( ) ( )1 kG s s Ts = + ( ) 1 1 1 11 , , PID P P I I G s K K T aT T s kT a ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( )( )1 21 1 kG s s T s T s = + + ( ) 2 1 2 1 11 , , , , A B A B PID P D P I A B D I B A B A B T T T TG s K T s K T T T T T s T T TkT a T T T aT ⎛ ⎞ += + + = = + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ = = 53 Bộ điều khiển PID • Phương pháp tối ưu đối xứng: ví dụ bình mức ( ) ( ) 4.5175 1 9.0351 G s s s = + 0.0123 36.1404 P I K T = = 0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 Time (s) A m p l i t u d e Step response 54 Bộ điều khiển PID • Phương pháp tối ưu đối xứng: ví dụ bình mức ( ) ( ) 4.5175 1 9.0351 G s s s = + 55 0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 Step Response Time (sec) A m p l i t u d e Đáp ứng khi có thêm khâu lọc trước. 0.0123 36.1404 P I K T = = • Phương pháp tối ưu theo tiêu chuẩn tích phân Bộ điều khiển PID 56 Cấu trúc điều khiển tầng Áp dụng cấu trúc điều khiển tầng cho đối tượng động cơ DC ? 57 Phương pháp gán điểm cực • Bài toán: Xét hệ SISO Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái , với sao cho hệ kín có các điểm cực mong muốn ? • Nhận xét: Điểm cực của hệ kín là trị riêng của ma trận . Nói cách khác, vector K phải thỏa mãn phương trình sau: u Kx= − ( )A BK− x Ax Bu y Cx Du = +⎧⎨ = +⎩  ( )1 2, ,..., ns s s ( ) ( )( ) ( )1 2det ... nsI A BK s s s s s s− + = − − − Đồng nhất các hệ số hai vế của phương trình để tìm vector K. [ ]1 2, ,..., nK k k k= 58 Phương pháp gán điểm cực • Tính chất điều khiển được: Một hệ được gọi là điều khiển được nếu từ bất kỳ trạng thái ban đầu x0 nào cũng tồn tại tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ tới trạng thái mong muốn xT sau khoảng thời gian hữu hạn. • Điều kiện kiểm tra tính điều khiển được (tiêu chuẩn Kalman): • Điều kiện cần và đủ để bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực có lời giải là hệ được xét phải điều khiển được. 2 1[ , , ,... ]nrank B AB A B A B n− = 59 Phương pháp gán điểm cực Ví dụ 1: Xét hệ , với x Ax Bu= + 0 1 0 0 0 0 1 , 0 1 5 6 1 A B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Kiểm tra tính điều khiển được: Tìm vector phản hồi trạng thái K sao cho hệ kín có các điểm cực: ( )2 0 0 1 0 1 6 , 3 1 6 31 M B AB A B rank M ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ Có thể tìm được vector K thỏa mãn bài toán. 1,2 32 4 , 10s j s= − ± = − 60 Phương pháp gán điểm cực ( ) Vì hệ bậc 3 nên ma trận K có dạng: K=[k1,k2,k3]. Phương trình đặc trưng của hệ kín: ( ) ( )3 23 2 1det 6 5 1sI A BK s k s k s k− + = + + + + + + Phương trình đặc trưng mong muốn: ( )( )( ) 3 22 4 2 4 10 14s 60s 200s j s j s s+ − + + + = + + + Đồng nhất hệ số ta có: 1 2 3199, 55, 8k k k= = = [ ]199,55,8K = Bộ điều khiển phản hồi trạng thái: 1 2 3199 55 8u Kx x x x= − = − − − 61 Phương pháp gán điểm cực • Trường hợp mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển: 0 1 2 1 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... , ... 0 0 0 ... 1 0 ... 1n A B a a a a − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ Phương trình đặc trưng của đối tượng: 11 1 0... 0 n n ns a s a s a − −+ + + + = 62 Phương pháp gán điểm cực • Trường hợp mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 3 1 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 ... n n A BK a k a k a k a k− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− + − + − + − +⎣ ⎦ Đa thức đặc trưng của hệ kín: ( ) ( ) ( )11 1 2 0 1...n nn ns a k s a k s a k−−+ + + + + + + Đa thức đặc trưng mong muốn: ( )( ) ( ) 11 2 1 1 0... ...n nn ns s s s s s s s sα α α−−− − − = + + + + Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai đa thức đặc trưng ta có: 1 0 0 2 1 1 1 1 , ,..., n n nk a k a k aα α α − −= − = − = − 63 Phương pháp gán điểm cực ( Xem xét ví dụ trước, mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển, với: )( )( ) 3 22 4 2 4 10 14s 60s 200s j s j s s+ − + + + = + + + 0 1 21 , 5 , 6a a a= = = Phương trình đặc trưng mong muốn là: Tức là: 0 1 2200 , 60 , 14α α α= = = Vậy suy ra: 1 2 3199 , 55 , 8k k k= = = 64 Phương pháp gán điểm cực • Nếu mô hình trạng thái chưa ở dạng chuẩn điều khiển, có thể chuyển mô hình về dạng chuẩn điều khiển nhờ phép đổi biến , với ma trận T xác định như sau: x Tz= T MW= 1, ,..., nM B AB A B−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 1 2 1 2 3 1 ... 1 ... 1 0 ... ... ... ... ... 1 ... 0 0 1 0 ... 0 0 n n a a a a a W a − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 11 1 1 1, ,...,n n n nK a a a Tα α α −− −= − − −Khi đó vector K tính như sau: 65 Phương pháp gán điểm cực • Phương pháp 3: Công thức Ackerman [ ] ( )110 0 ... 0 1 ... nK B AB A B A−−⎡ ⎤= Φ⎣ ⎦ ( ) 11 1...n n n nA A A A Iα α α− −Φ = + + + + 66 Phương pháp gán điểm cực • Giải bài toán gán điểm cực trên Matlab: – Pc=ctrb(A,B); – Po=obsv(A,C); – n=rank(Pc); – d=det(Pc) – K=acker(A,B,P); • Giải lại ví dụ trước sử dụng Matlab: Pc = 0 0 1 0 1 -6 1 -6 31 n = 3 K = 199 55 8 A=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6]; B=[0; 0; 1]; Pc=ctrb(A,B); n=rank(Pc); P=[-2+4*j,-2-4*j,-10]; K=acker(A,B,P); 67 Phương pháp gán điểm cực • Ví dụ 2: Đối tượng có hàm truyền đạt ( ) ( )( )( ) 20 5 1 4 s G s s s s += + + Thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi sao cho hệ kín có độ quá điều chỉnh không quá 5% và thời gian xác lập 1 giây khi kích thích bằng tín hiệu bước nhảy đơn vị. Xem xét cấu trúc điều khiển phản hồi trạng thái sau đây: 68 Phương pháp gán điểm cực Từ yêu cầu của bài toán suy ra điều kiện của cặp nghiệm trội: 2/ 1 4 1 0.05 n e ςπ ς ςω − − = = 1,2 4 4.1946s j= − ± Điểm cực thứ ba được chọn bằng điểm không củ