Bài giảng chương 6: Dao động

CHƯƠNG 6 DAO ÐỘNG DAO ÐỘNG CƠ ÐIỀU HÒA Hiện tượng Phương trình dao động điều hòa Khảo sát dao động điều hòa Năng lượng dao động điều hòa Con lắc DAO ÐỘNG CƠ TẮT DẦN Hiện tượng Phương trình dao động tắt dần Khảo sát dao động tắt dần  DAO ÐỘNG CƠ CƯỠNG BỨC Hiện tượng  Phương trình dao động cưỡng bức Khảo sát dao động cưỡng bức-Cộng hưởng  Ứng dụng của hiện tượng Cộng hưởng cơ Dao động là một dạng chuyển động rất thường gặp trong đời sống, trong kỹ thuật. Thí dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của cầu khi xe lửa chạy qua, dao động của dòng điện trong mạch... Nói một cách tổng quát, dao động là một chuyển động được lặp lại nhiều lần theo thời gian. Quan sát một hệ dao động, một con lắc chẳng hạn, ta thấy nó có những tính chất tổng quát sau: a. Hệ phải có một vị trí cân bằng bền và hệ dao động qua lại hai bên vị trí đó. b. Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền, luôn luôn có một lực kéo hệ về vị trí cân bằng bền gọi là lực hồi phục. c. Hệ có quán tính: khi chuyển đến vị trí cân bằng, do quán tính, nó tiếp tục vượt qua vị trí cân bằng đó. Trong chương này chúng ta chỉ nghiên cứu các dao động cơ. I. DAO ÐỘNG CƠ ÐIỀU HÒA            1. Hiện tượng TOP            2. Phương trình dao động điều hòa TOP Dưới đây, chúng ta thiết lập phương trình dao động điều hòa, cụ thể là tìm sự phụ thuộc của độ dời x của con lắc lò xo theo thời gian. Viết phương trình của định luật 2 Newton đối với quả cầu ta có: Ta được một phương trình vi phân của x gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa. Ðây là một phương trình vi phân cấp hai thuần nhất, hệ số không đổi. Theo giải tích, nghiệm của nó có dạng:            3. Khảo sát dao động điều hòa TOP Phương trình (6.7) cho ta độ dời x của con lắc lò xo tại một thời điểm t. Ðại lượng A được gọi là biên độ dao động, rõ ràng là: Quả vậy, dễ dàng nghiệm lại các hệ thức sau: Hình 6.2 a Biểu diễn đồ thị của x theo thời gian t Hình 6.2b Biểu diễn đồ thị của v theo thời gian t. Hình 6.2 c Biểu diễn đồ thị của a theo thời gian t.            4. Năng lượng dao động điều hòa TOP Ta hãy tính năng lượng dao động điều hòa của con lắc lò xo. Dao động là một dạng chuyển động cơ, vì vậy năng lượng dao động là cơ năng W cho bởi: Công đó bằng độ biến thiên thế năng của con lắc lò xo từ O đến M Ðó là biểu thức năng lượng của hệ dao động điều hòa, năng lượng được bảo toàn trong quá trình dao động. Ðiều này phù hợp với định luật bảo toàn cơ năng. Trong quá trình dao động điều hòa, cơ năng, tức là tổng động năng và thế năng, bảo toàn, nhưng luôn luôn có sự chuyển hòá giữa động năng và thế năng. Từ (6.20) ta có thể suy ra: Công thức này cho phép ta tính tần số riêng (0 khi biết A, m và W. Những kết quả trên đây tuy được suy từ dao động điều hòa của con lắc lò xo nhưng cũng đúng đối với một hệ bất kỳ dao động điều hòa .            5. Con lắc TOP Trong vật lý, người ta hiểu con lắc là một vật rắn thực hiện dao động xung quanh một điểm hay một trục cố định dưới tác dụng của trọng lực. Người ta thường phân biệt con lắc toán học và con lắc vật lý. Con lắc toán học là một hệ được lý tưởng hóa gồm một sợi dây không trọng lượng và không dãn treo một khối lượng được tập trung vào một điểm. Một quả cầu nặng không lớn treo vào một sợi dây mảnh dài một cách gần đúng, có thể xem như con lắc toán học. Ðộ lệch của con lắc khỏi vị trí cân bằng được đặc trưng bởi góc lệch ( tạo bởi sợi dây với đường thẳng đứng (hình 6.3) Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng sẽ xuất hiện momen lực M, về độ lớn bằng mglsin( (m là khối lượng, còn l là độ dài con lắc). M có tác dụng đưa con lắc trở về vị trí cân bằng, vậy tác dụng của nó tương tự như lực đàn hồi của con lắc lò xo. Dấu trừ được đưa vào ở đây để tính đến tác dụng của Mômen M có xu hướng đưa m về vị trí cân bằng có thể đưa phương trình này về dạng Do đó, với các dao động bé, độ lệch góc của con lắc toán học biến đổi với thời gian theo định luật điều hòa . Từ (6.24), ta thấy tần số dao động của con lắc toán học chỉ phụ thuộc vào độ dài của con lắc và vào gia tốc trọng trường mà không phụ thuộc vào khối lượng con lắc. Theo công thức (6.24) ta thu được biểu thức của chu kỳ dao động của con lắc toán học: Nếu không thể biểu diễn vật dao động như một chất điểm thì con lắc được gọi là con lắc vật lý. Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( sẽ xuất hiện một momen lực có xu hướng làm con lắc quay về vị trí cân bằng. Momen này bằng: trong đó m là khối lượng của con lắc, còn l là khoảng cách giữa điểm treo O và khối tâm C của con lắc (hình 6.4) Nếu ký hiệu momen quán tính của con lắc đối với trục đi qua điểm treo bằng chữì I thì có thể viết: Trong trường hợp các dao động bé (6.29) chuyển về phương trình mà ta đã biết:   Từ các phương trình (6.30) và (6.31) suy ra rằng với các độ lệch nhỏ khỏi vị trí cân bằng, con lắc vật lý thực hiện các dao động điều hòa có tần số phụ thuộc vào khối lượng của con lắc, vào momen quán tính của con lắc đối với trục quay và vào khòảng cách giữa trục quay và khối tâm của con lắc. Theo (6.31) chu kỳ dao động của con lắc vật lý được xác định bằng biểu thức: So sánh các công thức (6.27) và (6.32) ta thấy nếu con lắc toán học có độ dài: thì nó có chu kỳ dao động giống như con lắc vật lý vừa xét. Ta gọi đại lượng (6.33) là độ dài rút gọn của con lắc vật lý. Vậy độ dài rút gọn của con lắc vật lý là độ dài của một con lắc toán học có chu kỳ dao động trùng với chu kỳ của con lắc vật lý đã cho. Một điểm nằm trên đường thẳng đi qua điểm treo với khối tâm, nằm cách trục quay một khòảng bằng độ dài rút gọn được gọi là tâm đu đưa của con lắc vật lý (xem điểm O' trên hình 6.4). II. DAO ÐỘNG CƠ TẮT DẦN           1. Hiện tượng TOP Trong thực tế, khi khảo sát dao động của một hệ, ta không thể bỏ qua các lực ma sát. Do có ma sát, năng lượng của hệ dao động giảm dần theo thời gian vì theo (6.20) biên độ dao động là giảm dần theo thời gian. Dao động của hệ sẽ là dao động tắt dần. Xét một hệ dao động chịu tác dụng của lực cản của môi trường (lực nhớt); Nếu vận tốc dao động của hệ nhỏ thì thực nghiệm chứng tỏ vật cản của môi trường ngược chiều và tỉ lệ với vận tốc của hệ. Tức là:           2. Phương trình dao động tắt dần TOP Viết phương trình của định luật 2 Newton đối với quả cầu ta được:           3. Khảo sát dao động tắt dần TOP Trong dao động tắt dần, biên độ không còn là hằng số mà giảm dần theo thời gian theo hàm mũ: Như vậy đồ thị của x theo t là một đường cong nội tiếp giữa hai đường cong Biên độ dao động giảm là vì năng lượng của hệ trong quá trình dao động giảm dần để chuyển thành công chống lại công của lực cản. III. DAO ÐỘNG CƠ CƯỠNG BỨC           1. Hiện tượng TOP Giả sử ta cung cấp năng lượng liên tục cho hệ dao động để bù lại những phần năng lượng đã giảm để sinh công thắng công của lực ma sát thì dao động của hệ sẽ không tắt dần nữa, dao động của hệ sẽ được duy trì. Việc cung cấp năng lượng liên tục cho hệ có thể thực hiện được bằng cách tác dụng lên hệ một ngoại lực. Công do lực này sinh ra sẽ có trị số bằng phần năng lượng bù đắp cho hệ. Muốn cho hệ tiếp tục dao động, ngoại lực tác dụng phải biến thiên tuần hòan theo thời gian. Dao động mà hệ thực hiện dưới tác dụng của ngoại lực tuần hòan gọi là dao động cưỡng bức. Khi tác dụng ngoại lực tuần hòan lên hệ, hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong giai đoạn đầu, dao động của hệ khá phức tạp. Nó là chồng chất của hai dao động: dao động riêng tắt dần dưới tác dụng của nội lực và dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hòan. Sau một thời gian đủ lớn (gọi là thời gian quá độ), dao động tắt dần coi như không còn nữa; khi đó dao động của hệ chỉ là dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hòan. Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng dao động cưỡng bức có chu kỳ bằng chu kỳ của ngoại lực tuần hòan tác dụng.            2. Phương trình dao động cưỡng bức TOP Vậy ta có hai phương trình:           3. Khảo sát dao động cưỡng bức. Cộng hưởng TOP Trước hết, ta nhận thấy rằng biên độ A và pha ban đầu ( của dao động cưỡng bức đều phụ thuộc tần số góc ( của ngoại lực tác dụng. Nghiên cứu sự phụ thuộc của biên độ A theo  ta được kết quả sau :           4. Ứng dụng của hiện tượng cộng hưởng cơ TOP Các ứng dụng trình bày sau đây cho ta thấy rõ tác dụng của hiện tượng cộng hưởng cơ, đặc biệt là hiện tượng cộng hưởng nhọn. b) Ngăn ngừa sự phá hòại vì cộng hưởng cơ. Trong thực tế, hiện tượng cộng hưởng cơ thường gây nhiều tác hại. Cầu bắc qua sông, đặc biệt là cầu treo, bao giờ cũng có một tần số dao động riêng. Nếu cầu chịu một lực tác dụng tuần hòan có tần số xấp xỉ tần số riêng của nó, cầu có thể rung động rất mạnh và có thể bị gãy. Dưới đây ta xét trường hợp nguy hiểm có thể xảy ra khi có một động cơ quay đặt trên một nền xi măng (Hình 6.8). Khi động cơ quay, nền xi măng rung động. Ứïng với một tần số quay nào đó của động cơ, nền xi măng có thể rung động mạnh nhất và có thể bị phá vỡ. Nguyên nhân là vì các bộ phận quay của động cơ không thể nào làm hòan toàn đối xứng được, nên trọng tâm của các bộ phận này không nằm trên trục quay. Khi động cơ quay, các bộ phận này sinh ra một lực kích thích tuần hòan tác dụng lên trục máy và nền xi măng. Ứng với một vận tốc góc quay nào đó của động cơ mà tần số góc của lực kích thích bằng tần số riêng của động cơ thì sẽ xảy ra hiện tượng cộng hưởng nhọn và nền xi măng có thể bị phá vỡ, trục động cơ có thể bị gãy. Vận tốc góc đó của động cơ gọi là vận tốc nguy hiểm.  TRỌNG TẬM ÔN TẬP ***@@@*** 1-      Nghiệm của phương trình dao động điều hòa. 2-      Liên hệ giữa tần số góc, tần số, chu kỳ T đối với dao động của lò xo và dao động của con lắc. 3-      Năng lượng của dao động điều hòa. 4-      Nghiệm của phương trình dao động tắt dần, tần số, biên độ, giảm lượng Loga. 5-      Dao động cưỡng bức, điều kiện để có cộng hưởng, lợi ích và tác hại của cộng hưởng. BÀI TẬP ***&&&*** 1.      Một chất điểm có khối lượng 500 g, dao động điều hòa với tần số f=2 Hz. Biên độ dao động là 5 cm. Xác định vận tốc, gia tốc của chất điểm. Xác định lực tác dụng lên chất điểm tại vị trí cách vị trí cân bằng 2,5 cm. 2.      Biên độ dao động của con lắc là 50, khối lượng quả nặng là 500g, chu kỳ con lắc là 2 giây. Do có ma sát mà sau 5 chu kỳ dao động biên độ dao động chỉ còn 40. Dao động được duy trì nhờ bộ máy của đồng hồ. Tính công suất của máy đó. 3.      Tìm sự biến thiên chu kỳ của một con lắc toán học gồm một dây kim loại bị co dãn theo sự thay đổi nhiệt độ (t =t2-t1. Tìm sự biến thiên chu kỳ của con lắc nói trên theo sự thay đổi độ cao so với mặt đất.  4.      Tìm giảm lượng loga của sự dao động tắt dần trên điện nảo đồ của một bịnh nhân. Cho biết cứ sau thời gian 5 phút thì cơ năng toàn phần của dao động giảm 4.104 lần. Cho biết chu kỳ của dao động là T= 0,5 giây. 5.      Một dao động tắt dần của một điểm xảy ra theo qui luật x=A0 e-(t sin (t. Trong đó A0, (, ( là các hằng số dương. Tìm: a) Biên độ dao động và vận tốc của điểm đó tại thời điểm t =0 . b) Biên độ dao động và vận tốc của điểm đó ở các thời điểm khi điểm đó dịch chuyển đến các vị trí bờ. Dưới tác dụng của một ngoại lực thẳng đứng F=F0 cos(t, một vật treo trên một lò xo thực hiện những dao động cưởng bức theo qui luật x=A0cos((t-a). Tìm công của lực F sau một chu kỳ dao động. Chứng tỏ rằng công nầy dùng để thắng lực ma sát. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ***@@@*** Năng lượng của con lắc lò xo gắn với quả nặng thì tỷ lệ với : a) Biên độ dao động. b) Bình phương khối lượng quả nặng. c) Bình phương của tần số. d) Bình phương biên độ và độ cứng lò xo. Hai con lắc lò xo có cùng độ cứng K. Biết tần số dao động f1 =2 f2 Vậy hai khối lượng sẽ liên hệ theo công thức: a)     M1 = M2/4 b) M1 = M2/2 c) M1 = M2/ d) M1 = 4 M2 e) M1 = M2 Hai con lắc có cùng độ dài và cùng biên độ dao động. Nếu M1 = 2 M2 thì : a) Chu kỳ và năng lượng của hai con lắc là bằng nhau. b) Chu kỳ T1 =T2/2 và năng lượng của hai con lắc là bằng nhau. c) Chu kỳ T1 =T2 và năng lượng E1 lớn hơn năng lượng E2. d) Chu kỳ T1 =T2 và năng lượng E1 nhỏ hơn năng lượng E2. Khi độ dài của một con lắc đơn tăng lên gấp đôi, thì tỉ số tần số của nó lúc sau so với lúc đầu là: a) 2 b) c) 1/ d) 1/4 e) 1 Một con lắc toán học dao động tắt dần với chu kỳ T. Nếu đặt trong thang máy đang đi lên nhanh dần với gia tốc g/2 thì: a)     Giảm lượng loga tăng. b) Giảm lượng loga giảm. c) Giảm lượng loga không đổi. d) Biên độ tăng lên. e) Biên độ không thay đổi. Khi một dao động có tần số tăng lên gấp 3 và biên độ giảm 2 lần thì tỷ số năng lượng của con lắc so với lúc đầu: a) 9/4 b) 4/9 c) 3/2 d) 2/3 e) 1 PHÂN TÍCH NHỮNG CÂU PHÁT BIỂU ĐÚNG SAI ***@@@*** 1-      Có hai lò xo giống nhau được nối với một quả cầu tạo thành con lắc. Khi mắc hai lò xo song song thì chu kỳ dao động sẽ lớn hơn khi mắc hai lò xo nối tiếp. 2-      Một con lắc toán học đặt vào trong thang máy, khi thang máy đi xuống nhanh dần với gia tốc a thì tần số dao động sẽ tăng lên. 3-      Khi tần số ngoại lực tác dụng lên hệ dao động là không đổi thì biên độ của một dao động cưởng bức đạt cực đại. 4-      Khi một con lắc toán học đang dao động, tại các vị trí biên thì lực căng dây là lớn nhất. 5-      Cộng hưởng và cưỡng bức luôn đi đôi với nhau.