Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Chương 1: Phần 1 Nội dung 1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3.Sự khả vi và vi phân. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) limx x f x y f xx yf f x y x x y x          Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) limy y f x y y y f x yf f x y x y y          (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Ý nghĩa của đhr cấp 1 Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của C1 tại x = a. f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần giao của Svới mp x = a) tại y = b Các ví dụ về cách tính. (1,2) :xf  (1,2), (1,2)x yf f  1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến 2( , )2 6 4f x x x  2 1(1,2) (6 4 ) |x xf x x     112 4 | 16xx    (1,2)yf  cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến 2( , ) 31f y y y  2 2(1,2) (3 ) |y yf y y     f(x,y) = 3x2y + xy2 2(3 2 ) | 7yy    ( , ), ( , )x yf x y f x y Tính với mọi (x, y)  R2 ( , )xf x y Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2( , ) , ( ,6 )xf x y y y yx x    Áp dụng tính: (1,2)xf   (Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 1, 2 2(6 ) | 16x yxy y    2/ ( , )yf x y Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2( , ) 3 , )2 ( ,yf x y x yx x y    Áp dụng tính: (1,2)xf   2 1, 2(3 2 ) | 7x yx xy    f(x,y) = 3x2y + xy2 2/ Tính (1,1), (1,1)x yf f  với f(x, y) = x y 1( , ) , 0yxf x y yx x     1 1(1,1) 1 1 1;xf     ( , ) ln , 0yyf x y x x x    1(1,1) 1 ln1 0yf    2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y       3/ Cho a/ Tính b/ Tính (0,1)xf  (0,0)xf  a/ Tính (0,1)xf  (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( , ) , ( , ) (0,0) ( ) x y x y x y f x y x y x y        (0,1) 1xf   2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y       b/ Tính (0,0)xf  (0,0) là điểm phân chia biểu thức  Tính bằng định nghĩa 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) limx x f x x y f x y f x y x        0 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) lim lim 0 0x x x f x f f x            2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y       Hàm f xác định tại, mọi (x,y) 2 2 2 2 ( , ) x yx x f x y e x y      4/ Cho 2 2 ( , ) x yf x y e  tính ( , )xf x y , ( , ) (0,0)x y  Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0) (0 ,0) (0,0)f x f x     • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa f không có đạo hàm theo x tại (0, 0) (f’x(0,0) không tồn tại) . 2 1xe x      2 0 1 lim 1 x x e x          2 2 ( , ) x yf x y e  Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) ( , , ) xzf x y z x ye  , ,x y zf f f   Cho Tính tại (0, 1,2) 1 xzxf yze   xz yf e  xz zf xye  (0, 1,2) 1 2 1xf       ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Xét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến 2 2 2xx x f f f x f x x             2 yx f xy y f f x             2 xy f yx x f f y             2 2 yy y f f f y f y yy              Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu có) của f’x, f’y VÍ DỤ 2( , ) cos( )f x y x xy y x    2 sin( )x x y y xf      x xxx ff   Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f sin( )yf x y x     y yxx ff   2 cos( )y x    2 sin( ) xx y y x    1 cos( )y x    x xyy ff   (0, ) 0, (0, ) 1 yx yyf f    (0, ) 3, (0, ) 0 xx xyf f     y yyy ff   sin( )yf x y x    1 cos( )y x   cos( )y x   Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau xy yxf f  liên tục trong miền mở chứa (x0, y0) Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng , , ,x y xy yxf f f f    thì 0 0 0 0( , ) ( , )xy yxf x y f x y  (VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh) •Ñoái vôùi caùc haøm sô caáp thöôøng gaëp, ñònh lyù Schwartz luoân ñuùng taïi caùc ñieåm ñaïo haøm toàn taïi. •Ñònh lyù Schwartz cuõng ñuùng cho ñaïo haøm caáp 3 trôû leân.xxy xyx yxx f f f    ( ) m n m n m n m m mny n x nyx y x f f f             Ý Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính: Lưu ý: đối với các hàm sơ cấp tính theo thứ tự nào cũng được. 2 xy xxf y e ( , ) xy xf x y ye  ( , ) (1 ) xyxyf x y xy e    ( , ) (1 ) xyxyyf x y x xy x e    ( , ) xyf x y e1/ Cho tính ,,xx xyyf f  Ví dụ 2(2 ) xyx x y e  Cách 2: 2 xy yyf x e  ( , ) xyf x y e xyy yyxf f   22 xyx x y e  Lấy theo thứ tự này nhanh hơn cách trước. Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y 7 7 ( , ) f x y x   2/ Cho ( , ) ln(2 3 )f x y x y  Tính 10 7 3 ( 1,1) f x y     7 1 7 7 ( 1) (7 1)!2 (2 3 )x y     7 7 2 6! (2 3 )x y   10 3 7 7 3 3 7 ( , ) ( , ) f f x y x y x y y x             3 7 3 7 2 6! (2 3 )y x y         10 7 3 7 3 ( 1,1) 2 9! 3 f x y         3 7 3 7 ( , ) f x y y x         7 3 102 6!3 ( 7)( 7 1)( 7 2)(2 3 )x y        7 3 102 9! 3 (2 3 )x y       SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1)  0 0 0 0( , ) ( , )f x x y y f x y A x B y o          2 2( )o o x y    0 0( , )df x y A x B y    f khả vi tại (x0, y0) nếu tồn tại 2 hằng số A, B sao cho: là VCB bậc cao hơn  khi x, y  0 vi phân của f tại (x0, y0) Điều kiện cần của sự khả vi: 1. f khaû vi taïi (x0, y0) thì f lieân tuïc taïi (x0, y0). 2. f khaû vi taïi (x0, y0) thì f coù caùc ñaïo haøm rieâng taïi (x0, y0) vaø 0 0 0 0( , ) , ( , ) x yf x y A f x y B   0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy   Vi phân của hàm 2 biến thường viết dạng: Cho f xaùc ñònh trong mieàn môû chöùa (x0, y0), neáu caùc ñhr f’x, f’y lieân tuïc taïi (x0, y0) thì f khaû vi taïi (x0, y0). Điều kiện đủ của khả vi: Các hàm sơ cấp thường gặp đều thỏa mãn điều kiện này. ( , ) ( , ) ( , )x xdf x y f x y dx f x y dy   3 2 22 3xy dx x y dy  VD: cho 2 3( , )f x y x y tính ( , )df x y Các công thức tính vi phân: như hàm 1 biến 2 ( ) , ( ) , ( . ) d f df R d f g df dg d f g gdf fdg f gdf fdg d g g                Sau đó gom lai theo dx, dy Vi phân hàm n biến:  1 2, ,..., nz f x x x 1 21 2 ... nx x x n dz f dx f dx f dx      VI PHÂN CẤP CAO  2 x yd f d f dx f dy   ( ) ( )x yd f dx d f dy   Vi phân cấp 2 của f là vi phân của df(x,y) khi xem dx, dy là các hằng số. (ta chỉ xét trường hợp các đhr hỗn hợp bằng nhau) Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y)) ( ) ( )xx xy yx yyf dx f dy dx f dx f dy dy       2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 f f f d f x y dx dxdy dy x yx y          2 2 2( , ) 2xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy     hay Công thức trên áp dụng khi x, y là các biến độc lập . VÍ DỤ 2 2 3( , ) xf x y x y y e  2 3 2 2* 2 , 2 3 x xx yf xy y e f x y y e     (0,1) (0,1) (0,1) 3x ydf f dx f dy dx dy      Tìm vi phân cấp 1, 2 tại (0, 1) của 2 3* 2 ,xxxf y y e   24 3 xxyf xy y e   22 6 xyyf x ye   2 3 2 2* 2 , 4 3 , 2 6 x x xxx xy yyf y y e f xy y e f x ye        2 2 2(0,1) (0,1) 2 (0,1) (0,1)xx xy yyd f f dx f dxdy f dy     2 22 ( 3) 6dx dxdy dy     Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n – 1). (Chæ aùp duïng khi f laø bieåu thöùc ñôn giaûn theo x, y (thöôøng laø hôïp cuûa 1 haøm sô caáp vôùi 1 ña thöùc baäc 1 cuûa x, y). ( , ) ( , ) n nd f x y dx dy f x y x y         Trong khai triển nhị thức Newton, thay các lũy thừa của  bởi cấp đhr tương ứng của f, lũy thừa của dx, dy tính như thường. Công thức hình thức: (trường hợp biến độc lập) cụ thể: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 d f x y dx dy f x y f f f dx dxdy dy x yx y                  3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 ( , ) 3 3 d f x y dx dy f x y f f f f dx dx dy dxdy dy x x y x y y                       Ví dụ ( , ) x yz f x y e   ( )x ydz d e   2 ( ) ( )x yd z d dz d e dx dy   Tính vi phân cấp 3 của Cách 1: (dx, dy là hằng)  3 2 2 3( ) ( ) ( )x y x yd z d d z d e dx dy e dx dy      x y x ye dx e dy   ( )x ye dx dy  2( )( ) ( )x y x yd e dx dy e dx dy     Cách 2: 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 f f f f d z dx dx dy dxdy dy x x y x y y                3 3 2 2 33 3x yd z e dx dx dy dxdy dy    3 3( )x yd z e dx dy   ( , ) x yf x y e 