Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Bài 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất - Nguyễn Mạnh Thế

BÀI 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT TS N ễ M h Thế. guy n ạn v1.0012107210 1 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình huống Một công ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá 100.000đ/1 người/1 năm. Nếu người tham gia ểbảo hi m gặp rủi ro trong năm đó thì nhận được số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Theo thống kê biết rằng tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro trong năm là 0.05, hãy tính tiền lãi trung bình khi bán mỗi thẻ bảo hiểm. Nếu bán bảo hiểm được h 10 000 khá h hà hì ố iề lãi bì hc o . c ng t s t n trung n thu về được là bao nhiêu? Câu hỏi gợi mở Câu 1: Biểu diễn bảng phân phối xác suất giữa tiền lãi bảo hiểm và khả năng nhận được lãi? Câu 2: Số tiền lãi trung bình là bao nhiêu? ể v1.0012107210 2 Câu 3: Nếu bán bảo hi m được cho 10.000 khách hàng thì số tiền lãi trung bình thu về được là bao nhiêu? TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kết luận • Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc ế á à ó ó ể ậ à ả ăcho bi t gi trị m n c th nh n được v kh n ng tương ứng nhận các giá trị đó. • Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính hn ư sau: ớ   n i iE X x p V i:  xi: Các giá trị mà biến ngẫu nhiên đó có thể nhận i 1 .  pi: Xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên đó nhận giá trị x v1.0012107210 3 i. MỤC TIÊU • Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên. Q l ật hâ hối á ất• uy u p n p x c su của biến ngẫu nhiên. • Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. • Biến ngẫu nhiên nhiều chiều. v1.0012107210 4 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một đại lượng: • Nhận một giá trị cụ thể; Giá t ị th ộc miền các khoảng giá t ị có thể có của nó tù th ộc ào sự tác• r u r y u v động của các nhân tố ngẫu nhiên. Phân loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên v1.0012107210 5 rời rạc liên tục 2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN • Bảng phân phối xác suất. Hà hâ hối á ất• m p n p x c su . • Hàm mật độ xác suất. • Tính chất của các hàm. v1.0012107210 6 Á d h biế ẫ hiê ời 2.1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT • p ụng c o n ng u n n r rạc • Biểu diễn: X x1 x2 ... xn P p1 p2 ... pn Biế ẫ hiê X hậ á iá t ị ới á á ất tươn ng u n n n n c c g r v c c x c su ng ứng 1 2 nx , x ,...x i ip P X x , i 1 n    trong đó i n i 0 p 1 p 1    • Bạn hãy thử lập bảng phân phối xác suất của biến cố “số chấm mặt i 1 v1.0012107210 7trên cùng”. 2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Định nghĩa: Hàm số F(x) = P(X<x) , được gọi là hàm phân phối xác suất củax R biến ngẫu nhiên X. Nế là biế ẫ hiê ời thì F( ) u x n ng u n n r rạc , Ví dụ: Bảng giá trị của hàm phân phối xác suất của biến cố “số chấm i i x x x p   Rx mặt trên cùng”. X x6 F(x) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 v1.0012107210 8 2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (tiếp theo) Tính chất: • Tính chất 1:  0 F 1 • Tính chất 2: Nếu a là giá trị nhỏ nhất có thể có của X và b là giá trị ể x , x   lớn nhất có th có của X thì: F(x) = 0 với x a  F(x) = 1 với • Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một x b  hàm không giảm. í ấ à â ố á ấ ủ ộ ế ẫ ê à• T nh ch t 4: H m ph n ph i x c su t c a m t bi n ng u nhi n l liên tục bên trái. v1.0012107210 9 2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (tiếp theo) Hệ quả: • Hệ quả 1: limF( ) P(X x) 0    x limF( ) P(X x) 1    • Hệ quả 2:      P a X b F b F a    x • Hệ quả 3: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì: P( X = x) = 0 ẫ x • Hệ quả 4: Nếu X là một biến ng u nhiên liên tục thì:        1 2 1 2 1 2 1 2P x X x P x X x P x X x P x X x           v1.0012107210 10 2.3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x). Nếu tồn tại hàm số f(x) sao cho: Thì hàm số f(x) được gọi là hàm mật    f x F x độ xác suất của biến ngẫu nhiên X. v1.0012107210 12 2.3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (tiếp theo) Tính chất: • Tính chất 1: , f x 0 x • Tính chất 2:  f x dx 1   • Tính chất 3:    bP a X b f x dx    • Tính chất 4: a  aF(a) f x dx   v1.0012107210 13 3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Các tham số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên: • Kì vọng; • Phương sai; • Độ lệch chuẩn. Tham khảo thêm trong giáo trình: • Trung vị; • Mốt; • Giá trị tới hạn; • Mômen trung tâm bậc cao. v1.0012107210 15 3.1. KÌ VỌNG (GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH) Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X. Kỳ vọng của X là một số, ký hiệu E(X) và xác định hn ư sau: • Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị với xác suất tương ứng thì: 1 2 nx , x ,..., x ,... 1 2 np ,p ,...,p ,...  E X x p i i i • Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) thì: E(X) xf(x)dx   v1.0012107210 16 3.1. KỲ VỌNG (tiếp theo) Tính chất • Tính chất 1: Kì vọng của hằng số bằng chính nó. • Tính chất 2: Có thể đưa hằng số ra ngoài đầu kỳ vọng: E(C.X)=C. E(X) • Tính chất 3: Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng của mỗi biến ngẫu nhiên thành phần: E(X±Y) = E(X) ± E(Y) • Tính chất 4: Kỳ vọng của tích 2 biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng của chúng: E(XY) = E(X). E(Y) • Tính chất 5: Cho là một hàm nào đó và X là một biến ngẫu nhiên Ta có:  Nếu X rời rạc: i iE( (X)) (x )p    Nếu X liên tục:       E X x f x dx   i v1.0012107210  16 3.2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Định nghĩa: • Phương sai của biến ngẫu nhiên X là kì vọng của bình phương độ lệch giữa X và E(X). Ký hiệu V(X) hoặc Var (X):    2 2 2V(X) E(X E(X)) E(X ) (E(X)) • Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X:   x V X v1.0012107210 19 3.2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN (tiếp theo) Tính chất: • Tính chất 1: Phương sai và độ lệch chuẩn của hằng số bằng 0: V(C) = 0 • Tính chất 2:    2V C.X C V X • Tính chất 3: Nếu X, Y là hai biến cố ngẫu nhiên độc lập với nhau thì:      V X Y V X V Y   v1.0012107210 20 4. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU • Biến ngẫu nhiên k chiều. ả â ố á ấ ủ ế ẫ• B ng ph n b x c su t c a bi n ng u nhiên hai chiều. • Bảng phân phối xác suất có điều kiện của hai biến ngẫu nhiên. • Tương quan của hai biến ngẫu nhiên. v1.0012107210 21 4.1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Y X y1 y2 ... Yj ... Ym p (X) x1 p(x1,y1) p(x1,y2) ... p(x1,yj) ... p(x1,ym) p(x1) x2 p(x2,y1) p(x2,y2) ... p(x2,yj) ... p(x2,ym) p(x2) ... ... ... ... ... .... .... xi p(xi,y1) p(xi,y2) ... p(xi,yj) ... p(xi,ym) p(xi) ... ... ... .... ... ... ... ... xn p(xn,y1) p(xn,y2) ... p(xn,yj) ... p(xn,ym) p(xn) P(Y) p(x1) p(x2) p(xi) p(xm) 1    i j i jP X x , Y y p x , y , i 1,n, j 1,m       i j0 p x , y 1, i, j  Trong đó: v1.0012107210 22 i ji, j p x , y 1. 4.2. BẢNG PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện jY y ...jX / Y y 1x 2x nx P ...  n jp x / y 2 jp x / y1 jp(x , y ) P(x y )Trong đó: i j i j i j j , P(x / y ) P(X x / Y y ) P(y )     Đây là cơ sở để tính các tham số như    j iY y X xE X / , E Y / ...  v1.0012107210 23 4.3. TƯƠNG QUAN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa: • Hiệp phương sai (Covariance) của hai biến ngẫu nhiên X, Y là một số, ký hiệu cov(X, Y) và xác định xác định như sau:        X Y E X E X Y E Y  Tính chất: cov ,     • Nếu X và Y độc lập thì cov(X,Y) = 0 • Từ tính chất của kỳ vọng dễ thấy: cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) • Khi X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có: n       i j i j i, j 1 cov X, Y x y p x ,y E X E Y    v1.0012107210 25 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide