Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 5: Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ 5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều ▪ 5.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều ▪ 5.3. Tham số đặc trưng LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 115 BÀI 5 – BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU ▪ Chiều cao nữ sinh viên VN (m): 𝑋 là biến ngẫu nhiên 1 chiều 𝑃 𝑋 = 1,5 = 0,25 ▪ Điểm 10%, 20%, 70% của môn LT Xác suất &TKT: (𝑋, 𝑌, 𝑍) là biến ngẫu nhiên 3 chiều 𝑃 𝑋 = 9, 𝑌 = 9, 𝑍 = 9 = 0,01 𝑃 𝑋 = 9 = 0,3 Hệ 𝑛 biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 𝑛 chiều. Kí hiệu: (𝑋1, 𝑋2, . 𝑋𝑛) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 116 5.1. KHÁI NIỆM BNN NHIỀU CHIỀU ▪ Hệ hai biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều. ▪ Kí hiệu: (𝑋, 𝑌) ▪ Ví dụ: Thu nhập và tiêu dùng của hộ gia đình; chiều dài và chiều rộng của 1 sản phẩm. ▪ Phân loại • BNN 2 chiều rời rạc: nếu 𝑋, 𝑌 đều rời rạc • BNN 2 chiều liên tục: nếu 𝑋, 𝑌 đều liên tục LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 117 Biến ngẫu nhiên hai chiều ▪ Ví dụ 5.1. Cho các biến ngẫu nhiên: ▪ 𝑋: Doanh thu (triệu), 𝑌: Chi quảng cáo (triệu) a) 𝑃(𝑋 = 200, 𝑌 = 6) = b) 𝑃 𝑋 = 300 𝑌 = 9) = LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 118 𝑌 𝑋 3 6 9 100 0,1 0,02 0.01 200 0,16 0,12 0,08 300 0,2 0,17 ? Ví dụ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 119 5.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Y X y1 y2 ym x1 p11 p12 p1m x2 p21 p22 p2m xn pn1 pn2 pnm 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 120 Bảng phân phối xác suất đồng thời Y X y1 y2 ym P(X) x1 p11 p12 p1m P(x1) x2 p21 p22 p2m P(x2) xn pn1 pn2 pnm P(xn) P(Y) P(y1) P(y2) P(ym) 1 ▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑋 ▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑌 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 121 𝑋 𝑥1 𝑥𝑖 𝑥𝑛 𝑃 𝑃(𝑥1) 𝑃(𝑥𝑖) 𝑃(𝑥𝑛) 𝑌 𝑦1 𝑦𝑗 𝑦𝑚 𝑃 𝑃(𝑦1) 𝑃(𝑦𝑗) 𝑃(𝑦𝑚) Bảng phân phối xác suất biên LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 122 Bảng phân phối xác suất có điều kiện ▪ Bảng phân phối của (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗): ▪ Bảng phân phối của (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖) (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗) 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑃 𝑃(𝑥1 | 𝑦𝑗 ) 𝑃(𝑥2| 𝑦𝑗) 𝑃(𝑥𝑛 | 𝑦𝑗) (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑚 𝑃 𝑃(𝑦1 | 𝑥𝑖) 𝑃(𝑦2| 𝑥𝑖) 𝑃(𝑦𝑚 | 𝑥𝑖) ( , ) ( | ) ( ) = i j i j j P x y P x y P y ▪ 5.3.1. Kì vọng ▪ 5.3.2. Phương sai LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 123 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) n n m i i i i j i i j m m n j j j i j j j i E X x P x x P x y E Y y P y y P x y = = = = = = = = = =     2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( , ) [ ( )] ( ) ( , ) [ ( )] n m i i j i j m n j i j j i V X x P x y E X V Y y P x y E Y = = = = = − = −   5.3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG ▪ Từ bảng phân phối có điều kiện, ta có ▪ Tính độc lập: 𝑋, 𝑌 độc lập nếu LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 124 ( / ) ( ) , j i j P Y y X x P Y y i j= = = =  𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖). 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗)∀𝑖, 𝑗 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) i j X x j j i j Y y i i j i E Y y P y x E X x P x y = = = =   Kì vọng có điều kiện và tính độc lập BNN ▪ Hiệp phương sai (covariance): 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) ▪ Hệ số tương quan (correlation) của 𝑋 và 𝑌: X,Y LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 125   ( )( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ). ( ) = = = − − = − 1 1 n m i j i j i j Cov X Y E X E X Y E Y x y P x y E X E Y , ( , ) . ρ σ σ =X Y X Y Cov X Y Hiệp phương sai và hệ số tương quan ▪ Tính chất của hiệp phương sai • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) • 𝑋, 𝑌 độc lập  𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan dương” • 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan âm” ▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát • 𝑉(𝑎𝑋  𝑏𝑌) = 𝑎2 𝑉(𝑋) + 𝑏2 𝑉(𝑌)  2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 126 Hiệp phương sai Tính chất của hệ số tương quan ▪ X,Y = Y,X ▪ –1  X,Y  1 ▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều ▪ X,Y = 0: không tương quan ▪ 𝑋, 𝑌 độc lập  X,Y = 0 ▪ X,Y =  1: 𝑋, 𝑌 có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 127 Hệ số tương quan