Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Luật số lớn

BÀI 6. LUẬT SỐ LỚN ▪ Tập trung Định lý giới hạn trung tâm ▪ Bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev) ▪ Định lý Trebusep ▪ Định lý Bernoulli ▪ Định lý giới hạn trung tâm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 128 Định lý giới hạn trung tâm ▪ Xét X1, X2,, Xn là các BNN độc lập có cùng quy luật phân phối xác suất, kỳ vọng và phương sai hữu hạn ▪ Đặt và ▪ Thì U sẽ hội tụ về quy luật N(0, 1) khi n →  ▪ Trong ứng dụng, n ≥ 30 được coi là đủ lớn để áp dụng quy luật Chuẩn (dù biến ngẫu nhiên gốc không phân phối chuẩn) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 129 = =  1 n i i Y X ( ) ( ) − = Y E Y U V Y ▪ 7.1. Các khái niệm ▪ 7.2. Trung bình mẫu ▪ 7.3. Phương sai mẫu ▪ 7.4. Tần suất mẫu ▪ [1] Chương 6, trang 295 – 347, 361 – 363, 367 – 369 ▪ [2] Chapter 7, pp.298 – 306, 310 – 328, 337 – 339 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 130 BÀI 7 – MẪU NGẪU NHIÊN ▪ Tổng thể ▪ Tham số đặc trưng của tổng thể ▪ Mẫu ngẫu nhiên ▪ Mẫu cụ thể ▪ Thống kê (tham số đặc trưng mẫu) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 131 7.1. CÁC KHÁI NIỆM ▪ Tập hợp toàn bộ các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng nào đó được gọi là tổng thể (population) ▪ Kích thước tổng thể (population size): là số phần tử 𝑵 ▪ Dấu hiệu lượng hóa được: 𝑿- Biến ngẫu nhiên gốc ▪ 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁 } ▪ Các tham số đặc trưng của 𝑋 là tham số đặc trưng của tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 132 Tổng thể ▪ Nếu 𝑋 chỉ gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑘 ▪ Số lượng tương ứng là 𝑁1, 𝑁2, , 𝑁𝑘 ▪ 𝑁𝑖 gọi là tần số tổng thể của 𝑥𝑖 ▪ Đặt 𝑝𝑖 = 𝑁𝑖 / 𝑁 gọi là tần suất tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 133 Giá trị 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑘 Tần số 𝑁1 𝑁2 𝑁𝑘 Tần suất 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑘 =    = 1 0 i k ii N N N N =    = 1 0 1 1 i k ii p p Mô tả tổng thể ▪ Trung bình tổng thể (population mean): m • Chứng minh được: 𝑚 = 𝐸(𝑋) ▪ Phương sai tổng thể (population variance): σ2 • Chứng minh được: 𝜎2 = 𝑉(𝑋) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 134 1 1 = =  N i i m x N ( )2 2 1 1 σ = = − N i i x m N Tham số đặc trưng của tổng thể ▪ Độ lệch chuẩn tổng thể: σ ▪ Tần suất tổng thể (population proportion): p • Số phần tử chứa dấu hiệu (hay biến cố) A là MA • Dễ thấy: 𝑝 = 𝑃(𝐴) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 135 σ σ= 2 = A M p N Tham số đặc trưng của tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 136 ▪ Nghiên cứu Tổng thể: nghiên cứu về tham số đặc trưng tổng thể, nghiên cứu toàn bộ các phần tử: gặp nhiều khó khăn: • Chi phí lớn, có thể không khả thi • Sai sót khi thu thập, có thể phá hủy tập hợp ▪ Nghiên cứu một số phần tử đại diện: Mẫu • Từ tổng thể rút n phần tử (mẫu kích thước n) • Xác định tham số đặc trưng mẫu (thống kê) • Rút ra kết luận liên quan đến tổng thể Nhận xét ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛 được thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 và có cùng quy luật phân phối xác suất với 𝑋. ▪ Ký hiệu: 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛) ▪ 𝐸(𝑋𝑖) = 𝐸(𝑋) = 𝑚 ▪ 𝑉(𝑋𝑖) = 𝑉(𝑋) = 𝜎2 𝑖 = 1, 2, , 𝑛 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 137 Mẫu ngẫu nhiên ▪ Gồm n quan sát (n con số): 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛) ▪ Nếu chỉ gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑘 với số lần xuất hiện tương ứng : 𝑛1, 𝑛2, , 𝑛𝑘 ▪ 𝑛𝑖 là tần số mẫu của 𝑥𝑖 (frequency) ▪ Đặt ොpi = 𝑛𝑖 / 𝑛 : tần suất mẫu (sample proportion) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 138 Giá trị 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑘 Tần số 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘 Tần suất ොp1 ොp2 ොpk = = 1 k ii n n ෍ 𝑖=1 𝑘 Ƹ𝑝𝑖 = 1 Mẫu cụ thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 139 ▪ Nghiên cứu về khối lượng sản phẩm (𝑋) ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n=10, ▪ 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, , 𝑋10) • 𝐸(𝑋1) = 𝐸(𝑋2) = ⋯ = 𝐸(𝑋10) = 𝐸(𝑋) • 𝑉(𝑋1) = 𝑉(𝑋2) = ⋯ . = 𝑉(𝑋10) = 𝑉(𝑋) ▪ Mẫu cụ thể 𝑤 = ( 20,21,20,23,23,24,22,24,22,22) Khối lượng (g) 20 21 22 23 24 Số sản phẩm 2 1 3 2 2 Ví dụ ▪ Một hàm của các biến ngẫu nhiên Xi trong mẫu là một thống kê (statistic) 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛) ▪ Vì mẫu ngẫu nhiên nên 𝐺 là ngẫu nhiên với phân phối xác suất xác định ▪ Mẫu cụ thể: thống kê là số cụ thể, giá trị quan sát 𝐺𝑞𝑠 = 𝑔 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛) ▪ Thống kê trong mẫu thường tương ứng với một tham số trong tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 140 Thống kê đặc trưng mẫu ▪ Trung bình mẫu ngẫu nhiên (sample mean) ▪ ത𝑋 là biến ngẫu nhiên: ▪ Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) thì: ሜ𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 𝑛 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 141 = =  1 1 n i i X X n ( ) ; ( ) ; σ σ σ= = = 2 XE X m V X n n 𝑍 = ( ሜ𝑋 − 𝜇) 𝑛 𝜎 ~𝑁(0,1) 7.2. TRUNG BÌNH MẪU ▪ Độ lệch bình phương trung bình (mean of squares) ▪ Phương sai mẫu (sample variance) S2 Hay ▪ Độ lệch chuẩn mẫu: 𝑺 = 𝑺𝟐 ▪ Ta có : 𝐸(𝑆2) = 2 và LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 142 𝑀𝑆 = 1 𝑛 ෍ 𝑖=1 𝑛 (𝑋𝑖 − ሜ𝑋) 2 𝑆2 = 1 𝑛 − 1 ෍ 𝑖=1 𝑛 (𝑋𝑖 − ሜ𝑋) 2 = − 2 1 n S MS n ( ) σ − = 2 1n E MS n 7.3. PHƯƠNG SAI MẪU ▪ Trong mẫu kích thước n có XA phần tử có dấu hiệu (biến cố) A ▪ Tần suất mẫu: ▪ Nếu 𝑃(𝐴) = 𝑝 thì: ▪ 𝑋 ~ 𝐴(𝑝), mẫu kích thước n  100, tần suất mẫu ොp Thì: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 143 ොp = 𝑋𝐴 𝑛 𝐸 ොp = 𝑝 𝑉(ොp) = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 𝑍 = (ොp − 𝑝) 𝑛 𝑝(1 − 𝑝) ~𝑁(0,1) 7.4. TẦN SUẤT MẪU