Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố - Phan Văn Tân

10:10:14 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định tính bởi sự kiện ngẫu nhiên o Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp } • Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Các định nghĩa: o Một đại lượng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đó gọi là đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà khi tiến hành một loạt phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần nhận được giá trị này hoặc giá trị khác hoàn toàn không biết trước được 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Cách gọi: o Nhiều khi đại lượng ngẫu nhiên còn được gọi là biến ngẫu nhiên Î Hai cách gọi tương đương nhau • Ký hiệu: o Thông thường các đại lượng ngẫu nhiên (hay các biến ngẫu nhiên) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in hoa: X, Y, Z,, hoặc các ký tự Hylạp: ξ, η, ζ, o Các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in thường tương ứng: x, y, z, 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Phân loại: Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được • Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,, x6=6 o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức nó là tập hợp vô hạn và không đếm được • Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí (oC) đo được ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]} 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà các giá trị có thể của nó là tập {x1, x2,, xn,} với P(X=xi) = pi, i=1,2, o Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau o Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2, • Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt nhau. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy lập bảng phân bố của X o Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2} o Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5 o Sự kiện X=0: X=1: hoặc Sự kiện X=2: o Vì các Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 pn xn ...pi ...p2p1 P ...xi...x2x1X 21 AA 21 AA 21AA 21AA 0.250.50.25P 210XÎ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 2: Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn từng phát cho tới khi hoặc trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Hãy lập bảng phân bố xác suất của số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích ở mỗi phát là 0.8 o Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí. Vậy X={ 1, 2, 3 } o Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î P(X=1) = p1= 0.8 o Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng, P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16 o Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đó cần bắn phát thứ ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04 0.040.160.8P 321X 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A ở mỗi phép thử không đổi bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X. o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,, n } o Xác suất của sự kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức Bernoulli o Từ đó k P n10X nkppCkPkXPp knkknnk ,...,1,0,)1()()( =−==== − 000 −n n qpC 111 −n n qpC nnnn n qpC − (q = 1-p) Để ý đến hệ thức nhị thức Newton knkk n qpC − ∑ = −=+ n k knkk n n baCba 0 )( ta có đẳng thức 1)( 00 =+== ∑∑ = − = n n k knkk n n k k qpqpCp 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng hoặc cả trục số. Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất) o Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a,b) được xác định bởi ∫ ∞+ ∞− = ∞+−∞∈∀≥ 1)()2 ),(,0)()1 dxxf xxf ∫=<< b a dxxfbXaP )()( 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng Hãy xác định giá trị của c. o Giải: Theo định nghĩa, o Ta có: o Vậy, ⎩⎨ ⎧ >< ≤≤= ba,xkhi x bxakhic xf 0 )( 1)( =∫ +∞ ∞− dxxf ∫ ∫ ∫ +∞ ∞− =−=== b a b a abccdxdxxfdxxf 1)()()( ab c −= 1 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x được xác định bởi F(x) = P(X < x) o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x (hình vẽ) ∑ ∑ < < === xx xx ii i i pxXPxF )()( x 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Các tính chất của hàm phân bố 1) Hàm phân bố xác định với ∀x∈(-∞, +∞) 2) 0 ≤ F(x) ≤ 1; F(-∞) = 0; F(+∞) = 1 3) Hàm phân bố là một hàm không giảm: Nếu x1<x2 thì F(x1) ≤ F(x2) 4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) • Chứng minh: o Các tính chất 1) và 2) suy ra từ định nghĩa: F(x)=P(X<x) F(-∞) = P(X< -∞) ∼ P(V)=0; F(+∞) = P(X< +∞) ∼ P(U)=1 o Tính chất 3): Nếu x1<x2 Î {X<x2}={X<x1}+{x1≤X<x2}: Tổng 2 sự kiện xung khắc Î P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) (*) Hay F(x2) = F(x1) + P(x1≤X<x2) Î F(x1) ≤ F(x2) o Tính chất 4): Thay vai trò của x1 và x2 trong (*) bởi a và b ta được P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 1. Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng đích của mỗi phát bằng 0.4. Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng bia. o Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khi đó: o p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4)3= 0.216 o p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0.432 o p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C32(0.4)2(1-0.4)1= 0.288 o p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C33(0.4)3(1-0.4)0= 0.064 0.216 0 0.0640.2880.432P 321X ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >=+++ ≤<++ ≤<+ ≤< ≤ = 31064.0288.0432.0216.0 32288.0432.0216.0 21432.0216.0 10216.0 00 )( xkhi xkhi xkhi xkhi xkhi xF ∑ < = xx i i pxF )( 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Đồ thị hàm phân bố ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >=+++ ≤<++ ≤<+ ≤< ≤ = 31064.0288.0432.0216.0 32288.0432.0216.0 21432.0216.0 10216.0 00 )( xkhi xkhi xkhi xkhi xkhi xF 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x); b) Tính xác suất P(1<X<2) o Giải: a) Theo giả thiết F(x) liên tục, nên khi x = 3 ta có a(x - 1)2 =1, từ đó a=1/4. Đồ thì của F(x) là đường parabol F(x)=0,25(x-1)2 trên khoảng (1;3) o b) Theo giả thiết P(X=1)=0 nên P(1<X< 2) = P(1≤X<2) = F(2)-F(1) = 1/4 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤<− ≤ = 31 31)1( 10 )( 2 xkhi xkhixa xkhi xF ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤<− ≤ = 31 31)1(25.0 10 )( 2 xkhi xkhix xkhi xF 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc o Các pi lập thành bảng phân bố xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên liên tục o P(x≤X<x+Δx) = F(x+Δx)-F(x) o Lập tỷ số o Nếu hàm F(x) khả vi, lấy giới hạn đẳng thức trên khi Δx→0 o Giới hạn này, nếu tồn tại, được gọi là hàm mật độ xác suất ∑= i ipxF )( )()( xXPxF <= x xFxxF x xxXxP Δ −Δ+=Δ Δ+<< )()()( Được gọi là xác suất trung bình để X nhận giá trị trên một đơn vị độ dài của khoảng Δx )()()(lim)(lim 00 xF x xFxxF x xxXxP xx ′=Δ −Δ+=Δ Δ+<< →Δ→Δ dx xdFxf )()( = ∫ ∞− = x dxxfxF )()( )()( xFxf ′= 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Tính chất: 1) f(x) ≥ 0 (theo định nghĩa) 2) (theo định nghĩa) 3) Chứng minh: 1)( =∫ +∞ ∞− dxxf ∫=<≤ b a dxxfbXaP )()( ∫ ∫∫ ∞−∞− =−=−=<≤ a b a b dxxfdxxfdxxfaFbFbXaP )()()()()()( 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng Hãy xác định f(x), F(x) và vẽ đồ thị của f(x), F(x) o Giải: Từ ví dụ mục trước o Do đó: ⎩⎨ ⎧ >< ≤≤= ba,xkhi x bxakhic xf 0 )( ∫ ∫ ∫ +∞ ∞− =−=== b a b a abccdxdxxfdxxf 1)()()( ab c −= 1 ∫ ∞− ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > ≤≤− − < == x bxkhi bxakhi ab ax axkhi dxxfxF 1 0 )()( ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >< ≤≤−= ba,xkhi x bxakhi abxf 0 1 )( 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đồ thị hàm mật độ và hàm phân bố ∫ ∞− ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > ≤≤− − < == x bxkhi bxakhi ab ax axkhi dxxfxF 1 0 )()( ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >< ≤≤−= ba,xkhi x bxakhi abxf 0 1 )( Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố nhị thức: o Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử không đổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A trong n phép thử. Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức • Phân bố Poisson o Trong phân bố nhị thức, nếu giả thiết rằng, xác suất xuất hiện sự kiện A phụ thuộc vào số lần thử n sao cho khi n→∞ mà P(A)=p→0 và np→λ=const, thì phân bố nhị thức sẽ tiệm cận đến phân bố Poisson: nkppCkXPkP knkknn ,...,1,0,)1()()( =−=== − ...2,1,0, ! )()( ==== − k k ekXPkP kλλ Nhận thấy: λ>0 Tham số λ được gọi là trung bình số lần xuất hiện 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị của hân bố nhị thức và phân bố Poisson: 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố chuNn: o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố chuNn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng o Trong đó (-∞<x<+∞), μ và σ là các tham số của phân bố o Î Ký hiệu X∈N(μ,σ) o Đồ thị hàm mật độ là một đường cong đối xứng qua trục x=μ và có cực đại bằng o Trường hợp riêng, X∈N(0,1), khi đó hàm mật có dạng o và biến X được gọi là có phân bố chuẩn chuẩn hóa 2 2 1 2 1)( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= σ μ πσ x exf πσ 2 1 max =f 2 2 2 1)( x ex −= πϕ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế o Đồ thị 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố chuNn: o Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X có phân bố chuNn được xác định bởi o Với phân bố chuNn chuNn hóa ta có: ∫ ∞− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= x x dxexF 2 2 1 2 1)( σ μ πσ ∫ ∞− −= x x dxex 2 2 2 1)( πφ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố mũ: o Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố mũ nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng o Và hàm phân bố có dạng )0( 0 00 )( > ⎩⎨ ⎧ > ≤= − λλ λ xkhie xkhi xf x ⎩⎨ ⎧ >− ≤= − 01 00 )( xkhie xkhi xF xλλ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố χ2 (Khi bình phương) o N ếu Xi∈N (0,1), i=1..n, khi đó biến ngẫu nhiên được gọi là có phân bố χ2 o Hàm mật độ và hàm phân bố xác suất của phân bố χ2 có dạng ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ ≤ = −− 0 2 2 00 )( 2 2 1 2 xkhie n x xkhi xf x n n Tham số n được gọi là số bậc tự do ∑ = = n i iXn 1 22 )(χ ∫ −− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ = x tn n dtetn xF 0 2 1 2 2 2 2 1)( ∫+∞ −−=Γ 0 1)( dttex xt π=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ =Γ Γ=+Γ 2 1 1)1( )()1( xxx 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị hàm mật độ của phân bố χ2 Phụ thuộc vào số bậc tự do n 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố Student (phân bố t): o N ếu o thì biến ngẫu nhiên được gọi là có phân bố Student hay phân bố t o Hàm mật độ của phân bố t có dạng 2 1 2 1 2 2 1 )( +− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Γ = n n x nn n xf π Hàm mật độ là một hàm chẵn Tham số n được gọi là số bậc tự do n nXNX )(),1,0( 21 χ∈∈ 2 1 X XX = 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế o Đồ thị hàm mật độ của phân bố t - Đối xứng qua trục tung - Phụ thuộc vào tham số n 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố F (Fisher) o N ếu o thì biến ngẫu nhiên o được gọi là có phân bố F (hay phân bố Fisher) o Hàm mật độ xác suất của nó có dạng Các tham số n1, n2 được gọi là các bậc tự do ),,()( )()2 () 2 ( ) 2 ( )( 21, 2 21 1 2 21 212221 21 21 121 nnxfxf nxn x nn nnnn xf nn nn nnn ≡≡ + + = + − ΓΓ Γ 2 2 2 2 1 1 2 1 )(,)( n nX n nX χχ ∈∈ 22 2 11 2 2 1 /)( /)( nn nn X XX χ χ== 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị hàm mật độ của phân bố F (Fisher) Phụ thuộc vào hai tham số n1, n2 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Một số khả năng ứng dụng các phân bố lý thuyết • Đã xét các phân bố: o Phân bố nhị thức o Phân bố Poisson o Phân bố chuNn o Phân bố chuNn chuNn hóa o Phân bố mũ o Phân bố χ2 (Khi bình phương) o Phân bố Student (t) o Phân bố F (Fisher) Dùng để xấp xỉ các phân bố thực nghiệm Dùng làm phân bố mẫu trong các bài toán kiểm nghiệm giả thiết thống kê 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Sử dụng EXCEL để xác định các phân bố o Phân bố nhị thức: BINOMDIST(k, n, p, Cumulative) o Phân bố Poisson: POISSON(k, Lamda, Cumulative) o Phân bố chuNn: NORMDIST(x, μ, σ, Cumulative) o Phân bố chuNn chuNn hóa: NORMDIST(x, 0, 1, Cumulative) o Phân bố mũ: EXPONDIST(x, Lamda, Cumulative) o Phân bố χ2 (Khi bình phương): CHIDIST(x, n) o Phân bố Student (t): TDIST(x, n, Tails) (Tails=1 hoặc 2) o Phân bố F (Fisher): FDIST(x, n1, n2) Đối với các phân bố χ2, t và F, để nhận được đồ thị phân bố cần xử lý thêm 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế Ghi chú: o Đối với các hàm trên đây, tham số Cumulative nhận giá trị TRUE hoặc FALSE • Khi Cumulative=TRUE, kết quả trả về là hàm phân bố • Khi Cumulative=FALSE, kết quả trả về là hàm mật độ o Các hàm CHIDIST(x, n) và FDIST(x, n1, n2) đều trả về kết quả là xác suất P(X≥x) = 1–F(x) o Hàm TDIST(x, n, Tails) có tham số Tails=1 hoặc 2 • N ếu Tails=2, kết quả trả về là xác suất P(|X|>x), x≥0 • N ếu Tails=1, kết quả trả về là xác suất P(X>x), x≥0 • Vì hàm mật độ đối xứng qua trục tung Î suy ra nhánh x<0 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên • Tại sao lại phải xét các đặc trưng số? • Mô tả biến ngẫu nhiên đầy đủ nhất là các hàm phân bố hoặc hàm mật độ o Biểu thị được dáng điệu o Mức độ tập trung, mức độ phân tán, o Tính xác suất các sự kiện o • N hiều trường hợp trong thực tế việc xác định các hàm này rất khó và hầu như không thể • Thay cho các hàm này ta sẽ xét một số đặc điểm quan trọng của nó thông qua những đặc trưng số • Các đặc trưng số có thể được sử dụng để mô tả những nét khái quát nhất của biến ngẫu nhiên 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Định nghĩa: Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên X là một số có cùng thứ nguyên với X, được ký hiệu bởi mx và được xác định bởi mx = M[X], trong đó M là ký hiệu toán tử lấy kỳ vọng • N ếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với pi = P(X=xi) • N ếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với f(x) là hàm mật độ xác suất của X ∑== i iix pxXMm ][ ∫+∞ ∞− == dxxxfXMmx )(][ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố xác suất được cho như trong bảng dưới đây. Hãy xác định kỳ vọng của X 7.25.10.12.0 3.055.022.01 ][ 3 1 =++=⇒ ×+×+×= === ∑ = x i iix m pxXMm 0.30.50.2p 521X Giải: 0 1 2 3 4 5 Kỳ vọng như là Trọng tâm của hệ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Ví dụ: Cho X là đại lượng có phân bố đều trên đoạn [a,b]. Hãy xác định kỳ vọng của X b a b a b a x xab xdx ab dx ab xdxxxfXMm 2 2 1111)(][ −=−=−=== ∫∫∫ +∞ ∞− Giải: ab xf −= 1)( 2 )( 2 11 2 baab ab mx +=−−= 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Các tính chất của kỳ vọng 1) N ếu X=C là một hằng số thì M[X]=M[C] = C 2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X] 3) M[X ± Y] = M[X] ±M[Y] 4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y] 5) N ếu Y=g(X) thì M[Y] = M[g(X)], trong đó ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ∫ ∑ ∞+ ∞− tôc nliª n nhiª ngÉubiÕnlµ XNÕu r¹c rêi n nhiª ngÉubiÕnlµ XNÕu dxxfxg pxg YM i ii )()( )( ][ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 1) N ếu X=C là một hằng số thì M[X]=M[C] = C Vì C=Const nên P(X=C)=1 ÎM[X]=1.C=C 2) N ếu C=Const thì M[CX] = CM[X] ][)()(][ XCMdxxxfCdxxCxfCXM === ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− ][][ XCMpxCpCxCXM i ii i ii === ∑∑X – rời rạc X – liên tục 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 3) M[X ± Y] = M[X] ±M[Y] ÎM[X + Y] = M[X] + M[Y] Để đơn giản, ta xét X, Y là rời rạc có phân bố tương ứng: pi = P(X=xi), qj = P(Y=yj) Đặt Z=X+Y Î zij = xi+yj Î Phân bố của Z: rij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=yj) ∑ ∑∑∑∑∑∑∑ +=+== i i j ijj i j ijiij i j ji j ijij ryrxryxrzZM )(][ ][][][ YMXMqypxryrxZM i j j jj i ii i ijj j iji +=+=+=∑ ∑ ∑∑∑∑ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán học • Chứng minh: 4) N ếu X và Y độc lập với nhau thì M[XY] = M[X].M[Y] Để đơn giản, ta xét X, Y là rời rạc có phân bố tương ứng: pi = P(X=xi), qj = P(Y=yj) Đặt Z=XY Î zij = xiyj Î Phân bố của Z: rij = P(Z=zij) = P(X=xi, Y=yj) Vì X và Y độc lập nên P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj)= pi.qj ∑ ∑∑∑∑∑ === i i j jijiij i j ji j ijij qpyxryxrzZM ][ ][].[][ YMXMqypxZM i j jjii ==∑ ∑ 10:10:14 Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.6 Các đặc trưng số của đ