Kiến trúc - Xây dựng - Chương 3: Thanh chịu kéo (hay nén) đúng tâm

CHƯƠNG 3. THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM NỘI DUNG 1. Định nghĩa - Thực tế 2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 3. Biến dạng - Hệ số Poisson 4. Thí nghiệm tìm hiểu khả năng chịu lực của vật liệu 5. Thế năng biến dạng đàn hồi 6. Điều kiện bền 7. Bài tóan siêu tĩnh 1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ  Nội lực trên mặt cắt ngang: Lực dọc Nz  Nz > 0 khi kéo (hướng ra ngoài  Nz < 0 khi nén (hướng vào trong) z Nz x y O PPP P  Thực tế: + Dây treo vật nặng + Trọng lượng bản thân cột + Các thanh trong hệ dàn Dây treo chịu kéo do trọng lực Ròng rọc P Các thanh dàn Cột chịu nén bởi trọng lượng bản thân 1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ 1. ĐỊNH NGHĨA - THỰC TẾ Đốt Mắt Biên trênThanh xiên Thanh đứng Nhịp Biên dưới 2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Xét thanh chịu kéo đúng tâm. Các mặt cắt ngang CC và DD trước khi chịu lực cách nhau đoạn dz . Các thớ dọc trong đoạn CD (như GH) bằng nhau . C C D DP P z Nz x y O z dA A dz C C D D' D' D G H H' dz P NzD D 2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt ngang khác là Nz = P , thanh dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với mặt cắt CC một đoạn bé dz Quan sát các thớ dọc trong đoạn CD (như GH), biến dạng đều bằng HH’ và không đổi, mặt cắt ngang trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho thấy các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp z không đổi 2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG z Nz x y O z dA A Quan hệ giữa ứng suất và nội lực :   A zz NdA Vì z = const, nên z .A =Nz A N z z  Với A là diện tích mặt cắt ngang 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM E z z   1- Biến dạng dọc: Độ dãn (co) dọc trục Theo định luật Hooke, ta có: Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là dz .  Biến dạng dài tương đối của đoạn dz là: dz C C D D' D' D G H H' dz là hằng số của vật liệu E- Môđun đàn hồi khi kéo (nén) dz dz z   dz.dz z 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Vaät lieäu E (kN/cm2)  Theùp (0,15  0,20)%C Theùp loø xo Theùp niken Gang xaùm Ñoàng Ñoàng thau Nhoâm Goã doïc thôù Cao su 2 x 104 2,2 x 104 1,9 x 104 1,15 x 104 1,2 x 104 (1,0 1,2)104 (0,7  0,8)104 (0,08  0,12)104 0,8 0,25  0,33 0,25  0,33 0,25  0,33 0,23  0,27 0,31  0,34 0,31  0,34 0,32  0,36 0,47 Bảng 3.1 Trị số E của một số vật liệu. 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Biến dạng dài của đoạn thanh chiều dài L: dz EA Ndz E dzdz zzz    L P P L+Ldz EA NdzL L z   L z dz EA NL EA LNL zNếu Nz ,E, A là hằng, thì: Nếu thanh có nhiều đoạn Li :  iLL EA : Độ cứng thanh 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 2. Biến dạng ngang z : Biến dạng dài tương đối theo phương dọc x , y : Biến dạng dài tương đối theo phương x và y zyx    = (0  0,5) là hằng số tùy vật liệu - hệ số Poisson. Dấu (–) chỉ rằng biến dạng dọc và ngang ngược nhau. ta có: doïcngang hay: 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Thí dụ 1: 1) Vẽ biểu đồ dọc Nz ; 2) Tính ứng suất và biến dạng dài toàn phần của thanh. Cho biết: E = 2.104 kN/cm2; A1 = 10 cm2; A2 = 20 cm2. Bài giải 30 A2 B C D G H 30 50 50cm 20kN 40kN 30kN A 1 Nz 30kN 10kN 10kN 2 BC BC z BC kN/cm310 30 A N  2 CD CD z CD kN/cm110 10 A N    Ứng suất: 3. BIẾN DẠNG THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 30 A2 B C D G H 30 50 50cm 20kN 40kN 30kN A 1 Nz 30kN 10kN 10kN 2 DG DG z DG kN/cm5,020 10 A N    2 GH GH z GH kN/cm5,020 10 A N  20102 3010 20102 3010 10102 5010 10102 5030L 4444             GHDGCDBC LLLLL  Biến dạng: cm005,0L  4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 1. Khái niệm  Ta cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu lực với ứng suất, biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết.  Ta caàn thí nghieäm keùo, neùn ñeà tìm hieåu tính chaát chòu löïc vaø quaù trình bieán daïng töø luùc baét ñaàu chòu löïc ñeán luùc phaù hoûng cuûa caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau.  Phân loại vật liệu:  V/l dẻo: Phá hỏng khi biến dạng lớn-Thép, đồng...  V/l dòn: Phá hỏng khi biến dạng bé- gang, bêtông... 4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2. Các thí nghiệm cơ bản: 2.1 TN kéo V/l dẻo (thép): Mẫu TN L0 d0 ,A0 P P L1 d1, A1 Mẫu sau khi kéo Pch Ptl P L O A Đồ thị P-L C B D PB   4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2.1 TN kéo V/l dẻo (thép): Kết quả:  OA: giai đoạn đàn hồi, P - L bậc nhất o tl tl A P Lực tỉ lệ Ptl, Giới hạn tỉ lệ: AB: giai đoạn chảy, P không tăng,L tăng o ch ch A P Lực chảy Pch, Giới hạn chảy:  BCD: giai đoạn củng cố (tái bền) Lực lớn nhất PB, Giới hạn bền: o b b A P  4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2.1 TN kéo V/l dẻo (thép): Độ dãn dài tương đối: %100 L LL% o 10  Độ thắt tỉ đối: %100 A AA% o 10  L0 d0 , A0 Mẫu TN P P Kết quả: L1 d1, A1 Mẫu sau khi kéo 4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2.2 TN nén V/l dẻo (thép): Mẫu TN d h P P Mẫu sau nén  OA: giai đoạn đàn hồi Giới hạn tỉ lệ: o tl tl A P  AB: giai đoạn chảy Giới hạn chảy: o ch ch A P   Pch P L O Ptl Đồ thị P-L A B 4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2.3 TN kéo V/l dòn (gang): Mẫu TN L0 d0 ,A0 P P Đường cong thực P L Đồ thị P-L PB Đường qui ước O Ptl Mẫu sau khi kéo o Bk b A P Giới hạn bền: 4. THÍ NGHIỆM TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG CHỊU LỰC VẬT LIỆU 2.4 TN nén V/l dòn (gang): Đường cong thực P L Đồ thị P-L PB Đường qui ước O Ptl o Bn b A P Giới hạn bền: Mẫu TN d h P P Mẫu sau nén 5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 1. Khái niệm  Xét thanh chịu kéo làm việc trong giai đoạn đàn hồi . Lực tăng từ 0 đến P, thanh dãn ra từ từ đến giá trị L.  Sau khi đạt đến giá trị P, bỏ lực đi, thanh sẽ đàn hồi hoàn toàn. L L P L P P + dP O P C  A L P     5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 1. Khái niệm  Người ta nói công của W của ngoại lực phát sinh trong quá trình di chuyển đã chuyển hóa thành thể năng biến dạng đàn hồi U tích lũy trong thanh  Chính thế năng này làm cho thanh đàn hồi sau khi không tác dụng lực. L L P L P P + dP O P C  A L P     5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Tính TNBDĐH: L L P Công ngoại lực= Diện tích tam giác OAC: 2 L.PW  L P P + dP O P C  A L P     TNBDĐH: U = W EA PLL Với EA2 LPU 2  Hệ có nhiều đoạn: U =  Ui Hay: EA2 L.NU 2 z 5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 3. TNBDĐH riêng u : TNBDĐH trong một đơn vị thể tích V Uu  Với : V=AL và A P z  2E2 u zz 2 z    TNBDĐH thường được dùng để tính chuyển vị của hệ L L P A 5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI Thí dụ 2: Giải: P NBC  B NBD  Tính chuyển vị đứng của điểm đặt lực. Cho: E = 20000 kN/cm2; L = 200 cm; P =300 (KN);  = 30o ; A = 10 cm2 Nội lực : Tách mắt B. Y = 0:  2Ncos = P X = 0:  NBC = NBD = N   cos2 PN P   BC L/2 B C A A D K I BD B' L/2 5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI  Chuyển vị BB': BB’cos = BK hay: BB’= BK / cos Mà BK=BC     cosEA LN'BB BC BCBCNên: cm4,0 cosEA2 PL'BB 2    PP hình học: P NBC  B NBD  P   BC L/2 B C A A D K I BD B' L/2 5. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI  Chuyển vị BB': P NBC  B NBD + Công ngoại lực: cm4,0 cosEA2 PL'BB 2    PP năng lượng: W=P.BB'/2 + TNBDĐH: BD BD 2 BD BC BC 2 BC )EA(2 LN )EA(2 LNU  + W=U P   BC L/2 B C A A D K I BD B' L/2 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM  Ứng suất nguy hiểm 0 = ch- vật liệu dẻo = B- vật liệu dòn  Ứng suất cho phép   n 0  n > 1 : Hệ số an toàn   A Nz z Điều kiện bền: 6.1 Điều kiện bền: 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 6.2 Ba bài toán cơ bản:   %5 A Nz z  Kiểm tra bền:  Định kích thước mặt cắt ngang:   %5 N A z     Định tải trọng cho phép:   %5.ANz  6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Thí dụ 3 : P =20 kN 1- Kiểm tra bền thanh BG. 2- Định số hiệu thép V dùng cho thanh BC. Biết: sin = 5/13; []=14kN/cm2 D =2,2 cm  G  x C B P NBG NBC y Nội lực : Tách mắt B. Giải: Y = 0  NBG sin  P = 0  NBG = 52 kN (kéo) X = 0  NBC NBG cos = 0 NBC = 48 kN (nén) 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Thí dụ 3 : P =20 kN 1- Kiểm tra bền thanh BG. D =2,2 cm  G  x C B P NBG NBC y 2 BG BGBG z )1,1.( 52 A N     2BGz cm kN8,13 Thanh BG đảm bảo đ/k bền 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Thí dụ 3 : P =20 kN 2- Định số hiệu thép V dùng cho thanh BC. D =2,2 cm  G  x C B P NBG NBC y Ta phải có:   2BC BC cm43,314 48NA    Tra bảng thép định hình, chọn 2V 25x25x4 có A=2x 1,86= 3,72cm2 Hay 2V 32x32x3 có A=2x 1,86= 3,72cm2 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM Định tải trọng cho phép [P] theo điều kiện bền của các thanh 1, 2, 3. Cho biết: [ ] = 16 kN/cm2, A1=2cm2, A2=1cm2, A3=2cm2. Thí dụ 4: N3 P 450B 1 2 3 a a a P N1 N2 Giải: Nội lực : Thực hiện các mặt cắt qua 3 thanh. B * X=0N2cos450 + N3 =0 * Y=0-P+N2sin450 + N1 =0 * M/B=0-P2a+N1a =0 N1=2P N2=-P2 N3=P 6. ĐIỀU KIỆN BỀN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM *Theo điều kiện bền của thanh 1,2,3. Định tải trọng cho phép [P]. *Kết luận: [P] = 11,3 kN   2 P2 A N 1 1 1   1 P2 A N 2 2 2 kN32P kN16P kN3,11P   2 P2 A N 3 3 3 7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 1. Định nghĩa : Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ không đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ. 2. Cách giải: Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện biến dạng ( p/t biến dạng, p/t hình học) của hệ sao cho cộng số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm. 7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Thí dụ 5 : P VD VB D B C b a  P VB D B C b a  P Xét thanh chịu lực như hình. Có hai phản lực VA và VB. Phương trình điều kiện biến dạng.  Phương trình cân bằng: VD + VB – P = 0 Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay bằng phản lực VB . Điều kiện biến dạng của hệ là: L = BD = BC + CD = 0 7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH VD VB D B C b a  P VB D B C b a  P 0 EA LN EA LNL CDCDBCBC  0 EA a)PV( EA bV BB  ba PaVB   Sau khi tính được VB , bài toán trở thành tĩnh định bình thường. 7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Thí dụ 6 : Phương trình biến dạng:  Phương trình cân bằng: P   L/2 B C 1 3 D B' L/2 2 G 1 2 P N1  B N3  N2 Tính nội lực trong 1, 2, 3 N1cos + N2+ N3cos- P=0 - N1sin + N3sin =0 1= 2.cos EA cosLN EA LN 2211  7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH P   L/2 B C 1 3 D B' L/2 2 G 1 2 P N1  B N3  N2  221 cosNN   32 cos21 PN    3 2 31 cos21 cosPNN