Kiến trúc - Xây dựng - Chương 4: Động lực học lưu chất

Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT I. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER) Xét một khối hình hộp vi phân dxdydz trong khối chất lỏng lý tưởng chuyển động. Tổng lực tác động trên khối hình hộp vi phân => ∂+ ∂ Với : lực khối đơn vịp(x,y,z,t) : áp suất u (x,y,z,t) : vận tốc F r vr =ρ− rr =− ρ Nếu viết trên phương x thì : dt du x p F xx =∂ ∂− ρ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂− ρ thêm vào vế phải ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂− ρ x uu x u u x uu x u u zz y y z z y y ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂ rr =− ρ sau khi biến đổi, ta có: t u y u x u u x u z uu uuu xx pF xxyyzxz zyx x ∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ∂ ∂=∂ ∂− ρ [ ] t uuu u xx pF xzyyzx ∂ ∂+−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=∂ ∂− ωωρ và viết dưới dạng vector ∂− = + + ω×ρ ∂ ruuuuur uuuurr r r pt Euler dạng Lam-Gromêko Tương tự trên phương y [ ] ∂⎛ ⎞∂ ∂− = + ω − ω +⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ trên phương z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤− = + ω − ω +⎜ ⎟ ⎣ ⎦ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ uxugrad t ugradpF rr rr ωρ ++∂ ∂=− II.TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG Lực có thế: Lực khối đơn vị F là lực có thế khi có thể tìm được một hàm π(x,y,z) sao cho π= −uuuurr nghĩa là : ∂ ∂−= π ∂ ∂−= π ∂ ∂−= π và π(x,y,z) được gọi là hàm thế Thí dụ : Lực khối đơn vị là trọng lực là một lực có thế với : π(x,y,z) = gz Hàm áp suất: Π(x,y,z) gọi là hàm áp suất khi ρ=Π +=Π ∫ ρ Nếu chất lỏng không nén được: ρ = const thì : +=Π ∫ρ Thay vào phương trình Lamb Gromêkô : ⎛ ⎞ ∂− π+Π+ = + ϖ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ruuuur r r +=Π ρ 1. Trường hợp chuyển động không quay (chuyển động thế): Một chuyển động không quay luôn luôn tìm được một hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z,t) sao cho: ϕ=r Chuyển động không quay =ϖr ⎛ ⎞∂ϕ− + π+Π + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ uuuur =+Π++∂ ∂ πϕ chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất là trọng lực =++ ρ ⎛ ⎞ ∂− π+Π + = + ϖ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ruuuur r r ( )⎛ ⎞ ∂− π+Π + = ϕ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ uuuur uuuur ⎛ ⎞ ∂ϕ⎛ ⎞− π+Π + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎝ ⎠ uuuur uuuur 2. Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đuờng dòng: Chuyển động ổn định : =∂ ∂r ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur r r Nhân (4.11) hai vế cho ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur uurr r mà trên đường dòng rr×ϖ ⎛ ⎞π+Π + =⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +Π+π =+Π+π Nếu chất lỏng không nén được và chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất là trọng lực thì thay (4.12) cho trên một đường dòng là =++ ρ rrω r ωv 3. Chuyển động ổn định tích phân dọc theo đường xoáy: Đường xoáy là cong đi qua các điểm có vector vận tốc xoáy là tiếp tuyến. Tương tự như trên đường dòng, nhân 2 vế , là một vector vi phân trên đường xoáy ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur uurr r mà trên đường xoáy rrϖ ⎛ ⎞π+Π + =⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +Π+π =+Π+π Nếu chất lỏng không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì thay (4.12) cho trên một đường xoáy là =++ ρ 4. Chuyển động ổn định, tích phân theo phương pháp tuyến với đuờng dòng Ta có : τrr = ττ rrr += rrr +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= τ Thay vào pt Euler: ( ) rr +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂=Π+− τπ Nhân 2 vế cho ( )[ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂+∂∂=Π+− rrτπ ( ) =∂ Π+∂− π Nếu chất lỏng chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì cho trên phương pháp tuyến của đường dòng là −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ ρ ( ) −=Π+∂ ∂ π khi những đường dòng thẳng song song thì R Ỉ ∞ hay =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ ρ =+ ρ áp suất phân bố theo qui luật thủy tĩnh trên phương thẳng góc với đường dòng r Vector đơn vị trên phương s và nvrτ CV III. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Xét thể tích kiểm soát W, bao quanh diện tích A. Đại lượng nghiên cứu là năng lượng X = E Năng lượng đơn vị κ = u2/2 + gz (động năng + thế năng) ∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ρ ∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= rrρ Theo định luật I nhiệt động lực học, sự biến thiên năng lương trong một hệ thống của các phần tử chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) , bằng công suất cung cấp cho hệ thống cộng với nhiệt lượng thêm vào hệ thống trong một đơn vị thời gian += ∫∫∫= κρ Không có sự trao đổi nhiệt += P: công suất cung cấp cho hệ thống, nhiệt lượng thêm vào trong 1 đơn vị thời gian dw Không có sự trao đổi nhiệt = P do lực tác dụng trên diện tích A bao quanh thể tích kiểm soát gồm r áp suất-p τr Ứng suất do ma sát ( ) ( )∫∫∫∫ τ+−= rrrv ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ rrrvrr τρ Thay vào: sắp xếp lại, -- > Phương trình năng lượng dạng tổng quát : ( )∫∫∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ rrrr τρρ Chuyển động ổn định: ( )∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrr τρρ C V dA ∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= rrρ A ∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrr ρρρρρ Trường hợp chọn thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy tại mặt cắt A1 và A2 có đường dòng song song : ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrrrr τρρρρρρ V1 p2 V2 p1 Mặt chuẩn z1 z2 A1 A2 ( )∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrr τρρ Hằng số Đường dòngthẳng song song Sb ∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrr ρρρρρ ρρα ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−= ∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= rrrr ρρρα Trong đó α1 , α2 được gọi là hệ số sửa chữa (hiệu chỉnh) động năng : ∫∫=α Đối với dòng chảy rối : α ≈1 ∫∫∫∫ = rrrr ραρ ∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrr ρρρρρ Tương tự tại mặt cắt A2 cũng có ρραρρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++∫∫ rr Đối với dòng chảy tầng : α >1 ∫∫=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++− rrτρραρρα γ τ γαγα ∫∫−++=++ rr Thay vào phương trình năng lượng: Đặt : γ τ∫∫−=− rr Gọi hf1-2 là tổn thất năng lượng trong dòng chảy −+++=++ γαγα ( )∫∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrr τρρρρ Phương trình năng lượng cho trường hợp (i) Chuyển động ổn định, (ii) Không trao đổi nhiệt, (iii) Tại mặt A1, , A2 đường dòng thẳng song song, (iv) Chất lỏng không nén và (v) Lưu lượng tại mặt cắt A1 và A2 bằng nhau. Xem chất lỏng không nén (ρ1= ρ2 = ρ) và Q1 = Q2= Q . Chia 2 vế cho ρgQ và chú ýρg=γ Vị năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng α γ Ý nghĩa các số hạng: Động năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng. Áp năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng. Z Thế năng ( cột nước đo áp )+γ Năng lượng của dòng chảy tính trên một đơn vị trọng lượng chất lỏng++= γα ( Cột nước năng lượng , m) Năng lượng toàn dòng tại một mặt cắt trong một đơn vị thời gian (Công suất của dòng chảy, Watt)γ= Phương trình năng lượng khi có máy bơm hoặc tua bin: 1 1 2 1 1 2 z g p g V +ρ+α 212 2 2 2 2 2 − ++ρ+α= fhzg p g V +HB -HT HB Năng lượng máy bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng (m) HT Năng lượng tua bin lấy từ một đơn vị trọng lượng chất lỏng (m) γQHB (watt) γQHT (watt) −+++=++ γαγα Đường năng và đường cột nước đo áp ( chất lỏng lý tưởng) Đường cột nước đo áp Đường năng Mặt chuẩn Điềm dừng Đường năng đường cột nước đo áp ++= γα += γ m/ch • • γ , chất lỏng khí khí khí M N p2 p2 p1 p1 p1 p1 Oáng Pitot IV. ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG 1. Đo lưu tốc ( ống Pitot ) Aùp dụïng phương trình Bernoulli cho điểm 1 và 2, xem lưu chất lý tưởng ++=++ ρρ −=−= ρρρ Aùp dụïng tính chất áp suất tĩnh học tuyệt đối ρρ +=+ ρρ +=+ Suy ra ρρ −+−=− ρρ −=− ρρ −=− Thay vào trên [ ] −=−= ρ ρρρρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ρ ρ Oáng pitot Oáng Pitot được lắp trên máy bay để đo vận tốc của máy bayρ ρ= CI : H s ng Pitot CI > 1, N u ch t l ng lý tưởng CI= 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ρ ρ Thông thường ρk> 1 nên ρ ρ= Để xét đến ảnh hưởng của sự ma sát của dòng khí, hệ số CI được thêm vào để điều chỉnh vận tốc tính bằng công thức trên Hãy giải thích tại sao CI > 1 khi xét đến sự ma sát của dòng khí ? 2. Đo lưu lượng ( ống Ventury ) (C<1 : hệ số ống Ventury) ( )−= Aùp dụng phương trình năng lượng giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 −+++=++ γγ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=− γγ −−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ( ) −−−−= −+++=++ γγ h gas A B ZA ZB Z2 Z1 V1 V2 p1 P2 datum 1 2 3. Xác định lưu lượng qua một lỗ 4. Xác định công suất của một máy bơm Vận tốc qua lỗ tại mặt cắt co hẹp : = Lưu lượng qua lỗ : = Với Cv hệ số lưu tốc CD = ε. Cv hệ số lưu lượng (ε : hệ số co hẹp) Công suất cung cấp cho dòng chảy P = γQHb Công suất của máy bơm Pb = γQHb / η η : hiệu suất máy bơm (%) Ac H C i tiến máy bơm ly tâm V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG : Đại lượng nghiên cứu trong thể tích kiểm soát là động lượng. C V Động lượng đơn vị : r=κ ∫∫∫∫∫∫ == rv ρρκ Động lượng trong thể tích kiểm soát là Aùp dụïng định luật về động lượng: ∑= r r ∑∫∫∫ = rrρ ∑∫∫∫∫∫ =+∂∂ rvrrr ρρ Phương trình động lượng ∑∫∫∫∫∫ =+∂∂ rvrrr ρρ V1 V2 C.V - Chuyển động ổn định ∑∫∫∫∫∫ =+∂∂ rvrrr ρρ ∑∫∫∫∫∫∫ =++ rvrrvrrvrr ρρρ ∑∫∫∫∫ =+ rvrrvrr ρρ ∑∫∫∫∫ =+ rvrrvrr ραρα αo1 , αo2 là hệ số sửa chữa động lượng ∫∫∫∫ == ρ ρ α Với chuyển động tầng trong ống : αo = 4/3 và rối thì α o = 1,02 -1,05∑=+− rrr ραρα ∑=− rrr ραρα ĐL ra ĐL vào Tổng lực ∑ r (Lực khối :Trọng lượng, ) ∑ r (Lực mặt :Aùp lực, lực ma sát, ..) Xét một chuyển động - Thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy: - Không nén được To Nếu Q1 = Q2 = Q ∑=− rrr ααρ∑=− rrr ραρα VI.ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG 1. Lực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêng góc α, vận tốc và lưu lượng đến V1và Q1. Xem trọng lượng tia nước không đáng kể 2. Lực của dòng chảy tác dụng lên một tấm chắn có bề rộng bằng 1 đơn vị, lưu lượng q và độ sâu h1, h2 . B qua ma sát đáy V1 Q1 F =? α F = ρ Q1 V1sinα Fq qh1 h2 ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−= ργ Máy bơm ly tâm Cấu tạo bộ phận cải tiến máy bơm ly tâm có thể hút sâu Source: HT Hùng-NHD Kha-NT Hải-LH Dương