15 đề và đáp án môn Lý thuyết trường điện từ

Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 1 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày phương trình 1 và 2 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 2 : (3 điểm) Trình bày về khái niệm về môi trường không đẳng hướng Câu 3 : (2 điểm) Cho một hình cầu tích điện bán kính là a. Giả sử điện tích phân phố đều trên bề mặt của nó với mật độ điện tích mặt ρs = Q/4лa2. Tính cường độ điện trường tại những điểm ở ngoài và ở trong hình cầu Câu 4 : (2 điểm) Đất khô có . Hãy tìm giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện và điện môi. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) 1. Phương trình Maxwell thứ nhất. Bằng cách bổ sung thành phân dòng điện dịch vào vế phải của biểu thức định luật dòng toàn phần cùng với dòng điện dân phương trình thứ nhất như sau: (1) Phương trình (1.1.31) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ () trong một vòng kín bất kì các dòng điện dẫn chảy qua nó, mô tả nó trong không gian: (2) Vì mặt S là tuỳ ý nên ta nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân như sau: (3) (1 điểm) Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ=0 thì => nên phương trình có dạng: (4) Phương trình chỉ ra : Dòng điện dich hay điện trường biến thiên cũng tạo ra từ trường xoáy tương đương dòng điện dẫn Phương trình Maxwell thứ hai: Maxwell cho rằng biểu thức của định luật cảm ứng điện từ áp dụng không chỉ cho một vòng dây dẫn kín mà mà còn đúng cho bất kì một vòng kín nào( không nhất thiết dẫn điện) trong không gian. Trong trường hợp tổng quát vòng kín này có thể một phân nằm trong trân không, phân khác nằm trong điện môi hay trong kim loại. Ta nhân được phương trình sau: (5) (2 điểm) Nếu áp dụng định lý Grin Stốc cho vế trái với S là tuỳ ý nhân được phương trình sau: (6) Vậy từ trường biến thiên tạo ra điên trường xoáy 3. Ý nghĩa vật lý của phương trình thứ nhất và thứ hai của Maxwell: Bất kỳ sự biến thiên nào của điện trường đều gây nên từ trường xoáy(đường sức khép kín) và ngược lại. Điện trường và từ trường biến thiên không thể tồn tại độc lập với nhau, chúng luôn liên hệ mật thiết với nhau và liên tục chuyển từ dạng này sang dạng khác tạo nên sóng điện từ truyền lan với vận tốc ánh sáng. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Môi trường đẳng hướng là môi trường mà tính chất của nó ở mọi điểm là như nhau. Trong các môi trường này các véc tơ và là song song với nhau từng đôi: Nếu chiếu các phương trình véc tơ trên xuống các trục tọa độ ta được các phương trình vô hướng: (1 điểm) Đối với các môi trường bất đẳng hướng mối quan hệ giữa các véc tơ trên được xác định qua các phương trình: Các hằng số có thể được viết dưới dạng như sau: (2 điểm) gọi là tenxơ độ từ thẩm gọi là tenxơ độ điện thẩm Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả và đều mang tính tenxơ. Môi trường bất đẳng hướng có tenxơ độ từ thẩm điển hình là pherít được từ hóa bởi từ trường không đổi; còn môi trường có tenxơ độ điện thẩm điển hình là môi trường ion hóa( môi trường plasma). (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau Þ (1 điểm) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q Þ D.4 л r2 = Q = ρS.4 лa2 Þ D = ρS.(a2/r2) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Ta có: q = 0, Þ D = 0. (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có: (hằng số phức tuyệt đối) () Tỷ số giữa phần ảo và phần thực của εp chính là tỷ số giữa dòng điện dẫn và dòng điện dịch (dòng điện dịch chảy trong điện môi, còn dòng điện dẫn di chuyển trong kim loại). Nếu thì đất có tính chất của chất điện môi Nếu thì đất có tính chất dẫn điện. (1 điểm) Giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện hay điện môilà: Mà _ = (2/3).102(m) càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn Từ đây ta có thể kết luận là: Với λ > (2/3).102 m thì đất có tính dẫn điện. Với λ < (2/3).102 m thì đất có tính điện môi. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 2 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Trình bày phương trình 3 và 4 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về sự phân cực của sóng điện từ Câu 3 : (2 điểm) Một điện tích dòng Q phân bố đều theo thể tích quả cầu có bán kính là a, với môi độ điện thẩm ε đặt trong không khí. Hãy tìm cường độ điện trường E ở trong và ở ngoài quả cầu đó Câu 4 : (2 điểm) Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham số ε = 4ε0; ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật độ dòng công suất trung bình. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của từ thông áp dụng cho cả trường hợp điện trường và từ trường là tĩnh, không đổi cũng như với trường hợp tổng quát của điện từ trường biến thiên theo thời gian. Ta có: (1) (2) Vì thể tích V là tuỳ ý nên nhận được các phương trình Maxwell thứ 3 và thứ 4 như sau: (3) (4) (1 điểm) Để tiện cho việc theo dõi, ta viết thành hai dạng sau: Dạng tích phân: (5) Dạng vi phân: (6) (2 điểm) Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell: ≠ 0: ta thấy đường sức của điện trường là những đường cong không khép kín mà có điểm đầu tại điện tích +q, điểm cuối tại –q. = 0: điện trường sinh ra chỉ do sự biến thiên của từ trường. Đường sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vô cực. Þ đường sức của từ trường vừa khép kín vừa tiến xa vô cực. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Ta có các loại sóng phân cực cơ bản được sử dụng : Phát hình : Sóng phân cực ngang Phát thanh: Sóng phân cực đứng hoặc ngang Sóng ngắn : Sóng phân cực ngang Sóng FM: Sóng phân đứng hoặc ngang Sự phụ thuộc hướng của vectơ E vào thời gian và không gian gọi là sự phân cực phân cực. Sóng điện từ khi truyền lan vectơ cường độ điện trường và từ trường có thể thay đổi cả về chỉ số và hướng. Vì vậy khi sóng truyền lan nếu quan sát điểm cuối của vectơ E thì ta thấy nó vẽ lên một quỹ đạo nào đó Xét tại một điểm cố định trong không gian cùng với thời gian điểm cuối của vectơ E thực hiện một chuyển động tịnh tiến dọc theo một đường thẳng thì ta nói sóng điện từ phân cực thẳng(phân cực tuyến tính). Tương tự nếu điểm cuối của vectơ E vẽ nên một hình elip ta có phân cực elip, còn vẽ nên đường tròn ta có phân cực tròn. Nếu nhìn theo hướng truyền sóng vectơ E quay theo chiều kim đồng hồ ta có phân cực tròn quay phải, ngược lại có phân cực tròn quay trái. Giả sử có hai sóng phẳng phân cực tuyến tính vuông góc với nhau ta có: (1 điểm) Ở đây Emx, và Emy là biên độ các sóng thành phần, φ là góc lệch pha ban đầu của hai sóng phẳng Suy ra Phương trình này biểu diễn một hình elip (2 điểm) Elip có trục lớn làm một góc φ với trục ox ; với Emx > Emy Khi Emx =Emy; φ = ±π/2 thì phân cực lúc này là phân cực tròn. Khi φ = nπ (n = ±1, ±2,...) thì là phân cực thẳng. Như vậy khi t thay đổi véc tơ E sẽ quay cùng về phía ngược chiều kim đồng hồ, với chu kỳ: , đầu nút của nó vạch thành đường elíp. Chiều quay của là chiều quay về phía thành phần trường chậm pha. (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau Þ Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a) Ta có: q = Q Þ D.4 л r2 = Q Þ Môi trường là không khí nên ε = ε0 Mà D = ε.E = Þ E = (1 điểm) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r<a) Ta chứng minh được từ công thức tính mật độ điện tích và Þ Mặt khác ta có Þ Mà D = ε.E Þ (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có mà Þ (1) Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường: (1) (1 điểm) Với và Þ Biểu thức tức thời của mật độ dòng công suất trung bình là: , với Hm có biểu thức như (1). (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 3 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về sóng điện từ phẳng trong môi trường dẫn điện. Câu 3 : (2 điểm) Tính trường và thế tạo ra bởi một trục tích điện có mật độ điện tích dài là ρL, tại điểm cách trục 1 khoảng r. Câu 4 : (2 điểm) Cho tham số điện của đất khô: Hằng số điện môi tương đối Độ dẫn điện riêng δ = 10-3 1/Ωm. Chứng tỏ rằng đối với sóng cực dài( λ = 104 → 105 m) thì mặt đất có tính dẫn điện tốt hơn, còn đối với sóng cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì mặt đất có tính dẫn điện kém. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân cho một hình trụ ta được kết quả sau: Để xét điều kiện bờ với thành phần tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung chữ nhật nhỏ ABCD vuông góc với mặt phẳng S12. vì ABCD nhỏ nên giao tuyến ab của S12 với ABCD có thể coi là đường thẳng và trường điện từ có thể coi là không đổi khi đi từ điểm A đến điểm B và từ điểm C đến điểm D (0,5 điểm) Các vectơ đơn vị : Là vectơ tiếp tuyến với mặt phân cách S12 là pháp tuyến với S12 Vuông góc với mặt ABCD. Điều kiện bờ đối với Eζ Áp dụng địmh luật hai ở dạng tích phân: Lấy l làm chu vi của ABCD vế trái có thể viết thành : Trong đó: E1 E2 là các vectơ trong môi trường (MT) 1 và môi trường 2 E12 và E21 là các vectơ vừa ở trong MT1 và MT2 Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba BC và AD → 0 (1 điểm) Như vậy: vế phải : Do đó : Như vây: Thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường không thay đổi khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm thay đổi hướng theo ε khi chuyển qua bề mặt phân cách : D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ (1,5 điểm) Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường : Ta có : (2 điểm) Xét phương trình sau: Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phần trước ta có: (‏٭) Khi đó vế phải phương trình trên là : Do D hữu hạn nên: Còn (‏٭‏٭) JS là vectơ mật độ dòng điện mặt từ (‏٭) và (‏٭‏٭) ta có : Như vậy vectơ cường độ từ trường có thành phần tiếp tuyến thay đổi một lượng mật độ dòng điện mặt khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Trong môi trường dẫn điện thay ε = εp Trong môi trường dẫn điện k là một số phức Đặt k = p-jα Với (1 điểm) Biểu thức trường lúc này có dạng: Dạng phụ thuộc vào thời gian: Như vậy sóng điện từ truyền lan trong môi trường dẫn điện biên độ của nó sẽ bị suy giảm theo quy luật hàm số mũ âm(). Tốc độ pha trong trường hợp này là: (2 điểm) vpha phụ thuộc vào tần số. Môi trường mà vận tốc pha phụ thuộc vào tần số gọi là môi trường tán sắc(môi trường tán sóng). ω,σ mà tăng thì suy ra tăng suy giảm càng nhiều. Nếu môi trường có độ dẫn điện rất lớn thì coi σ = ∞, khi đó φ ≈ π/4 (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân: Lấy S là hình trụ thẳng dài vô hạn Þ D tại mọi điểm trên diện tích xung quanh(Sxq) của hình trụ như nhau. Ta có: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l Þ D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l Þ Mà D = εE Þ (1 điểm) Thế tại điểm cách trục một khoảng r là: Tương tự tại điểm cách trục một khoảng x: Điện trường: Thế: (2 điểm) Câu 23: Mật độ dòng điện dịch chảy qua hai bản tụ là: Mà . Từ đây ta suy ra được: Mà Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe (1 điểm) Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. Þ Còn tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong L là: (S là diện tích của đường tròn bán kính r). Þ Þ (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Ta có hằng số điện môi phức tương đối của đất được biểu diễn như sau: đặc trưng cho tính chất điện môi đặc trưng cho tính chất dẫn điện. Ta thấycàng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn. (1 điểm) - Với λ = 104m thì . Từ đây ta suy ra được đất có tính dẫn điện tốt. Vậy với sóng cực dài λ = 104 → 105 m thì đất có tính dẫn điện tốt. Với λ = 10 m Þ Þ đất có tính dẫn điện kém Vậy với λ = 10-3 → 10 m đất có tính dẫn điện kém. (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 4 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần pháp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường Câu 2 : (3 điểm) Trình bày sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng Câu 3 : (2 điểm) Có 1 tụ phẳng không khí tạo thành từ hai bản tròn bán kính r1 =2cm, và khoảng cách giữa chúng d = 0,5 cm. Tụ điện này là một phần của mạch dòng điện. Trên hai bản tụ có một điện áp biến đổi um =sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).106 rad/s. Hãy tìm dòng điện dịch toàn phần chảy qua hai bản tụ với bán kính r = 1cm. Câu 4 : (2 điểm) Cho cáp đồng trục được tạo bởi hai hình trục dẫn điện, hình trụ trong có bán kính a, trong đó có dao điện I chảy dọc theo dây. Và hình trụ ngoài có bán kính b, trong đó dòng điện cũng bằng I nhưng chảy ngược chiều. Hãy tính cường độ từ trường tại các điểm sau: a ≤ r ≤ b, r >b. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Để xét điều kiện bờ đối với E1n và Hn ta xét hình trụ có đáy S1và S2 nhỏ và độ cao ∆h . - Đối với En Ta xét phương trình Maxwell dạng vi phân sau đây: có thể viết như sau với vế trái của phương trình: Khi ∆h → 0 ta có :(1) S12* là giao tuyến giữa mặt phân cách và hình trụ (1 điểm) Từ vế phải của biểu thức (1) ta có : từ đó ta có từ vế trái và vế phải ta được biểu thức sau đây: D1n - D2n =ρs ε1E1n - ε2E2n =ρs ρs là mật độ điện tích mặt Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm D khi chuyển quabề mặt phân cách 2 môi trường thay đổi một lượng bằng mật độ điện tích mặt ρs. (2 điểm) - Điều kiện bờ đối với Hn Xét phương trình Maxwell µ1H1n - µ2H2n=0 Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ từ cảm Bn liên tục khi đi qua bề mặt phân cách hai môi trường. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Ta khảo sát sóng phẳng Dạng phụ thuộc vào thời gian(dạng tức thời) như sau: Trong môi trường điện môi lý tưởng σ = 0 thì k là số thực: Phương trình mặt đồng pha của sóng: (3.5) Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt) (1 điểm) Ở mỗi thời điểm t mặt đồng pha của sóng là mặt phẳng z = const.Vận tốc pha là vận tốc di chuyển của mặt đồng pha, ký hiệu là Trong không gian tự do: Và (2 điểm) (3 điểm) Câu 3 : (2 điểm) Mật độ dòng điện dịch chảy qua hai bản tụ là: Mà . Từ đây ta suy ra được: Mà Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe (1 điểm) Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên tại mọi điểm trên đường cong L là như nhau. Þ Còn tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong L là: (S là diện tích của đường tròn bán kính r). Þ Þ (2 điểm) Câu 4 : (2 điểm) Áp dụng định luật dòng điện toàn phần của Ampe Xét L là đường tròn có tâm nằm trên trục của cáp đồng trục bán kính r. L vuông góc với trục của cáp. Do tính chất đối xứng của cáp nên H tại mọi điểm trên L là như nhau: (1 điểm) Trường hợp r>b thì Trường hợp a≤ r ≤b thì (2 điểm) Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ĐỀ THI SỐ 5 Môn: Lý thuyết trường điện từ Thời gian : 90 phút Hình thức thi : Viết Câu 1 : (3 điểm) Hãy chứng minh và phát biểu định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. Véc tơ Poynting. Câu 2 : (3 điểm) Hãy trình bày về hiệu ứng bề mặt vật dẫn. Câu 3 : (2 điểm) Có dòng điện không đổi I chảy theo dây dẫn hình trụ tròng bán kính a. Hãy tìm cường độ trường tại điểm bất kỳ cách trục dây dẫn 1 khoảng r cho hai trường hợp r>a và r <a. Câu 4 : (2 điểm) Trong nửa không gian ứng với tọa độ z>0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim loại đồng có độ dẫn điện riêng , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm và độ thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm. Đáp án: Câu 1 : (3 điểm) Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất, nên nó cũng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng. Từ vật lý năng lượng điện từ trong một đơn vị thể tích : H và E thay đổi theo thời gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi Áp dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell : ; (1 điểm) Vậy ta có : Ta có Lấy tích phân theo thể tích V 2 vế rồi áp dụng định luật Lý Ôtstrôgratski – Gauss. (1) (2) (2 điểm) Xét ý nghĩa: là công suất tiêu hao dưới dạng nhiệt trong thể tích V kí hiệu Pt là Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V ký hiệu Pe là tốc độ biến thiên năng lượng điện từ trong V là công suất chảy ngoài V qua diện tích S. Tóm lại: Công suất do nguồn ngoài sinh ra trong thể tích V bằng tổng công suất tiêu hao dưới tác dụng nhiệt trong V, công suất chảy ra ngoài V qua diện tích S và công suất làm thay đổi điện từ trường trong V. Đó chính là định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. (3 điểm) Câu 2 : (3 điểm) Trong vật dân điện tốt (σ >>1) ta có : (1) Khi σ rât lớn thì α cũng rất lớn dẫn đến suy giảm càng nhiều, ta thấy biên độ cường độ trường suy giảm rất nhanh khi truyền vào trong vật dẫn. Nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. Khi cho dòng điện cao tần chảy trong vật dẫn điện tốt người ta cũng thấy dòng điện này chỉ tồn tại trên một lớp theo định luật Ôm. Jd = σE đối với dạng khảo sát: E=Eme-αze-jβz Jd =σ Eme-αze-jβz =J0e-αze-jβz (2) J0 là mật độ dòng chên bề mặt vật chất J0 = σEm (1 điểm) Mật độ dòng điện sẽ giảm dần khi đi vào sâu trong vật dẫn theo quy luật giống như biên độ cường độ điện trường Hiện tượng sóng điện từ hay sóng điện cao tân khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập chung ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của nó gọi là hiệu ứng bề mặt, hay hiệu ứng Skin Để đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt người ta đưa vào khai niệm độ thấm sâu của trường hay độ sâu thâm nhập của trường ∆, đó là khoảng cách mà ứng với nó biên độ cường độ trường suy giảm đi e lần: e ≈2,718… Ta có : eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α (2 điểm) Hiệu ứng bề mặt được áp dụng trong thực tế (mạ vàng, bạc), khi làm giảm tiêu hao khi truyền sóng điện từ người ta chỉ mạ một lớp mỏng vàng hoặc bạc lên bề mặt kim loại. Khi tính toán các bài toán người ta thấy khái niệm trở kháng