§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính

§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Vì vậy: §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), chúng được gọi là tọa độ trụ của điểm M. Công thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 (loại) §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vậy: Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : và ta có §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Rõ ràng, trong hình tròn ta có §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vậy : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt: ρ là độ dài đoạn OM Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu φ là góc giữa Ox và tia ON θ là góc giữa Oz và tia OM Khi đó, ta dễ dàng tính được Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu: Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu. Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Vậy : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu x2+y2+z2=1 z Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1 Vậy : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1 0≤φ ≤2π Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu z z §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0 Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu I9=0 Ví dụ 10 : Đổi tích phân sau về tọa độ Descartes Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Suy ra D: x2+y2≤1 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 Vậy: Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích phân theo dz là cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng tương ứng là mặt trụ trong không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 §2. Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với 0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức 0 ≤ z ≤ 6 – x §2. Tích phân bội ba – UD hình học Vậy: D ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn §2. Tích phân bội ba – UD hình học π/4 ≤ φ D1 ≤ π Trong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra Vậy: §2. Tích phân bội ba – UD hình học nên 0 ≤ θ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1 ≤ ρ ≤ 2 D D1 §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ta tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu