48 Bộ đề toán tổng hợp năm 2008

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 1 ÑEÀ SOÁ 1À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 3 3y (x m) 3x m= − − + (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2a. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực tiểu tại ñiểm có hoành ñộ x = 0. b. Chứng tỏ ñồ thị của hàm số (1) luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi m thay ñổi. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: ( )23 xtgx 2 3 sin x 1 tgxtgcos x 2− − = + . 2. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 m 16 x 4 0 16 x − − − = − . Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng 1 x mz m 0 d : y z 1 0 − − = − + = và 2 mx 3y 3 0 d : x 3z 6 0 + − = − + = . 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1 khi m = 2. 2. Tìm m ñể hai ñường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 3 8 dx I x 1 x − − = −∫ . 2. Chứng tỏ rằng với m∀ ∈ ℝ , phương trình sau luôn có nghiệm thực dương: 3 2 2x 3mx 3m x 2 0+ − − = . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0 và d2: 4x + 3y – 5 = 0. Lập phương trình ñường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và bán kính là R = 2. 2. Chứng minh rằng: 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2nC 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1) −+ + + + = + . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2 3 x 1 log log x log log x x 3 2 − = + . 2. Cho hình khối lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AA’ = h, AB = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC và CC’. Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh BB’ tại Q. Tính thể tích V của khối ña diện PQBCNM theo a và h. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 2 ÑEÀ SOÁ 2À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2 2x (2m 1)x m m 4 y 2(x m) + + + + + = + (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) có ñiểm cực ñại, cực tiểu và tính khoảng cách giữa hai ñiểm ñó. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 4 3 2 24 cos x 2cos x sin 2x 2sin x cos x 2 0 cos2x 1 + + + − = − . 2. Giải phương trình: 2 2x 2 x 8x 1 8x 2− − + = + . Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng x 1 2t d : y 2 t , t z 3t  = + = − ∈ = ℝ và mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 1 0α − − + = . 1. Tìm ñiểm M trên d sao cho khoảng cách từ ñó ñến ( )α bằng 3. 2. Cho ñiểm A(2;–1; 3) và gọi K là giao ñiểm của d với ( )α . Lập phương trình ñường thẳng ñối xứng với ñường thẳng AK qua d. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 3 3 2 0 I x x x 2 dx= − − −∫ . 2. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2x y z M y z z x x y = + + + + + . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñiểm I(1; 2) và 2 ñường thẳng (d1): x – y = 0, (d2): x + y = 0. Tìm các ñiểm 1A Ox, B d∈ ∈ và 2C d∈ sao cho ABC∆ vuông cân tại A ñồng thời B, C ñối xứng với nhau qua ñiểm I. 2. Tính tổng 14 15 16 29 3030 30 30 30 30S C C C ... C C= − + − − + . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: 23 3log x 1 log x2 5.2 2 0+ − + ≤ . 2. Cho khối nón ñỉnh S có ñường cao SO = h và bán kính ñáy R. ðiểm M di ñộng trên ñoạn SO, mặt phẳng (P) ñi qua M và song song với ñáy cắt khối nón theo thiết diện (T). Tính ñộ dài ñoạn OM theo h ñể thể tích khối nón ñỉnh O, ñáy (T) lớn nhất. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 3 ÑEÀ SOÁ 3À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số x my m x = + (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) có 2 ñiểm cực trị và khoảng cách giữa chúng là 16 2 . Câu II (2 ñiểm) 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( ); 32 π π của phương trình: ( ) ( )9 11sin 2x cos x 1 2 sin x2 2 π π + − − = + . 2. Giải hệ phương trình: 2 2x y 2xy 8 2 x y 4  + + = + = . Câu III (2 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho 2 ñường thẳng 1 1 1 1 x 1 d : y 4 2t , t z 3 t  = = − + ∈ = + ℝ và 2 2 2 2 x 3t d : y 3 2t , t z 2  = − = + ∈ = ℝ . 1. Lập phương trình mặt phẳng ( )α chứa d1, ( )β chứa d2 và song song với nhau. 2. Lập phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng d1 trên mặt phẳng ( )β . Câu IV (2 ñiểm) 1. Cho hai hàm số f(x) = (x – 1)2 và g(x) = 3 – x. Tính tích phân 3 2 I min{f(x), g(x)}dx − = ∫ . 2. Chứng tỏ phương trình 1ln(x 1) ln(x 2) 0 x 2 + − + + = + không có nghiệm thực. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho OAB∆ vuông tại A. Biết phương trình (OA) : 3x y 0− = , B Ox∈ và hoành ñộ tâm I của ñường tròn nội tiếp OAB∆ là 6 2 3− . Tìm tọa ñộ ñỉnh A và B. 2. Từ một nhóm du khách gồm 20 người, trong ñó có 3 cặp anh em sinh ñôi người ta chọn ra 3 người sao cho không có cặp sinh ñôi nào. Tính số cách chọn. Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: lg x lg y lg 4 lg 3 3 4 (4x) (3y)  = = . 2. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có trung ñoạn bằng a và góc giữa cạnh bên với cạnh ñáy bằng α . Tính thể tích của khối hình chóp S.ABCD theo a và α . ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 4 ÑEÀ SOÁ 4À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số 3 2y x 3x 4= + − có ñồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) . 2a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và ñi qua ñiểm M(0; – 4). b. Tìm m ñể phương trình 3 2x 3x 4 2m 0− − + − = có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2 1 sin x 8 cos x = − . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 2x y xy 15 8x y 35  + = + = . Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho 3 ñiểm O(0; 0; 0), A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng ( ) : 2x y z 5 0α + − + = . 1. Chứng tỏ rằng mặt phẳng ( )α không cắt ñoạn thẳng AB. 2. Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua 3 ñiểm O, A, B và có khoảng cách từ tâm I ñến mặt phẳng ( )α bằng 5 6 . Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 2 0 dx I 3 5 sin x 3cos x π = + +∫ . 2. Cho 2 số thực x, y thỏa 2 2x xy y 2+ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2P x xy y= − + . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip 2 2x y (E) : 1 9 4 + = . Từ ñiểm M di ñộng trên ñường thẳng (d): x + y – 4 = 0 lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với (E) (A, B là tiếp ñiểm). Chứng tỏ ñường thẳng (AB) luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 2. Một tập thể gồm 14 người trong ñó có An và Bình. Từ tập thể ñó người ta chọn ra 1 tổ công tác gồm 6 người sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng, hơn nữa An và Bình không ñồng thời có mặt. Tính số cách chọn. Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình ( ) 2 23 4 1 12 2 2 2 2 x 32 log x log 9 log 4 log x 8 x      − + <       . 2. Cho ñường tròn (C) có ñường kính AB = 2R và M là trung ñiểm của cung AB. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) lấy ñiểm S sao cho AS = h. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB, cắt SB và SM lần lượt tại H và K. Tính thể tích hình chóp S.AHK theo h và R. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 5 ÑEÀ SOÁ 5À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số 1y x 3 x = + − có ñồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C). 2a. Gọi I là giao ñiểm 2 tiệm cận của (C). Chứng tỏ không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua I. b. Tìm m ñể phương trình 2x (m 3) x 1 0− + + = có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu II (2 ñiểm) 1. Tìm m ñể phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn 7 3; 12 4 π π      : 4 42(sin x cos x) cos 4x 4 sin x cos x m 0+ + + − = . 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 2y 5 x 2 4 x x 4 x= − + − + + − . Câu III (2 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 1 x t d : y t, t z 0  = = − ∈ = ℝ và 2 x 2z 5 0 d : y 2 0 + − = + = . 1. Tính cosin góc tạo bởi hai ñường thẳng d1 và d2. 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm 1I d∈ và I cách d2 một khoảng bằng 3. Cho biết mặt phẳng ( ) : 2x 2y 7z 0α + − = cắt (S) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính bằng 5. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 2 4 2 0 x x 1 I dx x 4 − + = +∫ . 2. Cho 2 số thực dương x, y. Chứng minh rằng: ( ) 2 y 9 (1 x) 1 1 256 x y  + + + ≥   . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn 2 2 1(C ) : x y 10x 0+ − = và 2 22(C ) : x y 4x 2y 20 0+ + − − = . a. Lập phương trình ñường thẳng chứa dây cung chung của 1(C ) và 2(C ). b. Lập phương trình tiếp tuyến chung ngoài của 1(C ) và 2(C ) . 2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức ( ) 102x 1 3 + . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải phương trình 2lg(10x) lg x lg(100x )4 6 2.3− = . 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có ñộ dài cạnh bằng a. Gọi I, K là trung ñiểm của A’D’ và BB’. a. Chứng minh IK vuông góc với AC’. b. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng IK và AD theo a. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 6 ÑEÀ SOÁ 6À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2x 2x m y x 2 − + = − (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2a. Tìm m ñể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (– 1; 0). b. Tìm m ñể phương trình 2 21 t 1 t4 (m 2)2 2m 1 0− −− + + + = có nghiệm thực. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 1 sin x 1 cos x 1− + − = . 2. Giải bất phương trình: 1 11 x x x x − + − ≥ . Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 1 x y z d : 1 1 2 = = , 2 x 2y 1 0 d : y z 1 0 + + = − + = và mặt phẳng ( ) : x y z 0α − + = . 1. Xét vị trí tương ñối của hai ñường thẳng d1 và d2. 2. Tìm tọa ñộ hai ñiểm 1M d∈ , 2N d∈ sao cho ( )MN α và MN 2= . Câu IV (2 ñiểm) 1. Cho hình phẳng S giới hạn bởi các ñường my = x2 và mx = y2 với m > 0. Tính giá trị của m ñể diện tích S = 3 (ñvdt). 2. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa 3x y z 4 + + = . Chứng minh rằng: 33 3x 3y y 3z z 3x 3+ + + + + ≤ . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñiểm A(1; 0) và B(1; 3 ). Lập phương trình ñường phân giác trong BE của OAB∆ và tìm tâm I của ñường tròn nội tiếp OAB∆ . 2. Xét tổng 0 2 4 6 2n 2 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 2 S 2C C C C ... C C 3 5 7 2n 1 2n 1 −= + + + + + + − + với n 4> , n ∈ Z . Tính n, biết 8192S 13 = . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: 2 2 1 3 log x log x 2 22x 2≥ . 2. Cho hình cầu (S) ñường kính AB = 2R. Qua A và B dựng lần lượt hai tia tiếp tuyến Ax, By với (S) và vuông góc với nhau. Gọi M, N là hai ñiểm di ñộng lần lượt trên Ax, By và MN tiếp xúc (S) tại K. Chứng minh AM. BN = 2R2 và tứ diện ABMN có thể tích không ñổi. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 7 ÑEÀ SOÁ 7À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số 3 21 1y x mx 2x 2m 3 3 = + − − − (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m 2 = . 2. Tìm giá trị ( )5m 0; 6∈ sao cho hình phẳng S ñược giới hạn bởi ñồ thị của hàm số (1) và các ñường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích là 4 (ñvdt). Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: ( )2 3 4 2 sin2x 2 3 2 cotgx 1 cos x sin2x + + − = + . 2. Giải hệ phương trình: 3 3 x 2x y y 2y x  = + = + . Câu III (2 ñiểm). Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – y + 2 = 0 và hai ñường thẳng 1 x y 2 0 d : x z 1 0 + − = − − = , 2 x y 1 0 d : y z 2 0 + + = + − = . 1. Gọi mặt phẳng ( )α chứa d1 và d2. Lập phương trình mặt phẳng ( )β chứa d1 và ( ) ( )β ⊥ α . 2. Cho hai ñiểm A(0; 1; 2), B(– 1; 1; 0). Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên mặt phẳng (P) sao cho MAB∆ vuông cân tại B. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 6 2 dx I 2x 1 4x 1 = + + +∫ . 2. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa x + 2y + 4z = 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2xy 8yz 4zx P x 2y 2y 4z 4z x = + + + + + . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường thẳng 2 2( ) : (1 m )x 2my m 4m 3 0∆ − + + − − = và (d): x + y – 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm K nằm trên (d) sao cho khoảng cách từ ñó ñến ( )∆ luôn bằng 1. 2. Chứng minh: 2 3 4 n n 2n n n n2C 2.3C 3.4C ... (n 1)nC (n 1)n.2 −+ + + + − = − . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: ( ) 3 2 x x log y 3 2y y 12 .3 81y + = − + = . 2. Cho ABC∆ cân tại A, nội tiếp trong ñường tròn tâm O bán kính R = 2a và A= 1200. Trên ñường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy ñiểm S sao cho SA = a 3 . Gọi I là trung ñiểm của BC. Tính số ño góc giữa SI với hình chiếu của nó trên mp(ABC) và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 8 ÑEÀ SOÁ 8À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số 2x (2m 1)x m y x m − + + = + (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu và viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm ñó. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2 cos x 12(1 sin x)(tg x 1) sin x cos x − + + = + . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 5 y x 2 x y xy 21  + = + + = . Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng 1 x 0 d : z 0 = = và 2 x y 0 d : y z 1 0 − = − + = . 1. Chứng minh hai ñường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có ñường kính là ñoạn vuông góc chung của d1 và d2. Câu IV (2 ñiểm) 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa 23f( x) 2f(x) tg x− − = , tính 4 4 I f(x)dx π π − = ∫ . 2. Cho 3 số thực x, y, z không âm thỏa 3 3 3x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của tổng S = x + y + z. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ∆ABC vuông tại A và B(– 4; 0), C(4; 0). Gọi I, r là tâm và bán kính ñường tròn nội tiếp ∆ABC. Tìm tọa ñộ của I, biết r = 1. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10(x + 1)10. Từ ñó suy ra giá trị của tổng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 220 1 2 1010 10 10 10S C C C ... C= + + + + . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 2 22 log x log 5x 3 x 0+ − = . 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với ñáy. Biết AD = DC = a, AB = 2a và 2a 3SA 3 = . Tính góc giữa các cặp ñường thẳng SB và DC, SD và BC. ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 9 ÑEÀ SOÁ 9À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số 2x x 1 y x 1 + − = − có ñồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C). 2. Gọi A, B là hai ñiểm cực trị của (C). Tìm tọa ñộ ñiểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M với (C) vuông góc ñường thẳng AB. Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: ( )3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + . 2. Giải bất phương trình: 2 x 1x (x 1) 3 0 x 1 − + + − ≤ + . Câu III (2 ñiểm) 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho tứ diện O.ABC với A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0) và C(0; a 3 ; 0) (a > 0). Tìm tọa ñộ hình chiếu H của O(0; 0; 0) trên mp(ABC) theo a. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñiểm A(1;–1; 3), B(2; 4; 0) và mặt cầu 2 2 2(S) : x y z 2x 4z 1 0+ + − + + = . Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính bằng 2. Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2(P) : x 3y 0+ = và 2(C) : y 4 x= − − . 2. Cho ABC∆ có 0A 90≤ và thỏa ñẳng thức AsinA 2sinBsinCtg 2 = . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 1 sin 2M sinB − = . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x = 0. Từ ñiểm M(1; 4) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với (C) (A, B là 2 tiếp ñiểm). Lập phương trình ñường thẳng AB và tính ñộ dài dây cung AB. 2. Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển ( )102 31 x x x+ + + . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình: 25 5log x log x5 x 10+ ≤ . 2. Cho hình nón cụt tròn xoay có bán kính ñáy lớn là R, góc tạo bởi ñường sinh và trục là α (0 45 )< α <  . Thiết diện qua trục hình nón cụt có ñường chéo vuông góc với cạnh xiên. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt ñó theo R và α . ……………………Hết…………………….. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 48 Boä ñeà toaùn toång hôïp naêm 2008 Trang 10 ÑEÀ SOÁ 10À ÁÀ ÁÀ Á PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 ñiểm). Cho hàm số 2x 2x 2 y x 1 − − = + có ñồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C). 2. Tìm ñiều kiện m ñể trên (C) có 2 ñiểm khác nhau A và B với tọa ñộ thỏa A A B B x y m x y m + = + = . Câu II (2 ñiểm) 1. Giải phương trình: 3 3cos x sin x sin x cos x 0 sin2x cos2x − + − = − . 2. Giải hệ phương trình: 2x 1 y 7 2y 1 x 7  + + = + + = Câu III (2 ñiểm) 1. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, lập phương trình ñường thẳng d ñi qua gốc tọa ñộ O biết d có hình chiếu trên mặt phẳng (Oxy) là trục hoành và tạo với (Oxy) góc 450. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñiểm A(–1; 3; 0), B(0; 1;–2) và mặt cầu 2 2 2(S) : x y z 2x 2y 7 0+ + + − − = . Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn có bán kính bằng 77 3 . Câu IV (2 ñiểm) 1. Tính tích phân e 1 3 2 ln x I dx x 1 2 ln x − = +∫ . 2. Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa x y z 3+ + ≤ . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 x 1 y 1 z 2 + + ≥ + + + . PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ ñược chọn làm câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 4 và ñường thẳng (d): x – 2y + 5 – 1 = 0 cắt nhau tại A, B. Lập phương trình ñường tròn ñi qua 3 ñiểm A, B và K(0; 2). 2. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 220 1 2007 2008 20082008 2008 2008 2008 4016C C ... C C C+ + + + = . Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình 2log (2x) 4x 16x≥ . 2. Cho hình trụ có bán kính ñáy R và ñường cao là R 3 . Trên hai ñường tròn ñáy