Ánh xạ tuyến tính

1 C. IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. ĐỊNH NGHĨA: a. Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ E, F trên  . Một ánh xạ :f E F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu có các tính chất sau: i. , ( ) ( ) ( )x x E f x x f x f x       ii. ( ) ( )x E f x f x        Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian vectơ.  Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu là ( , )Hom E F hay ( , )E FL .  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi tuyến tính của E. Ta ghi ( )Hom E thay cho ( , )Hom E E .  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.  Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu  Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu. b. Thí dụ:  Td1: Ánh xạ đồng nhất :EId E E là 1 phép biến đổi tuyến tính của E.  Td2: Ánh xạ không 0 : 0F E F x    Td3: Ánh xạ 2 3 | : ( , ) ( , 2 , 3 ) g x y x y x x y       là một ánh xạ tuyến tính. Vì:  2( , ), ( , )u x y v x y     ( ) [( , ) ( , )] [( , )]g u v g x y x y g x x y y         =(( ) ( ), 2( ), ( ) 3( ))x x y y x x x x y y           ( , 2 , 3 ) ( , 2 , 3 )x y x x y x y x x y          ( ) ( )g u g v  2  2( , )u x y       ( ) [( , )] ( , 2 , 3 )g u g x y x y x x y           ( , 2 , 3 ) ( )x y x x y g u     2. TÍNH CHẤT a. Mệnh đề 1: Cho ( , )f Hom E F , khi đó: i) (0) 0f  ( vì ( ) (0 ) 0 ( )f O f O f O O   ) ii) ( ) ( )f x f x   iii) 1 1 1 1 , , , , ( ) ( ) n n n n i i i i i i x x E f x f x                b. Mệnh đề 2: Cho ( , )f Hom E F . Nếu f là 1 đẳng cấu thì 1f  cũng là đẳng cấu (từ F vào E). c. Mệnh đề 3: Cho hai không gian vectơ E, F trên  . Giả sử 1,..., na a là 1 cơ sở của E, và 1,..., nb b là n vectơ nào đó của F. Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất từ E vào F thỏa ( ) 1,..., i if a b i n   Chứng minh:  1 n i i i x E x t a     , đặt 1 ( ) n i i i f x t b    . Dễ thấy ( , )f Hom E F .  Nếu có ( , )g Hom E F thỏa ( ) 1,..., i ig a b i n   thì : 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i i i i i i i i i i i i x E x t a g x g t a t g a t b f x               Vậy g f . d. Mệnh đề 4: Nếu ( , )f Hom E F và ( , )g Hom F G thì ( , )g f Hom E G . Thí dụ: Trong không gian vectơ 3 , cho các vectơ (1,1,0), (1,0, 1), (0,1,2)a b c    và (1, 1,0), ( 1,0,0)u v    . a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của 3 . 3 b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của 3 mà ( ) , ( ) , ( )f a v f b u v f c u    . Tính ( , , )f x y z . Bài làm: a) ta có 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 1 2 D         nên a, b, c độc lập tuyến tính. Mà 3dim 3 , nên a, b, c là cơ sở của 3 . b) 3( , , )u x y z   ( 2 ) (2 2 ) ( )u x y z a x y z b x y z c          nên ( , , ) (( 2 ) (2 2 ) ( ) )f x y z f x y z a x y z b x y z c          ( 2 ) ( ) (2 2 ) ( ) ( ) ( )x y z f a x y z f b x y z f c          ( 2 ) (2 2 )[ ] ( )x y z v x y z u v x y z u           (2 3 2 , 3 3 3 ,0)x y z x y z      3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính ( , )f Hom E F . Tập hợp ( ) { ( ) / }f E f x x E  được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: Im f Thí dụ: Im0 {0} 0  , Im EId E  Mệnh đề 5: Im f là một không gian con của F.  Mệnh đề 6: Cho ( , )f Hom E F . Nếu 1,..., na a là một họ sinh của E thì 1( ),..., ( )nf a f a là một họ sinh của Im f . Chứng minh: Hiển nhiên 1( ),..., ( ) Imnf a f a f . Ngoài ra, Im ( )y f x E y f x     Vì x E nên 1 n i i i x a   , suy ra 1 ( ) ( ) n i i i y f x f a    . Vậy 1( ),..., ( )nf a f a là một họ sinh của Im f . 4 NHẬN XÉT: f toàn ánh  Im f F Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính 3 3:f   ( , , ) ( 2 , , )x y z x y y z x y z    Tìm một cơ sở của Im f . Giải: Vì cơ sở tự nhiên 1 2 3(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)e e e   là 1 họ sinh của 3 nên 1 2 3( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)f e f e f e     là một họ sinh của Im f . Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 1 2 3( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)f e f e f e     sẽ là 1 cơ sở của Im f . Ta có: 1 2 3 ( ) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ( ) 2 1 1 0 1 1 0 1 1 ( ) 0 1 1 0 1 1 0 0 0 f e f e f e                              , suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của 1 2 3( ), ( ), ( )f e f e f e là 1 2( ), ( )f e f e . Đây là 1 cơ sở của Im f .  HẠNG CỦA AXTT: Cho ( , )f Hom E F . Số chiều của Im f được gọi là hạng của f. Ký hiệu rank( )f . Tóm lại: rank( ) dim Imf f b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính ( , )f Hom E F . Tập hợp { / ( ) 0 }x E f x  được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: ker f Thí dụ: i) ker 0 E , ker 0EId  ii) Cho ánh xạ tuyến tính 3 2: ( , , ) ( , )x y z x y z y        (0,0,0) (0,0) 0 (0,0,0) ker     (1, 1, 1) (0,0,0) (1, 1, 1) ker         Mệnh đề 7: 5 ker f là một không gian con của E.  Mệnh đề 8: Cho ánh xạ tuyến tính ( , )f Hom E F . f đơn ánh ker 0f  . Chứng minh: ( ):  0 ker f  ker ( ) 0 (0) 0x f f x f x      . Suy ra ker 0f  ( ) , ( ) ( ) ( ) 0x x E f x f x f x x        ker 0 0x x f x x x x           .  Hệ quả 9: Cho ( , )f Hom E F là một đơn cấu. Nếu 1,..., na a E độc lập tuyến tính thì 1( ),..., ( )nf a f a độc lập tuyến tính. Chứng minh: Xét 1 ( ) 0 n i i i f a   , suy ra 1 1 ( ) 0 ker 0 n n i i i i i i f a a f         1 0 0 n i i i i a i        . Vậy 1( ),..., ( )nf a f a độc lập tuyến tính.  Mệnh đề 10: Cho ( , )f Hom E F và dim E n . Ta có: Imdi kerm dim dimf fE   Chứng minh: Giả sử dim ker f p n  và gọi 1,..., pa a là một cơ sở của ker f . Bổ sung 1,..., pa a đến một cơ sở 1 1,..., , ,...,p p na a b b của E. Ta cần chứng minh 1( ),..., ( )p nf b f b là cơ sở của Im f . Thật vậy:  Vì 1 1,..., , ,...,p p na a b b là họ sinh của E nên ảnh của chúng: 1 1( ),..., ( ), ( ),..., ( )p p nf a f a f b f b là họ sinh của Im f , nhưng vì 1( ) ... ( ) 0pf a f a   nên 1( ),..., ( )p nf b f b sinh Im f .  Nếu 1 10 ( ) ( ) ( )p p n n if b f b K       thì 1 10 ( )p p n nf b b     . Suy ra 6 1 1 1 1 1 1kerp p n n p p n n p pb b f b b a a                  1 1 1 1 1 1 0 0 p p p p n n p p n a a b b                           Do đó dim Im dim ker dimf f n p p n E      .  Mệnh đề 11: Cho ( , )f Hom E F và dim dimE F n  . Khi đó, 3 điều sau tương đương: i) f đơn cấu ii) f toàn cấu iii) f đẳng cấu. Chứng minh: Ta biết dim Im dim dim kerf E f  , do đó: o Nếu f đơn cấu thì dim ker 0f  dim Im dim Imf E f F    , vậy f toàn ánh. o Nếu f toàn ánh thì Im f F dim Im dimf E  dim ker 0f  , vậy f đơn ánh. Thí dụ: Tìm cơ sở của ker với 3 2: ( , , ) ( , )x y z x y z y        Giải: 3( , , )u x y z   ker ( , , ) 0u x y z    0 0 x y y z       ( , , ), x y y u y y y y z y           Suy ra một cơ sở của ker là 1 ( 1,1,1)u   . 4. KHÔNG GIAN VECTƠ ĐẲNG CẤU a. ĐỊNH NGHĨA: Không gian vectơ E gọi là đẳng cấu không gian vectơ F nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ E đến F. Ký hiệu: E F 7 b. TÍNH CHẤT: E E E F F E E F F G E G             c. Mệnh đề 12: Cho 2 không gian vectơ E và F. dim dimE F E F   . 5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Định nghĩa: Cho ( , )f Hom E F . Giả sử 1( ) : ,..., na a a là một cơ sở của E. 1( ) : ,..., mb b b là một cơ sở của F. Giả sử 1 ( ) 1,..., m j ij i i f a t b j n      Khi đó, ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn t t t t t t A t t t                được gọi là ma trận của f đối với cơ sở ( )a và cơ sở ( )b . Ký hiệu ( , ( ), ( ))M f a b . b. Thí dụ : Cho ánh xạ tuyến tính 3 2: ( , , ) ( , ) f x y z x y z x y        Viết ma trận của f đối với cơ sở 1 2 3(1,1,0), (0, 2, 2), (2,0, 2)a a a   của 3 và cơ sở 1 2(1,1), (1, 1)b b   của 2 . Bài làm : Ta có : 1 2 3( ) (2,0), ( ) (4, 2), ( ) (4, 2)f a f a f a    Và 1 1 2 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) 3 ( ) 3 f a b b f a b b f a b b       Nên 8 1 1 3 ( , ( ), ( )) 1 3 1i j M f a b      c. CÔNG THỨC MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho ( , )f Hom E F và 1( ) : ,..., na a a là một cơ sở của E, 1( ) : ,..., mb b b là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở ( )a và cơ sở ( )b là 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn t t t t t t A t t t                Cho x E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở ( )a là 1 n x X x         Cho y F có tọa độ đối với cơ sở ( )b là 1 m y Y y         Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : ( )y f x Y AX   Thí dụ : Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc của 3 là : 1 0 1 2 1 0 1 0 0 A        a) Tính (2,3,1)f b) Xác định ( , , )f x y z c) Tìm 1 cơ sở của Im f Bài làm : a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là 2 3 1 X        9 Suy ra tọa độ của ( )y f u đối với csct là 1 0 1 2 1 2 1 0 3 7 1 0 0 1 2 Y AX                             Vậy ( ) (1,7, 2)f u  . b) Tương tự, tọa độ của ( , , )x y z đối với cơ sở chính tắc là x X y z        Suy ra tọa độ của ( , , )f x y z đối với csct là 1 0 1 2 1 0 2 1 0 0 x x z Y AX y x y z x                               Vậy ( ) ( , 2 , )f u x z x y x   . c) Họ vectơ 1 2 3 ( ) (1,2,1) ( ) (0,1,0) ( ) ( 1,0,0) f e f e f e     là họ sinh của Im f . Và vì 1 2 3( ), ( ), ( )f e f e f e độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của Im f . d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E. Xét 2 cơ sở 1( ) : ,..., na a và 1( ) : ,..., nb b của E. Giả sử : o ma trận chuyển từ ( ) sang ( ) là T o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là A. o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là B. Khi đó, ta có : Mệnh đề 14 : 1B T AT Thí dụ : Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính 3 3: ( , , ) ( , , ) f x y z x y z y z x y         đối với cơ sở 1 2 3(1,1,2), (1, 1, 1), (0,1,1)a a a     . 10 Bài làm : Cách 1 : Ta có : 1 2 3 ( ) (0, 2,1) ( ) (1, 3, 1) ( ) (0,2,1) f a f a f a      Tọa độ của ( , , )x y z đối với cơ sở 1 2 3, ,a a a : 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( 3 2 )x y z z y a x y z a x y z a        Do đó : 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 ( ) 4 ( ) 2 6 ( ) 4 f a a a a f a a a a f a a a a            Vậy 1 2 1 ( , ( )) 1 1 1 4 6 4 M f a         Cách 2 : Xét cơ sở chính tắc 1 2 3, ,e e e . Ta có 1 2 3 ( ) (1, 1,0) ( ) (1,1,1) ( ) ( 1,1,0) f e f e f e      Suy ra 1 1 1 ( , ( )) 1 1 1 0 1 0 iM f e A         Ma trận chuyển từ cơ sở ( )ie sang cơ sở ( )ia là 1 1 0 1 1 1 2 1 1 T        1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 T          Do đó : 1 1 2 1 ( , ( )) 1 1 1 4 6 4 iM f a B T AT            6. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN a. ĐỊNH NGHĨA 1 : Cho phép biến đổi tuyến tính ( )f Hom E . Cho vectơ \ 0u E và số thực  . Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  nếu ( )f u u . 11 Thí dụ :  Cho 3 3: ( , , ) ( , , ) f x y z x y y z z x        Ta thấy : (1,1,1) 0 0(1,1,1)f   . Vậy 3(1,1,1)u   là 1 vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 0  .  Cho 2 2: ( , ) ( , 2 2 ) g x y x y x y       Ta thấy : (1, 2)v  là 1 vectơ riêng của g vì ( ) (1,2) (3,6) 3(1,2) 3g v g v    . Giá trị riêng tương ứng là 3  . NHẬN XÉT : Giả sử 1( ) : ,..., na a a là 1 cơ sở của E và ( , ( ))A M f a . Nếu u E là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  và tọa độ của u đối với ( )a là U, thì ( )f u u AU U    b. ĐỊNH NGHĨA 2 : Cho ma trận vuông A cấp n. Ta gọi vectơ 1( ,..., ) nnu u u  là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  nếu :  0u   1 1 n n u u A u u                        . Thí dụ : Cho 2 1 1 0 2 0 1 1 2 A        , vectơ 3(1, 1,1)u    là vectơ riêng của A vì : 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 A                               MỆNH ĐỀ 15: Nếu 1,..., ku u là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau đôi một 1,..., k  thì 1,..., ku u độc lập tuyến tính. c. ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG 12  Cho ma trận vuông A cấp n. Khi đó : Đa thức ( ) det( )nP A I   được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Thí dụ : Đa thức đặc trưng của 1 2 1 0 A      là 21 2( ) 2 1 P         .  Nếu u là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  thì ( ) 0nAU U A I U      . Vậy hệ phương trình thuần nhất ( ) 0nA I U  có nghiệm không tầm thường (vì 0u  ), suy ra det( ) 0nA I  , nghĩa là  là nghiệm của đa thức đặc trưng ( ) det( )nP A I   của A. d. PHƯƠNG PHÁP TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRị RIÊNG :  Tìm giá trị riêng : o Tính đa thức đặc trưng ( ) det( )nP A I   của A. o Giải phương trình ( ) 0P   tìm nghiệm thực (nếu có), đó là các giá trị riêng cần tìm.  Tìm vectơ riêng : o Giả sử  là giá trị riêng của A. o Giải hệ thuần nhất ( ) 0nA I U  . Nghiệm khác 0 của hệ này là vectơ riêng của A. Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng của A. Thí dụ : Tìm vectơ riêng của 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A        . Giải : Đa thức đặc trưng 2 0 1 ( ) 0 1 0 ( 1) ( 1) 1 0 p               . Các giá trị riêng là 1  hay 1   .  1:  Xét hệ phương trình 1 0 1 0 0 0 0 ( ) 1 0 1 x y I z                  13 ( ) x t I y r z t        . Vậy các vectơ riêng ứng với 1  là 3( , , )u t r t  với 2 2 0r t  . Một họ nghiệm cơ bản là 1 2(1,0,1), (0,1,0)u u  .  1:   Xét hệ phương trình 1 0 1 0 2 0 0 ( ) 1 0 1 x y II z                  ( ) 0 x t II y z t       Vậy các vectơ riêng ứng với 1   là 3( ,0, )u t t   với 0t  . Một họ nghiệm cơ bản là 3 (1,0, 1)u   . e. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG  MA TRẬN ĐỒNG DẠNG : Hai ma trận vuông A, B cấp n gọi là đồng dạng nếu có ma trận không suy biến T sao cho : 1B T AT . Như vậy 2 ma trận của cùng 1 phép biến đổi tuyến tính luôn luôn đồng dạng.  MA TRẬN CHÉO : Ma trận chéo là một ma trận vuông có dạng 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a                Nếu ma trận A đồng dạng với một ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hóa được, và ma trận chéo đó gọi là dạng chéo của A.  Việc tìm ma trận chéo đồng dạng với A được gọi là chéo hóa ma trận A.  MỆNH ĐỀ 16 : Nếu trong không gian n có 1 cơ sở gồm toàn vectơ riêng của A thì A chéo hóa được.  Thí dụ : 14 Ma trận 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A        là chéo hóa được, vì theo trên ta có 1 2(1,0,1), (0,1,0)u u  , 3 (1,0, 1)u   là 3 vectơ riêng của A tạo thành 1 cơ sở của 3 . Dạng chéo của A là : 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 B T AT                                        15 BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Cho E và F là các không gian vectơ trên trường  và ánh xạ :f E F . Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương: a. f là ánh xạ tuyến tính. b. , , ( ) ( ) ( )x x E f x x f x f x              . c. , ( ) ( ) ( )x x E f x x f x f x           2. Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính: a. 3 2:f   |( , , ) ( , )x y z x y z x z    b. 3 4:f   |( , , ) ( , , , )x y z z y z x x y    c. 3 3:f   |( , , ) ( , , )x y z x y y z z x    d. : (2) (2)g Mat Mat  | 0 0 a b a b c d c d           Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? 3. Cho các vectơ 1 2 3 4(1,1,1), (2, 1,1), (0,3,1), (0,1,1)a a a a     và các vectơ 1 2 3 4(2,1,1), (5,2,0), ( 1,0,2), (1,2,0)b b b b     trong 3 . Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất f của 3 mà: ( ) , 1,2,3,4i if a b i   . 4. Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2). 5. Cho ánh xạ 3 3:f   |( , , ) ( , , )x y z x y x y x   a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính của 3 . b. Tìm một cơ sở của Imf và kerf. c. Cho 3( , , )u x y z  . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để Imu f . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để keru f . d. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . e. Viết ma trận của f đối với cơ sở 1 2 3( 1,1,0), (0, 1,1), (1,0,1)a a a     của 3 . 6. Cho phép biến đổi tuyến tính f của 4 . Biết f biến cơ sở chính tắc 1 2 3 4, , ,e e e e của 4 thành các vectơ 1 2( ) (1,0, 1,0), ( ) (1, 1,1, 1)f e f e     , 3( ) (0,1,0,1)f e  và 4( ) ( 2,1,0,1)f e   . a. Tìm hạng của f. 16 b. Cho 4( , , , )u x y z t  . Hãy xác định ( )f u theo , , ,x y z t . c. Tìm cơ sở của Im f và ker f . d. Cho 4( , , , )u x y z t  . Tìm điều kiện cần và đủ đối với , , ,x y z t để Imu f , keru f . e. Viết ma trận của f đối với cơ sở 1 2 3 4( 1,1,0,0), (0, 1,1,0), (1,0,1,0), (1,1,0,1)a a a a      của 4 . 7. Cho phép biến đổi tuyến tính 3 3 2| : ( , , ) ( , , ) f x y z x y z x my z x y m z           trong đó m là một tham số thực. A) a. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . b. Tìm giá trị của m để hạng của f bằng 1. B) Trong phần sau, ta cho 1m   . a. Hãy tìm một cơ sở của Im f và một cơ sở của ker f . b. Viết ma trận của f đối với cơ sở 1 2 3(1,1,0), (0,1, 2), (0,1, 1)a a a     . 8. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ 3 mà ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 là 1 3 1 3 5 1 3 3 1 A         . 1. Tính ( , , )f x y z . 2. Chứng minh f là một đẳng cấu. 3. Viết ma trận của f đối với cơ sở (1,1,1), (1,1,0), (1,0, 3)a b c    . Có nhận xét gì về các vectơ , ,a b c ? 9. Cho 2 phép biến đổi tuyến tính f và g của không gian vectơ E thỏa f g g f  . Chứng minh: a. ( )g Kerf Kerf và (Im ) Img f f . b. Nếu u là vectơ riêng của f và ( ) 0g u  thì ( )g u cũng là vectơ riêng của f. 10. Xét sự chéo hóa các ma trận sau, nếu được hãy chỉ ra cơ sở mà trong cơ sở đó ma trận có dạng chéo: 0 8 6 1 8 7 1 14 11       , 2 0 1 1 1 0 1 1 3      , 5 17 25 2 9 16 1 5 9      , 7 12 6 10 19 10 12 24 13      , 0 1 1 1 1 ( ) 1 a a a a a a a           .