Bài 10 Dao động tử điều hoà

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng giống như trong Cơ học cổ điển. ở đây, ta sẽ dùng hai phương pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy: phương pháp giải tích thông thường và phương pháp các toán tử sinh và huỷ. Giải bài toán về dao động tử bằng phương pháp giải tích Xét chuyển động của một hạt lượng tử trong trường thế năng có dạng: Đồ thị hàm thế năng như vậy là đường parabole đi qua gốc toạ độ và nhận trục tung làm trục đối xứng Phương trình cho trạng thái dừng có dạng: Để phần nào đơn giản hoá phương trình, ta đặt: ; . Khi đó, (10.2) trở thành Tiếp theo, đặt Khi đó, (10.3) có dạng: Với đủ lớn, ta tìm nghiệm của (10.5) dưới dạng: hay Với f như vậy, ta có: trong đó là đại lượng cùng bậc với x khi và: Do đó, vế trái của (10.5) sẽ bằng: So sánh với vế phải của (10.5), ta được: a2 = 1, 2ab = 0; b2 + 2ac + a = -2. Suy ra: a = 1, b = 0; 2ac + a = -2. Như vậy, nếu chọn a = 1, ta có 2c + 1 = -2 hay c = - - 1/2 và Mặt khác, từ (10.4) ta có là nguyên hàm của f. Với f = f1, ta có  = 1 sao cho: Suy ra: Trong đó và nghịch biến theo Tương tự, với a = -1, ta có 2c + 1 = 2 hay c =  - 1/2 và Tương ứng ta cũng có Trong đó cũng gần với 1 và nghịch biến theo Nghiệm tổng quát của (10.3) khi đủ lớn là: Rõ ràng, nếu C1  0 thì khi sẽ có Vì vậy phải có C1 = 0. Do đó, nghiệm với đủ lớn có dạng: hay: trong đó ngang cấp với Từ (10.11) suy ra: hay nên (10.3) trở thành: hay: Ta tìm nghiệm của (10.13) dưới dạng chuỗi: Khi đó: ; Do đó, (10.13) trở thành: Do (10.15) đúng với mọi nên mọi hệ số của chuỗi đề phải bằng 0, tức là: Thay thế trở lại (10.14), ta dược: Như vậy, F có dạng: trong đó là hàm chẵn, là hàm lẻ. Bây giờ ta chứng minh rằng phai có dạng một số bán nguyên, tức là với n là số tự nhiên. Thật vậy, vi là hàm chẵn, là hàm lẻ nên: từ (10.17) Và (10.18) suy ra Do , và cùng với nó là , chỉ ngang cấp với (khi ) nên nếu a0  0 thi từ (10.19) suy ra cũng ngang cấp với . Nhưng nếu không bán nguyên thi mọi hệ số trong đều khác 0 và bắt đầu từ một vị trí nào đó sẽ cùng dấu Nếu vậy, sẽ có cấp cao hơn bất kỳ biểu thức nào có dạng Vi vậy, phai tồn tại n, sao cho Khẳng định này vẫn đúng nếu giả thiết a1  0 Do nên suy ra E có phổ rời rạc: Có thể chứng minh rằng các hàm riêng tương ứng của toán tử năng lượng là: với là các đa thức Hermite 2. Phương pháp các toán tử sinh và huỷ Ký hiệu là toán tử nhân hàm trạng thái với biến và Tức là Khi đó hamiltonian (toán tử năng lượng) của dao động tử được viết lại như sau: Biểu diễn tóan tử hamiltonian dưới dạng sau: Tiếp theo, đặt: ta có: Suy ra: Đồng thời Như vậy, với , phương trinh cho trạng thái dừng sẽ là: Khi đó: Đặt Mặt khác, (10.26) chính là: Nếu là nghiệm của (10.27) thi: hay tức là Như vậy, nếu là trạng thái ứng với “nang lượng rút gọn”  thi là trạng thái ứng với n¨ng lượng rút gọn  + 1. lên trạng thái có nang lượng E xác định làm cho hệ chuyển Nói cách khác, việc áp dụng (tác dụng) sang trạng thái với nang lượng mới là Do đó, nếu ta gọi là lượng tử nang lượng của dao động tử thi có thể gọi là toán tử sinh lượng tử nang lượng hay ngắn gọn hơn ta gọi là toán tử sinh. Theo như vừa nói thi ta có Gia sử các hàm đã được chuẩn hoá, ta tim hệ số q. Vi: và: hay: nên: Suy ra: Như vậy: Tương tự: nên ta có thể gọi là toán tử huỷ (huỷ lượng tử nang lượng). Bây giờ ta tim mức nang lượng thống nhất. Ký hiệu mức nang lượng rút gọn thấp nhất là 0. Khi đó, ta yêu cầu hàm riêng tương ứng thoa mãn thêm điều kiện: Khi đó, nên: Vậy và Suy ra phổ nang lượng gồn các giá trị: tức là trùng với (10.20). Bây giờ ta đặt . Khi đó . Vi vậy: Do đó, trị riêng của là số lượng tử nang lượng trong trạng thái Dùng các toán tử sinh và huỷ cũng dễ dàng tim được biểu thức của của các hàm riêng. Nhận xét: Ta nhận thấy có một sự tương tự giữa mô hình dao động tử điều hoà với nguyên tử: đó là phổ năng lượng rời rạc. Điều này có nghĩa là chỉ trong các trạng thái riêng ứng với các giá trị E = En thì hệ dao động mới tồn tại bền vững. Các giá trị khác của năng lượng làm cho dao động tử chuyển sang trạng thái không dừng. BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BÀI 10 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ