Bài 13 Một trường hợp riêng quan trọng của trường xuyên tâm

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. 2. Các số lượng tử và hàm trạng thái 3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ 4. Nguyên tử hydrogen Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác. Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trường xuyên tâm U(r) là thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r). Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thể thực chất quy về phương trình cho R(r). Xét trường hợp đặc biệt: Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trường Coulomb của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố định tại gốc tọa độ Hàm thế năng trong trường hợp này là: và phương trình cho  = rR sẽ là: Ở đây ta chỉ quan tâm đến trường hợp E 0. Tiếp theo, đặt , ta có: và (13.2) trở thành Xuất phát từ việc  có dạng tiệm cận khi  nhỏ và Khi  nhỏ ta tìm nghiệm của (13.3) dưới dạng Khi đó: 2ε Do đó, thay vào (13.3) và chia 2 vế cho , ta được: Cho tổng các hệ số của các số hạng cùng bậc bằng 0, ta được Bây giờ ta sẽ dùng công thức (13.5) để chứng minh rằng  phải nhận một trong các giá trị: Thật vậy, giả sử  không có dạng (13.6). Khi đó mọi an đều khác 0, và n đủ lớn thì (13.5) có dạng gần đúng là: do đó, các hệ số an cùng dấu, giảm dần về giá trị tuyệt đối giống như Vì vậy, ta có thể coi biến thiên giống như do đó  biến thiên giống như tức là   + khi   + Điều này rõ ràng là phi lý về mặt vật lý Từ đó suy ra rằng  phải có dạng (13.6) Nói một cách khác, E phải nhận một trong các giá trị: nên phổ năng lượng là rời rạc Tương ứng, từ (13.5) ta có, (nếu E = Enl). Như vậy: Hay: Ngoài điều kiện (13.5), các hệ số ak được lựa chọn (mà suy cho cùng là chỉ cần chọn a0) sao cho R thoã mãn điều kiện chuẩn hoá sau 2. Các số lượng tử và hàm trạng thái Để cho tiện, ta sẽ thay đổi cách ký hiệu các số trong (13.7) như sau: Trước hết, n được thay đổi bởi nr để nhẫn mạnh vào mối liên quan của nó với phương trình dành cho hàm bán kính. Như vậy, (13.7) trở thành: Tương ứng, (13.8) trở thành Tiếp theo, vì thực chất chỉ phụ thuộc n = nr+l+1 nên (13.7’) trở thành: và tương ứng (13.8’) trở thành trong đó, Rnl thay cho với n = nr+l+1 (thực chất đáng lẽ phải ký hiệu là Rn-l-1;l). Chú ý rằng mỗi mức năng lượng En không phải chỉ ứng với một trạng thái mà ứng với nhiều nhiều trạng thái khác nhau Các trạng thái này được phân biệt với nhau bởi giá trị của l và m (l ứng với trị riêng ) của , còn m ứng với trị riêng của Dễ chứng tỏ rằng có tất cả n2 trạng thái như vậy; chúng được cho bởi các hàm trạng thái: Theo thông lệ, các số n, l, nr và m được gọi là các số lượng tử, trong đó n là số lượng tử chính, l là số lượng tử phương vị, nr là số lượng tử bán kính và m là số lượng tử từ, (chú ý phân biệt số lượng tử (quantum number) với số lượng các lượng tử (number of quanta)). Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l, m, thường ký hiệu ngắn gọn là Như vậy, trong biểu diễn toạ độ thì: Còn một cách khác để ký hiệu trạng thái (của điện tích –e): dùng một chữ số và một chữ cái; chữ số là giá trị của n, chữ cái là s, p, d, f, hoặc g ứng với l = 0,1, 2, 3, 4. Như vậy 2s là trạng thái (chưa có giá trị của m); 3d là trạng thái Các trạng thái này cố nhiên suy biến, tức là chưa hoàn toàn xác định, vì chưa có giá trị của m. 3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ Xác suất để hạt có mặt trong vùng có thể tích V bằng Từ đó suy ra: Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở khoảng cách r kể từ gốc toạ độ bằng: b. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vĩ độ  là: c. Kinh độ  phân bố đều, tức là mật độ xác suất ở kinh độ bằng  không phụ thuộc vào  (và luôn bằng ). 4. Nguyên tử hydrogen Bây giờ ta nghiên cứu kỹ hơn trường hợp đơn giảm nhất; đó là nguyên tử hydrogen. Mục đích quan trọng của việc làm này là xác nhận lại những ý tưởng của N. Bohr về cấu tạo nguyên tử và đối chiếu với các tính toán lý thuyết về phổ của nguyên tử hydrogen với các quan sát thực nghiệm. Công thức (12.10) cho electron trong nguyên tử hydrogen sẽ là: Mỗi lần electron chuyển từ trạng thái với năng lượng En sang trạng thái với năng lượng En’, biến thiên năng lượng của nguyên tử sẽ bằng En’ - En Việc này kèm theo sự hấp thụ lượng tử năng lượng điện từ nếu hoặc phát xạ lượng tử năng lượng nếu (bước sóng tương ứng là ) Chú ý rằng đại lượng được gọi là hằng số Rydberg – Ritz. Như vậy các mức năng lượng của nguyên tử hydrogen sẽ là Sơ đồ phổ của nguyên tử hydrogen cho ở hình vẽ dưới đây. Volt 7 8 3 2 5 6 4 1 0 9 13 10 12 11 10,15 40000 80000 60000 100000 0 20000 13,53 n 3 2 1 Dãy Lyman Dãy Balmer Dãy Ritz-Paschen Dãy Brecket Dãy Pfund H H H H H H H H H 4 5 6 I II Sơ đồ này hoàn toàn phù hợp với các số liệu thực nghiệm Các đường nằm ngang là các mức năng lượng Các đường thẳng đứng là các “bước nhảy” chuyển mức Những con số ghi trên các đường thẳng đứng là các bước sóng (thu hoặc phát); các bước sóng đó được chia thành 5dãy Cuối cùng, xin nêu đồ thị ham mật độ xác suất của electron cho một vài trạng thái Ở đây, khoảng cách từ các điểm cực đạI đến gốc tọa độ tương ứng với bán kính quỹ đạo trong mô hình của N. Bohr. Đặc biệt, với n = 1 (năng lượng tối thiểu) thì khoảng cách đó bằng: tức là hoàn toàn trùng với bán kính quỹ đạo thứ nhất của N. Bohr! 0,1 5 15 10 20 25 30 10 20 30 40 5 0,1 0,5 a) l = 0 Ở đây r đo bằng đơn vị bán kính hydrogen