Bài 14 Dòng điện và moment từ

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ Mật độ dòng Xét phương trình Schrödinger Cùng với phương trình liên hợp phức Nhân (14.1) với và (14.2) với rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được: Vế trái của phương trình này chính là còn vế phải được biến đổi tiếp thành: Mặt khác: và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trở thành: Do đó, (14.3) có thể được viết lại như sau: Vì ta đang xét chuyển động của đúng một hạt, mà là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vị trí nên có thể coi như là “mật độ hạt” tai Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác suất tìm thấy hạt. Đặt khi đó (14.5) trở thành: So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự nhiên ta cần coi là mật độ dòng và coi (14.6) là phương trình biểu diễn tính liên tục của mật độ dòng xác suất. Vì dòng chỉ có một hạt nên nếu điện tích của hạt là q thì sẽ là mật độ dòng điện. 2. Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phương Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt. Tại mỗi điểm M0 trong không gian với ba toạ độ ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây. Trước hét xét mặt cầu Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen. Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bên trong nó không cần vữ đứt đoạn. , , Giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng này chính là đường sinh của mặt nón Trục toạ độ địa phương thứ nhất biểu diễn bởi mũi tên màu đỏ hướng dọc theo đường sinh này, theo chiều tăng của r. Giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu là đường tròn Trục toạ độ thứ hai biểu diễn bởi mũi tên màu xanh hướng theo đường tròn này, theo chiều tăng của Giao tuyến của mặt cầu và mặt nón là đường tròn Trục toạ độ thứ ba biểu diễn bởi mũi tên màu tím hướng dọc theo đường tròn màu tím, theo chiều tăng của  3. Dòng điện trong trường xuyên tâm Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với Trước hét xét mặt cầu Tiếp theo, xét mặt món Cuối cùng là mặt phẳng Chú ý rằng ba trục toạ độ địa phương kể trên chính là các pháp tuyến của mặt cầu, mặt nón và mặt phẳng tại M0. Nếu chiếu vector lên ba trục toạ độ tương ứng là Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với Ta viết lại hàm trạng thái trong trường hợp này: (14.7) Liên hợp phức của là: (14.8) Bây giờ ta tìm các toạ độ của vector trong hệ toạ độ địa phương tại M(r,,). Dễ thấy hai toạ độ đầu trên các trục r,  là: Tiếp theo, ta có: Vì vậy, toạ độ thứ ba của là: (14.9) Do jr và j bằng 0 nên có thể nói rằng không có dòng điện chạy xa dây dẫn hoặc lại gần so với gốc toạ độ (tức là điểm đặt điện tích Ze) cũng không có dòng chạy theo “kinh tuyến”, mà chỉ có dòng điện chạy vòng trên các mặt phẳng vuông góc với phương mà trên đó mà hình chiếu của có giá trị xác định (ở đây là trục Oz). Với r và  xác định thì mật độ dòng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất tìm thấy hạt. Như vậy, bức tranh về dòng điện phù hợp với cách hình dung cổ điển về chuyển động trong trường xuyên tâm. Khác biệt duy nhất ở đây là sự không xác định của vị trí và quỹ đạo. 5. Moment từ của dòng điện tròn Ta hãy tính moment từ của dòng điện với mật độ trong đó cho bởi ba toạ độ và cho bởi (14.9), theo mẫu của Vật lý cổ điển. Cường độ dòng điện chuyển qua tiết diện vuông góc với phương của dòng điện bằng: (14.10) Moment từ sinh bởi dòng điện dI là: dMz = (14.11) trong đó c là vận tốc ánh sang trong chân không, S là diện tích hình tròn xác định như sau: hình tròn này nằm trên mặt phẳng vuông góc vớI Oz, tâm hình tròn là giao điểm O’ của mặt phẳng này vớI Oz và biên đi qua một điểm M của tiết diện d (do tiết diện là nhỏ nên M có thể lấy bất kỳ trong đó). dMz = (14.12) với d như trên hình vẽ, tức là gồm các điểm mà khoảng cách tới O nằm giữa r và r+dr và vĩ độ nằm giữa  và +d thì d=rdrd nên. dMz = (14.13) Lấy tích phân theo mọi giá trị r (từ 0 đến +) và theo mọi giá trị của  (từ 0 đến ), ta được moment từ toàn phần của dòng điện: mz = (14.14) vì không phụ thuộc vào  và nên (14.14) có thể viết thành: mz = (14.16) tức là: (14.17) mz = mBm với MB= là magneton Bohr. Như vậy, moment từ của dòng điện tròn bằng một số nguyên lần magneton Bohr. Công thức (14.17) cũng có thể viết thành: mB= tức là moment từ bằng lần moment cơ học.