Bài 17 Electron và nguyên tử trong từ trường

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 17 ELECTRON VÀ NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG Bây giờ ta áp dụng phương trình Pauli để giải quyết một số bài toán về chuyển động của electron và nguyên tử hydrogen trong một vài dạng từ trường đặc biệt Bài toán tổng quát về chuyển động trong điện – từ trường sẽ được xem xét sau Electron trong từ trường. Trước hết, trong trường thuần từ thì điện thế bằng 0 nên phương trình Pauli sẽ là: (17.1) Xét trường hợp từ trường có dạng , trong đó Đây là từ trường biến đổi, nhưng ở mỗI thời điểm đều là từ trường đều, vớI các đường sức song song với trục Oz. Phương trình (17.1) trong trường hợp này sẽ là (17.2) trong đó và là magneton Bohr. Ta tìm nghiệm của (17.2) dưới dạng: (17.3) Thế (17.3) vào (17.2) ta có (17.4) Chọn sao cho: (17.5) khi đó thoả mãn phương trình (17.6) Do nên (17.6) tương đương với hệ: (17.7) Nghiệm của hệ này là: (17.8) Nhận xét: Hàm trạng thái sẽ hoàn toàn xác định, nếu ta tìm được hàm thoả mãn (17.5). b) Vì (với  thực) nên xác suất mỗI giá trị hình chiếu spin lên Oz là không thay đổI thờI gian và tỉ lệ với . 2. Nguyên tử hydrogen trong từ trường Trong từ trường đều hường theo trục Oz, vector cường độ từ trường có các toạ độ: Từ trường như vậy có thể coi là từ trường có thế vector với các toạ độ xin nhắc lại: !) Bài toán về nguyên tử hydrogen trong từ trường cũng có thể coi là bài toán về electron trong từ trường đã cho và trong từ trường của hạt nhân. Không yêu cầu độ chính xác quá cao, ta sẽ coi rằng điện trường của hạt nhân (proton) là trường Coulomb và thế năng của electron trong đó cho bởi hàm U(r), với r là khoảng cách của electron tới hạt nhân. Phương trình Pauli cho electron có dạng (17.9) Ta tính cụ thể các số hạng thứ nhất và thứ ba ở vế phải của (17.9). Trước hết Tiếp theo, . Do đó, (17.9) trở thành: (17.10) hay: (17.11) (với ). Toán tử có thể viết thành với , tức là có dạng thế năng của một lưỡng cực từ với moment trong từ trường Ta tìm nghiệm của (17.11) dưới dạng: (17.12) tức là dạng của hàm trạng thái dừng Thế (17.12) vào (17.11), ta được: (17.13) với , ta có nên (17.13) tương đương với hệ gồm hai phương trình tách biệt cho từng hàm: (17.14) (17.15) Trong các phương trình (17.14), (17.15), ta lại tìm các hàm sao cho Khi đó hai phương trình này trở thành: (17.16) (17.17) Đối chiếu với các phương trình chuyển động trong trường Coulomb, ta thấy nghiệm của (17.16) có dạng: (17.18) Tuy nhiên, ta có không phải khi E = Enl như trong Bài 13, mà là khi , tức là Vì hay nên chính là nghiệm riêng của ứng với trị riêng Do dạng của nghiệm của các phương trình (17.14), (17.15) giống hệt như hàm trạng thái trong trường hợp chỉ có trường Coulomb (mà không có từ trường) nên có thể nói rằng mật độ phân bố xác suất của electron trong nguyên tử không thay đổi khi có từ trường ngoài Một cách hình ảnh, ta có thể nói: nguyên tử không bị biến dạng trong từ trường, chỉ có mức năng lượng của nó là thay đổi (tuỳ theo giá trị của Mz và hình chiếu spin trên trục Oz). Ta chú ý đặc biệt đến trường hợp l = m = 0, tức là moment quỹ đạo bị triệt tiêu, chỉ còn moment spin. Trong trường hợp này electron chỉ có thể nhận một trong hai mức năng lượng ứng với hai giá trị Vì vậy, chùm nguyên tử hydrogen bị tách thành hai chùm, hệt như trong thí nghiệm Stern – Gerlach (chỉ khác là trong thí nghiệm đó thì từ trường có dạng hơi đặc biệt hơn). Trong trường hợp l  0, electron có nhiều mức năng lượng khác nhau do m nhận 2l + 1 giá trị (cùng với hai giá trị của Sz). Việc một mức năng lượng trong trường hợp không có từ trường ngoài tương ứng với nhiều mức năng lượng khi có từ trường ngoài cho phép ta tiên đoán một kết quả có ý nghĩa đặc biệt: số vạch quang phổ của nguyên tử sẽ tăng khi có từ trường ngoài. Ngay trạng thái năng lượng thấp nhất, với l = 0, cũng ứng với hai vạch quang phổ khác nhau. Điều này là hệ quả của sự tồn tại moment spin. Thực nghiệm hoàn toàn khẳng định tiên đoán đó, và kết quả quan sát sai lệch rất ít so với tính toán lý thuyết