Bài 18 Hệ nhiều hạt. Sự bảo toàn số hạt, tổng năng lượng và xung lượng

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 18 HỆ NHIỀU HẠT. SỰ BẢO TOÀN SỐ HẠT, TỔNG NĂNG LƯỢNG VÀ XUNG LƯỢNG Trong chương này và chương sau, ta sẽ xét các bài toán về hệ nhiều hạt Trường hợp đáng chú ý là hệ hạt đồng nhất, tức là những hạt có cung đặc trưng về khối lượng, điện tích và spin (hệ electron, hẹ proton, ….) Trong chương này ta mới chỉ xét vấn đề chung về hệ nhiều hạt, kể cả hệ gồm các hạt khác loại. Điều kiện nhân số bậc tự do. Trước hết ta hãy xem xét câu hỏi sau. Giả sử có một hệ N hạt, mỗi hạt có ba bậc tự do (ví dụ: hạt thứ i có ba toạ độ độc lập xi, yi, zi). Khi nào thì có thể coi rằng hệ N hạt đó có 3N bậc tự do?. Trường hợp đơn giản nhất mà trong đó ta có thể coi như vậy hiển nhiên là trường hợp các hạt độc lập, không tương tác với nhau. Trong trường hợp chúng tương tác với nhau, vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Trong nhiều trường hợp, không thể mô tả đầy đủ các tương tác, bởi vì các hạt tương tác với nhau thong qua các trường Do tốc độ truyền tương tác là hữu hạn nên tương tác sẽ bị trễ, vì thế sẽ không thể tính toán nổi, đặc biệt khi vận tốc chuyển động của các hạt là lớn Khi đó, trong hệ được xét phải tính đến cả các trường, và số bậc tự do sẽ thay đổi Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chẳng hạn: khi xét các hạt trong một vùng không gian qua lớn và vận tốc chuyển động của các hạt là đủ nhỏ so với vận tốc truyền tương tác, ta có thể coi rằng các hạt nhận tương tác tức thời. Khi đó, có thể coi rằng nếu mỗi hạt có k bậc tự do thì hệ N hạt có Nk bậc tự do, tức là hệ thoả mãn điều kiện nhân số bậc tự do. Trong toàn bộ phần còn lại của chương này, ta sẽ chỉ xét những hệ thoả mãn điều kiện trên. 2. Trạng thái của hệ hạt Trong biểu diễn toạ độ, trạng thái của hệ N hạt được mô tả bởi hàm có dạng: (18.1) trong đó coi như bộ toạ đọ ứng với hạt thứ i Chú ý rằng, nếu các hạt có spin thì  không phải hàm vô hướng nhận giá trị là các số phức, mà là hàm nhiều thành phần (và biến đổi theo một quy tắc nhất định trong hép quay không gian). Cũng như trong trường hợp một hạt, ta cũng nêu ra yêu cầu sau đối với hàm trạng thái: nếu (hoặc trong trường hợp hàm nhiều thành phần) thì là mật độ xác suất tìm thấy mỗi hạt thứ i ở vị trí trong không gian ba chiều hay nói theo kiểu toán học – hệ ở vị trí trong không gian 3N chiều (ở thời điểm t) Trong khi đó, muốn tìm mật độ xác suất tìm thấy hạt thứ ở vị trí hạt thứ ở vị trí (k < N), cần lấy tích phân của theo không gian con của tất cả các biến còn lại, tưc là: trong đó, mỗi chỉ số jl đều không nằm trong tập hợp Chẳng hạn, với N = 3 thì xác suất tìm thấy hạt thứ nhất ở vị trí (tại thời điểm t) sẽ là: trong đó tích phân lấy trong không gian con 6 chiều của các bién số 3. Phương trình chuyển động và sự bảo toàn số hạt Cũng như với một hạt, ta coi rằng hàm trạng thái của hệ N hạt cũng thoả mãn phương trình Schrödinger: (18.2) trong đó: (18.3) Chú ý rằng trong (18.3) ta có mk là khối lượng của hạt thứ k trong trường ngoài; là thế năng tương tác giữa hạt thứ k và hạt thứ j. Từ phương trình (18.2) và đẳng thức (18.3), tiến hành vài thao tác giống như trường hợp một hạt, ta cũng có: (18.4) Đặt ta có: (18.5) Đây chính là phương trình liên tục của dòng. Cũng có thể gọi nó là phương trình mô tả sự bảo toàn số hạt. 4. Sự bảo toàn tổng năng lượng và xung lượng Trong Cơ học lượng tử, một đại lượng được coi là bảo toàn, nếu đạo hàm của toán tử tương ứng theo thời gian bằng 0 Nếu là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì, như ta đã biết ta có: Như vậy, đại ượng L được bảo toàn, nếu hay giao hoán với Bây giờ ta xét xung lượng của hệ Từ đó ta có (18.6) Ta có: (18.7) Tiếp theo, ta giả thiết rằng chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hạt thứ k và hạt thứ j, tức là . Khi đó, chỉ chịu tác dụng của hoặc Mặt khác, (18.8) Ta lại có nên: (18.9) Từ đó suy ra: (18.10) có nghĩa là tốc độ biến thiên tổng xung lượng bằng các lực tác dụng từ phía trường ngoài lên các hạt Trong trường hợp không có trường ngoài, từ (18.10) ta có , tức là tổng xung lượng của hệ bảo toàn. 5. Chuyển động của khối tâm Xét hệ chịu tác dụng của trường ngoài. Khi đó, Hamiltonian của hệ có dạng: (18.11) trong đó (18.12) (18.13) Đặt: (18.14) và các ký hiệu j, j biểu diễn qua yj, zj (i = 1, ….N) giống như j biểu diễn qua các toạ độ xi (N = Y, N = Z). Rõ ràng X, Y, Z có thể coi là ba toạ độ khối tâm của hệ Với các ký hiệu đó, dễ chứng minh rằng (18.15) trong đó: (18.16) Chú ý: Do đó: (18.17) trong đó U bây giờ phụ thuộc các toạ độ mới j, j ,j (j = 1, 2,…,N-1) Nếu đặt: (18.18) (18.19) thì có thể gọi là toán tử động năng của khối tâm, còn là toán tử động năng chuyển động tương đối của các hạt. Chú ý rằng, trong phần năng lượng tương tác của các hạt không có mặt các toạ độ khối tâm, trong khi đó thì lại chỉ liên quan đến các toạ độ khối tâm. Vì vậy: (18.20) trong đó chỉ chứa các phép lấy đạo hàm theo toạ độ khối tâm còn chỉ lien quan đến chuyển động tương đối và tương tác giữa các hạt. Tiếp theo, vì nên các toạ độ của tổng xung lượng sẽ là: Bây giờ ta cũng coi hàm trạng thái là hàm của X, Y, Z và các biến j, j ,j (j = 1, 2,…,N-1) và tìm nghiệm của phương trình (18.2) ở dạng: (18.21) Khi đó: Chia hai vế phương trình này cho  và so sánh các số hạng có cùng bộ biến số ở hai vế với nhau, ta được hai phương trình: (18.22) (18.23) Phương trình (18.22) chính là phương trình chuyển động của khốI tâm, còn (18.23) là phương trình chuyển động tương đối. Ta cũng thấy rằng (18.22) là phương trình chuyển động tự do của hạt vớI khối lượng M. Nghiệm đơn giản nhất của nó đương nhiên có dạng: trong đó