Bài 2 Đường thẳng

Bài 2 Đường thẳng I- Đồ thức của một đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; - l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng A1 B1 l1 l2 B2 A2 B A1 B2 Π1 Π2 A x A2 B1 l1 l2 l Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l II- Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 1- Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. B A1 Π1 A x B1 B2 x A1 B1 h1 h A2 h1 h2   * Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB - Góc h2,x = h, П1= α Hình 2.2. Đường bằng Π2 A2 h2  B2 b) Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: CD// П1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD - Góc f1,x = f, П2= β Hình 2.3. Đường mặt D C1 Π1 x D1 D2 x C1 D1 f1 f C2 f1 f2 β Π2 C2 f2 β D2 β C c) Đường cạnh * Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. * Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF - Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β Hình 2.4. Đường cạnh A2 Π2 x E F2 F1 F3 E3 Π1 Π3 z y O F α β x F2 E3 z y F3 E1 y p1 p p2 E2 E1 Ax O F1 p1 p2 E2 α β p3 p3 α β Hình 2.4. Đường cạnh A2 x F3 E3 Π1 Π3 z y O F α β x F2 E3 z y F3 E1 y Ax O F1 p1 p2 E21 α β p3 p3 Π2 E F2 F1 p1 p p2 E2 E1 Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4) 2- Các đường thẳng chiếu (là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: B A1 Π1 A x ≡ B1 B2 x A1 =B1 A2 * Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1 - Hình chiếu bằng - A2B2=AB Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng Π2 A2 B2 b) Đường thẳng chiếu bằng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: D C1 Π1 C x ≡D2 D1 x C2 D1 C1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2 - Hình chiếu đứng - C1D1=CD Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng Π2 C2 ≡D2 c) Đường thẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. * Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3 - E2F2//E1F1//x - E1F1=E2F2=EF Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh Π2 x E F2 F1 ≡F3 E3 Π1 Π3 z y O F x F2 E3 z y ≡F3 E1 E2 E1 O F1 E2 III- Điểm thuộc đường thẳng 1- Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A1 l1 l2 A2 A1 Π1 Π2 A x A2 l1 l2 l x * Áp dụng: Tìm trên đường thẳng a (a1,a2) một điểm K sao cho K có độ cao bằng hai lần độ xa.(Hình 2.10) Hình 2.9. Tìm trên a điểm K có độ cao bằng 2 lần độ xa. K1 a1 a2 K2 x a’1 ≡ a’2 Giải: Lấy một điểm I sao cho điểm I có độ cao bằng độ xa = 0 và I2 thuộc a2. => Ta có I ≡ I1 ≡ I2= a2∩x. Lấy điểm J sao cho J2Î a2 và J có độ cao bằng hai lần độ xa. Xét đường thẳng a’ có a’1 đi qua I1J1 và a’2 ≡ a2. Ta có K1 ≡ a’1 ∩ a1. Từ K1 suy ra K2. K là điểm cần tìm. I ≡ I1 ≡ I2 J2 J1 2- Đường thẳng đã cho là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh y x Q2 P3 z y Q3 P1 O P2 I1 I3 I2 Q1 Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu: Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh - Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ). - Trên t lấy: - Vẽ x Q2 P1 P2 I1 I2 I’1 Q1 t α IV- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 Þ M1Îl1 , M2Îx - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 Þ N1Îx , N2Îl2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N1 M2 Π1 Π2 x N2 M1 l1 l2 l N1 l1 l2 x M1 N2 M2 Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Giải: * Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2Îx Þ M2≡ l2∩x Þ M1Îl1 N1Îx Þ N1≡ l1∩x Þ N2Îl2 * Xét l đi qua góc phần tư nào? - Xét AÎMN: A có độ cao dương, độ xa âm Þ A thuộc góc phần tư thứ II Þ l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BÎMN: B có độ cao âm, độ xa âm; Þ B thuộc góc phần tư thứ III Þ l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CÎMN : C có độ cao dương, độ xa dương; Þ C thuộc góc phần tư thứ I Þ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III N1 l1 l2 x M1 N2 M2 B1 B2 Góc(I) Góc (II) Góc (III) A2 A1 C2 C1 V- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1- Hai đường thẳng cắt nhau a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14) Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau I1 a1 a2 I2 x b1 b2 b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15) Giải: Ta có: IÎl Þ PQ∩l Û IÎPQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh) x Q2 P1 P2 I1 I2 I’1 Q1 t α l1 l2 2- Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh a1 a2 x b1 b2 * Cả hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường cạnh RS. Ta có: P1Q1//R1S1 P2Q2//R2S2 Xét xem PQ có song song với RS không? (Hình 2.17) Giải: - Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: - Cách 2: Dùng định nghĩa. Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không? Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có song song hay không? x Q2 P1 P2 I1 I2 Q1 S2 R2 S1 R1 3- Hai đường thẳng chéo nhau a) Định nghĩa Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên đồ thức (Hình 2.18) Hình 2.18. Hai đường thẳng chéo nhau K1 a1 a2 I2 x b1 b2 c) Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19) *Cặp điểm đồng tia chiếu bằng - Cặp điểm Ia (I1a,I2a) ; Ib(I1b,I2b) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu bằng. - I1a cao hơn I1b nên: I2a thấy, I2b khuất. *Cặp điểm đồng tia chiếu đứng -Cặp điểm Ka (K1a,K2a); Kb(K1b,K2b) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu đứng. - K2a xa hơn K2b nên: K1a thấy, K1b khuất. Hình 2.19. Các cặp điểm đồng tia chiếu b1 a2 x a1 b2 VI- Hai đường thẳng vuông góc 1- Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П. - Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn: Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông O’ y’ O x’ x y a) П 2- Chuyển sang đồ thức - Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) Hình 2.21. Ví dụ 1 I1 a1 a2 I2 x h1 h2 I1 b1 b2 I2 x f1 f2 Hình 2.22. Ví dụ 2 Ví dụ 1: (Hình 2.21) Ví dụ 2: (Hình 2.22) Hình 2.23. Ví dụ 3 a1 a2 x h1 h2 b1 b2 x f1 f2 Hình 2.24. Ví dụ 4 Ví dụ 3: (Hình 2.23) (a và h chéo nhau) Ví dụ 4: (Hình 2.24) (b và f chéo nhau) Hình 2.25. Xác định độ dài thật và góc nghiêng của AB so với П2 B A1 Π1 x B1 Δz  Π2 A2 B2 A A1 B1 B2 x A2 Δz Δz  VII- Độ dài thật và góc nghiêng của một đoạn thẳng đối với các mặt phẳng hình chiếu. Bài toán: Cho đồ thức của đoạn thẳng AB Hãy xác định độ dài thật đoạn thẳng AB và góc nghiêng đoạn thẳng AB đối với mặt phẳng П1, П2. Giải: * Xác định độ dài thật và góc nghiêng của AB với П2 (Hình 2.25). - Trong không gian: kẻ AB//A2B2 Xét D vuông ABB có: + Một cạnh góc vuông AB = A2B2 + Một cạnh góc vuông BB = BB2-AA2 = B1Bx-A1Ax= Dz (Dz được gọi là hiệu độ cao) +Cạnh huyền AB là độ dài thật + α :góc đối diện hiệu độ cao là góc tạo bởi AB và mặt phẳng hình chiếu bằng П2 - Trên đồ thức: Dựng D vuông A2B2B* sao cho: A2B2^B2B* B2B*= Dz Ta có: A2B* =AB là độ dài thật B2A2B* = AB, П2 = α B* ĐDT: AB Ax Bx Ax Bx B A1 Π1 x B1 Δy β Π2 A2 B2 A A1 B1 B2 x A2 Δy Δy β *Xác định độ dài thật và góc nghiêng của AB với П1 (Hình 2.26) - Trong không gian: kẻ AB//A1B1 Xét D vuông AAB có: + Một cạnh góc vuông AB = A1B1 + Một cạnh góc vuông AA=AA1-BB1=A2Ax-B2Bx=Dy (Dy được gọi là hiệu độ xa) + Cạnh huyền AB là độ dài thật + β :góc đối diện hiệu độ xa là góc tạo bởi AB và mặt phẳng hình chiếu bằng П1 - Trên đồ thức: Dựng D vuông B1A1A* sao cho: A1B1^A1A* A1A*= Dy Ta có: B1A* =AB là độ dài thật A1B1A* = AB, П1 = β Ax Bx Hình 2.26. Xác định độ dài thật và góc nghiêng của AB so với П1 A* * Phương pháp xác định độ dài thật và góc nghiêng của đoạn thẳng so với các mặt phẳng hình chiếu gọi là phương pháp tam giác vuông. Ax Bx ĐDT: AB