Bài 24 Đối xứng hoá tương đối tính. Phương trình Klein-Gordon

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON Trong chương này, ta sẽ xây dựng Cơ học lượng tử sao cho nó phù hợp với những yêu cầu của lý thuyết tương đối (Special Relativity Theory) Một lý thuyết như vậy, muốn được xây dựng một cách hoàn chỉnh phải dựa vào phép tính tensor. Tuy nhiên, vì ở đây ta chỉ làm quen với những ý tưởng ban đầu của Cơ học lượng tử tương đối tính nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày các vấn đề được quan tâm ở dạng sơ khai gần giống như trong các công trình ban đầu của P. Dirac. Nguyên lý tương đối và các hệ quả quan trọng Như đã biết, A. Einstein đã xây dựng lý thuyết tương đối, xuất phát từ hai tiên đề sau đây Tiên đề 1: Mọi định luật của Vật lý học đều như nhau trong mọihệ qui chiếu quán tính. . Tiên đề 2: Vận tốc ánh sang trong chân không là như nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính. Nói chính xác hơn, nếu phương trình mô tả mối liên hệ của một số đại lượng vật lý ở trong hệ quy chiếu quán tính này có dạng như thế nào thì khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác nó cũng phải như vậy. Sau đây là những hệ quả quan trọng mà ta sẽ dùng đến. Hệ quả 1: Giữa năng lượng E, xung lượng P và khối lượng m của một hạt có mối liên hệ sau: (Chú ý rằng ở đây khi nói “khối lượng” ta luôn hiểu đó là “khối lượng nghỉ”, và sẽ không nói đến “khôí lượng động”). Khi hạt có vận tốc bằng 0 (đối với hệ quy chiếu quán tính S) thì ta có E=mc2 ; đay làcông thức vĩ đại của A. Einstein Hệ quả 2: Trong mỗi phương trình vật lý mô tả một định luật cơ bản, các biến số không gian x, y, z và biến số thời gian t đều phải tham gia cùng với một bậc; ví dụ, trong phương trình sóng điện từ: các biến số x, y, z, t đều có mặt như những biến số của đạo hàm bậc 2. Chú ý rằng ta chỉ yêu cầu tính chất cùng bậc đối với x, y, z, t trong những phương trình mô tả một chuyển động cụ thể, ví dụ, chuyển động nhanh dần đều 2. Phương trình Klein-Gordon Phương trình Schrodinger cho hạt tự do là: (24.1) hay (24.2) Phương trình này không bình đẳng về bậc đối với các biến số không gian và thời gian, và điều này dẫn đến tính không bất biến của nó khi chuyển hệ quy chiếu Vì vậy, không thể dùng nó trong một lý thuyết tương đối tính. Để “đối xứng hoá tương đối tính” có hai cách. Cách thứ nhất là thay haminltonian bởi một toán tử chứa một cách tuyến tính, nghĩa là toán tử có dạng trong đó , ,  có thể là các toán tử không lien quan đến các biến số x, y, z (nhưng không thể là các số) Cách này đã được thực hiện bởi P. A. M. Dirac và nó dẫn đến phương trình mô tả hạt có spin bán nguyên. Ta sẽ xét cách này sau. Cách thứ hai là thay vế trái của (24.2) bởi biểu thứ chứa sao cho phương trình phù hợp với các quan điểm của lý thuyết tương đối. Ta sẽ thực hiện cách này ngay bây giờ và xem phương trình nhận được mô tả những hạt tự do nào. Tương ứng với hệ thức năng lượng: ta sẽ yêu cầu hàm trạng thái  thoả mãn phương trình: (24.3) trong đó là toán tử năng lượng. Vì cpx, cpy, cpz, và E là các thành phần của vector bốn chiều nên tốt nhất ta sẽ coi rằng Ta sẽ chọn do sự tương tự với phương trình Schrodinger nên theo một nghĩa nào đó có thể coi mà chú ý rằng trong lý thuyết phi tương đối tính không được coi là toán tử năng lượng! vì trong phương trình này ta có như toán tử năng lượng Như vậy, (23.3) trở thành: Phương trình này gọi là phương trình Klein-Gordon. Cũng có thể gọi nó là phương trình Fock-Gordon-Klein-Schrodinger, do bồn người này tìm ra độc lập với nhau. Với m=0 (ví dụ với photon), phương trình (24.4) trở thành phương trình truyền song điện từ trong chân không Điều này rõ rang làm tăng độ tin cậy của việc ta làm. (24.3) (24.4) Nếu chọn hệ đơn vị sao cho phương trình (24.4) có thể viết lại như sau: Ký hiệu Chú ý: Một vài tác giả cho rằng phương trình Kein-Gordon chỉ dùng cho hạt không có spin. Trên thực tế, trong những luận ứ ta dung để xác lập phương triònh không hề có sự ưu tiên nào cho hạt không có spin. Vì vậy, nó phải được dung cho bất kỳ hạt tự do nào. Đối với các loại hạt có spin, việc mô tả sẽ được thực hiện chính xác hơn bằng các phương trình khác nữa,nhưng từ những phương trình đó vẫn suy ra được phương trình Klein-Gordon. □ (toán tử d’ Alembert), ta được (□ (24.5) Ta sẽ làm việc này đỗi với phương trình Dirac (cho hạt có spin 1/2). Đối với hạt không có spion, hàm  được chọn là hàm vô hướng bốn chiều, nghĩa là bất biến đối với biến đổi Lorentz. Đối với các loại hạt khác  chứa vài thành phần và biến đổi theo hệ quy chiếu theo một số kiểu khác nhau (vector hoặc spin) tuỳ theo đặc trưng spin của hạt. 3. Trường hợp hạt có xung lượng xác định Xét hạt vô hướng (không có spin) với xung lượng và tương tự cho các toạ độ y và z. Khi đó ta có: (24.6) hay (24.7) Suy ra: do đó hay Do x, y, z là bình đẳng nên ta có: với . Mặt khác, từ (24.6) ta có Thế vào (24.3) và chú ý rằng , sau đó chia hai vế cho , ta được: hay (24.8) Hai nghiệm cơ bản của (24.8) có dạng và . Nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính của chúng. Xét trường hợp khi đó: (24.9) với p đủ nhỏ (tức là vận tốc nhỏ),ta có: Do đó: (24.10) Như vậy, khi hạt chuyển động đủ chậm,ta cóthể thay phương trình Klein-Gordon bởi phương trình Schrodinger vì (24.10) chính là nghiệm của phương trình Schrodinger ứng với trạng thái dừng. Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON