Bài 27 Phương pháp nhiễu loạn thứ nhất

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng Trong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gần đúng quan trọng nhất: Coi hamiltonian của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian (ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn” lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng với theo nhiẽu loạn Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng” tức là không phụ thuộc thời gian. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất Như đã nói trên, giả sử là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác. Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng với ứng với các trị riêng (n=1, 2, 3, …) tức là: Tiếp theo, giả sử là hamiltonian của hạt đang dược khảo sát Giả sử khá gần với tức là: là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho: hay: Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng: Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được: hay: suy ra: Nhân hai vế (27.6) với rồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệ đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được: trong đó: là phần tử của ma trận Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình (m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a1, a2, a3,…) Nhớ rằng các hệ số a1, a2, a3,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàm của biến ε, ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε : Thế (27.9) và (27.10) vào (27.7), hay tiện hơn, thế chúng vào đẳng thức sau (cố nhiên là tương đương với (27.7)): ta được (Ở chỗ dấu chấm (…) là tất cả các số hạng từ bậc 3 trở lên). Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc k+1 trở lên trong khi giải, ta sẽ có xấp xỉ bậc k. 2. Xấp xỉ bậc 0 và bậc 1 Bỏ qua tất cả các số hạng chứa ε, từ (27.9), (27.10), (27.11) ta được  Vì hàm trạng thái không thể đồng nhất bằng 0 nên ít nhất phải có một hệ số ak nào đó khác không. Nhưng khi đó, từ (27.11’) ta có với mọi m ≠ k; do đó với mọi m ≠ k. Như vậy, ψ trùng với một trong các trạng thái Bây giờ ta giữ lại thêm số hạng chứa ε (và bỏ qua các số hạng chứa các lũy thừa bậc 2 trở lên). Khi đó. Chọn và như trong xấp xỉ bậc 0, tức là và (với k cố định), khi đó (29.11’’) trở thành: Rõ ràng số hạng đầu ở vế trái của đẳng thức này luôn bằng 0, do đó ta có: với m = k, từ (27.12) ta được: hay với m ≠ k, cũng từ (27.12) ta có: suy ra (với m ≠ k): Ta còn phải xác định . Muốn thế, ta viết lại hàm trạng thái ψ như sau (với an lấy gần đúng bằng ): Do nên (27.15) có thể viết lại thành: Ta yêu cầu ψ cũng phải được chuẩn hóa. và chú ý rằng và , ta có: Khi đó, với cách viết: Bỏ qua số hạng bậc hai trong (27.18), ta được , tức là phần thực của bằng 0. Nhưng vì luôn có thể chọn thực nên ta có: Ta hãy viết lại hệ thức (27.11) cho m = k (hãy luôn nhớ: k cố định!) và bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2. Ta có: Thế các giá trị trong xấp xỉ bậc 0 và 1 vào đây ta được: suy ra: còn vẫn được tìm từ điều kiện chuẩn hóa đối với hàm trạng thái. Tuy nhiên, việc tính không thật quan trọng, nếu ta không tiến hành các bước xấp xỉ bậc cao hơn nữa. Ở xấp xỉ bậc 2, năng lượng được tính theo công thức: Chú ý: 1. Ta có εWkk (số hạng hiệu chỉnh năng lượng bậc 1) chính là tức là giá trị trung bình của nhiễu loạn, 2. Do nên . Vì vậy “hiệu chỉnh bậc 2” của năng lượng luôn âm khi k là trạng thái nền, tức là trạng thái với mức năng lượng thấp nhất. nếu trạng thái tương ứng là trạng thái cơ bản thứ k (cố định) đối với hạt “không bị nhiễu loạn”. 4. Trường hợp suy biến Bây giờ ta xét trường hợp trong đó các mức năng lượng chưa bị nhiễu loạn có thể suy biến, nghĩa là mỗi mức năng lượng ứng với một số hàm riêng độc lập tuyến tính (suy biến cấp pn). Khi đó, thay cho (27.7’) ta có: trong đó, đương nhiên: Lý giải tương tự trường hợp không suy biến, ta được: với mọi p=1, 2, 3,…, pn; với m ≠ k. Tiếp theo: Các hệ thức (27.25) (với p=1, 2, 3,…, pk) chính là hệ gồm pk phương trình bậc nhất với pk ẩn số Định thức của hệ này buộc phải bằng 0 tức là: vì nếu không hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường Đẳng thức này chính là phương trình bậc (pk) đối với ẩn E. Vì khi khai triển định thức, ta được đa thức cấp pk đối với E nên (27.26) có pk nghiệm (tính α lần, nếu là nghiệm bội α). K ý hiệu các nghiệm đó là Ep=Ekp (p=1, 2, …, pk). Do ε rất nhỏ nên các nghiệm này rất gần nhau. Như vậy, nếu trong trường hợp không có nhiễu loạn, mức năng lượng thưa k có cấp suy biến là pk (pk trạng thái cùng ứng với năng lượng ) thì khi có nhiễu loạn, chính mức năng lượng này cũng bị tách thành nhiều mức ( pk mức) rất gần nhau! Bây giờ ta xét một trường hợp riêng: suy biến cấp 2. Khi đó, (27.26) trở thành: Đặt . Khi đó (27.27) có dạng: Phương trình (27.28) có hai nghiệm: Từ (27.29) tính được hai mức năng lượng mới tách ra từ mức là: Các hàm trạng thái tương ứng có thể lấy bằng: Đặc biệt, khi , ta có: Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT