Bài 3 Mặt phẳng

Giảng viên: Th.s Nguyễn Thị Thu Nga BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HOẠ HÌNH Bài 3 Mặt phẳng I- Đồ thức của một mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng A1 l1 l2 A2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng I1 b1 b2 I2 a1 a2 d1 d2 c1 c2 a) d) c) b) Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng II- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pα x Π1 Π3 y Π2 p m n z x z y O m=m1 p=p3 n=n2 m2=n1=p2 p1 Hình 3.2. Vết của mặt phẳng O y mα nα pα α - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αxÎ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c) x m1 n2 x mα nα αx x mα nα a) c) b) Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức αx m2=n1=x Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4) Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳng αx mα a2 b1 a1 b2 M’1 M1 M’2 M2 I1 I2 N1 N2 N’1 N’2 x Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b. + Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b mα đi qua M1, M’1 + mα ∩ x ≡ αx + Tìm vết bằng N(N1,N2) của a + Vết bằng nα đi qua αx và N2 nα Chú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng *Tính chất : -Vết bằng - - mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5) III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng Π1 x C1 C2 x A1 A2 φ C A1 C1 mα Π2 φ A B nα B1 B2 B1 mα nα α x α1 Chú ý: mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay mα bởi α1 b) Mặt phẳng chiếu bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng *Tính chất : -Vết đứng - - nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6) Π1 x C1 C2 x A1 A2 C A B h1 Π2 A2 nβ φ C2 B2 mβ B1 B2 nβ φ mβ β x β2 Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2 c) Mặt phẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng *Tính chất : x C3 Π1 Π3 z y x A3 z C3 A1 C1 O B1 α β pγ A3 O B3 α β pγ Π2 A C B mγ nγ mγ nγ B3 y y Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh γ 2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2 *Tính chất : Π1 x B1 B2 x A1 A2 C2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằng B A1 A B1  Π2 A2 C B2 C1 mα mα C1 C2 Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng α1 b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1 *Tính chất : Hình 3.9. Mặt phẳng mặt Π1 x C1 C2 x A1 A2 C A1 C1 Π2 A2 β B2 A B B1 C2 B1 B2 nβ nβ Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng β2 c) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 *Tính chất : Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh x Π1 Π3 y A3 B3 z O p3 Π2 B C2 A1 p B2 B1 A A2 C C1 C3 γ mγ nγ mγ nγ x A2 B3 y A3 B1 O A1 C2 E2 C3 C1 y z (γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng Chú ý: IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) 1- Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1 I1 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 21 a2 22 b1 b2 I2 a1 12 l’1 l’2 21 a2 22 a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22) b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 11 a2 I1 I1 11 K2 K1 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) KÎ l’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 l1 l2 Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12) Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2Î x - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2Î nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1 M2 l1 l2 M1 N1 N2 mα nα x Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết 2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13) Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng lÎ(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 Î l2 (Điểm thuộc đường thẳng) Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2 b1 b2 I2 a1 12 l1 l2 21 a2 22 I1 11 K2 K1 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2 (Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng aÎ(α) → a1 qua K1. Tìm K2? - K2 Î a2 Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2 αx a1 a2 M1 M2 N1 N2 x K1 K2 Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự mα nα V- Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng 1- Đường bằng của mặt phẳng * Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α). Khi đó hÎ(α) và h//П2.(Hình 3.15) Π1 x x h1 h2// nα Hình 3.15. Đường bằng của mặt phẳng h Π2 mα nα mα nα α h1 h2 Chú ý: Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα thì đường bằng song song với vết bằng, do đó trên đồ thức h2//nα. Ví dụ: Cho mặt phẳng α (a,b), trong đó a//b. Vẽ đường bằng h thuộc (α) sao cho h có độ cao bằng 3cm. (Hình 3.16) Giải: - Vẽ h1//x, h1cách x một khoảng bằng 3 cm sao cho h1 ở phía trên trục x (vì độ cao dương). - Tìm h2 : bài toán cơ bản thứ nhất Hình 3.16. Ví dụ đường bằng của mặt phẳng b1 b2 a1 a2 12 21 22 11 h1 h2 3cm x 2- Đường mặt của mặt phẳng *Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α). Khi đó fÎ(α) và f//П1. (Hình 3.17) Hình 3.17. Đường mặt của mặt phẳng Π1 x x f1// mα f2 f Π2 mα nα mα nα α f1 f2 Chú ý: Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα thì đường mặt song song với vết đứng, do đó trên đồ thức f1//mα . 3- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu a) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng *Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường bằng của mặt phẳng . Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П2. Khi đó dÎ(α) và d^h. (h là đường bằng thuộc (α)) (Hình 3.18) Hình 3.18. Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng *Tính chất: - d2^h2 ; d2^nα - d,d2 = d,П2 = (α),П2 = φ Π1 x x h1 h2 h Π2 mα nα mα nα φ d N1 N2 M1 M2 d1 d2 d2 α b) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng *Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường mặt của mặt phẳng. Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П1. Khi đó dÎ(α) và d^f. (f là đường mặt thuộc (α)) (Hình 3.19) *Tính chất: - d1^f1 ; d1^mα - d,d1 = d,П1 = (α),П1 = φ Π1 x x f1 f2 f Π2 mα nα mα nα α d1 d N1 N2 M1 M2 d1 d2 Hình 3.19. Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng φ c) Ví dụ: Cho α(ABC) xác định góc nghiêng của α với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. (Hình 3.20) Giải: - Vẽ đường bằng Ah thuộc mặt phẳng α(ABC) - Vẽ đường dốc nhất CD thuộc mặt phẳng (ABC): + C2D2 ^A2h2 +D2Îh2 - Tìm góc tạo bởi đường dốc nhất CD với П2: Góc φ tìm được là góc tạo bởi mặt phẳng α(ABC) với mặt phẳng П2. h1 h2 A1 C1 B1 A2 C2 B2 12 11 D1 D2 φ Hình 3.20. Xác định góc nghiêng của α(ABC) với mặt phẳng hình chiếu bằng П2 VI- Vi trí tương đối của hai mặt phẳng 1- Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung nào. b) Định lý: Nếu trong mặt phẳng này có chứa hai đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau. Giả thiết: a,bÎ(α) ; a∩b ≡ O a’,b’Î(β) ; a’∩b’ ≡ O’ a//a’ ; b//b’ Kết luận: (α)//(β) Chú ý: Định lý này dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song, đồng thời dể dựng hai mặt phẳng song song. α β a a’ b b’ Hình 3.21. Hai mặt phẳng song song O O’ c) Ví dụ Ví dụ 1: Cho α(ABC) , I(I1,I2). Qua I dựng mặt phẳng (β)//α(ABC) Giải: - Vẽ IJ//AB: + I1J1//A1B1 + I2J2//A2B2 - Vẽ IK//AC: + I1K1//A1C1 + I2K2//A2C2 - Theo định lý trên ta có: β(IJK)//α(ABC) A1 C1 B1 A2 C2 B2 I1 I2 I1K1//A1C1 I1J1//A1B1 I2K2//A2C2 I2J2//A2B2 Hình 3.22. Ví dụ 1: Qua I dựng mặt phẳng (β)//α(ABC) K1 J1 J2 K2 Ví dụ 2: Cho α(mα, nα) , I(I1,I2). Qua I dựng mặt phẳng (β) // (α). (Hình 3.23) Giải: - Qua I dựng đường bằng hÎ(β): Vì (β)//(α) nên: h2//nα ; I2Îh2 h1//x; I1Îh1 - Tìm M(M1,M2) là vết đứng của đường bằng h: M2≡ h2 ∩x Þ M1Îh1 -Vì (β) // (α) nên: mβ//mα ; M1 Î mβ nβ//nα x h1 h2 mα nα I1 I2 M1 M2 mβ nβ Hình 3.23. Ví dụ 2: Qua I dựng mặt phẳng (β)//(α) Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (không phải là mặt phẳng chiếu cạnh) song song với nhau được cho bởi vết, thì các vết tương ứng của chúng song song nhau(mα//mβ ; nα//nβ) Khi hai mặt phẳng đã song song thì các đường thẳng đặc biệt tương ứng của hai mặt phẳng đó cũng song song nhau 2- Hai mặt phẳng cắt nhau Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1 β2 α1 g1 g2 x Hình 3.24. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β2) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 + g2 ^ x β1 α1 g1 g2 x Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 3: Cho α(α1) , β(ABC) (Hình 3.26) Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 - Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng A1 B1 A2 C2 B2 C1 12 11 21 22 g1 ≡ g2 Hình 3.26. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) ,β(ABC) α1 Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(α2) , β(mβ,nβ) .(Hình 3.27) Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ α2 - Để tìm g1 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng x Hình 3.27. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(mβ,nβ) mβ α2 N1 N2 M1 M2 g1 g2 ≡ nβ Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 5: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó Giải: - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ Þ M2Îx + N2≡ nα∩nβ Þ N1Îx - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g2 đi qua các điểm M2 và N2 Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) x mα N1 N2 M1 M2 g1 g2 nα mβ nβ Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ Chú ý: (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu. Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l α g l β k J φ k’ l’ φ’ J’ Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. C2 D2 x C1 d1 d2 c2 c1 D1 A1 B1 E1 F1 a1 b1 a2 b2 A2 B2 E2 F2 J’1 (φ1) (φ’1) J1 J2 J’2 Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ g1 g2 k1 k2 k’1 k’2 l1 l2 l’1 l’2 VI- Vi trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 1- Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng khi đường thẳng và mặt phẳng đó không có điểm chung nào.(Hình 3.31) b) Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. α a b Hình 3.31. Đường thẳng và mặt phẳng song song Ví dụ: Cho α(mα, nα) , β(mβ, nβ), I(I1, I2). Qua I dựng đường thẳng l sao cho l//(α), l//(β).(Hình 3.32) Giải: - Tìm giao tuyến g của (α) và (β) - Qua I vẽ l//g x mα N1 N2 M1 M2 g1 g2 nα mβ nβ I1 I2 l1 l2 Hình 3.32. Ví dụ về đường thẳng và mặt phẳng song song 2- Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau Vấn đề đặt ra: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), α(α2) . (Hình 3.33) Giải: (α) ^ П2 Þ K2 Î α2 Mà K2 Î l2 Þ K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α) l2 α2 l1 x K1 K2 Hình 3.33. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(α2) Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 2: Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). (Hình 3.34) Giải: - l ^ П1 Þ K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1 (điểm thuộc mặt phẳng) Þ K2 ≡ l’2 ∩l2 l2 a2 l1 x K1 ≡ K2 b2 a1 b1 Hình 3.34. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l ^ П1, α(a,b) l’1 l’2 12 22 11 21 Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 3: Cho l(l1,l2),, mặt phẳng α(ABC). Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35) + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) Hình 3.35. Phương pháp mặt phẳng phụ g l K α φ Chú ý: Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 4: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC). (Hình 3.36) Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) và (P1BC, P2BC): P1lÎ l1 ; P1BCÎ B1C1 ; P2l ≡ P2BC Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1BC Þ trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2BC khuất Þ P2lK2 thấy. - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l ) Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l Þ trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất Þ 11lK1 khuất. A1 B1 A2 C2 B2 C1 12 11 21 22 φ1 ≡ l1 K1 K2 l2 g2 ≡ g1 Hình 3.36. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC). ≡ 11l 12l Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 5: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37) Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1) - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α) x l1 N1 N2 M2 M1 g2 K1 K2 l2 mα nα Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα). Chú ý: Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự. φ1 ≡ ≡ g1 VII- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc 1- Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a) 2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b) 3- Chuyển sang đồ thức - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó. Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc α β a a l b O l a) b) 4- Ví dụ: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2). Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) Giải: - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2) - Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2) - Qua I vẽ l ^ α(ABC): +Vẽ I1l1 ^ C1f1 + Vẽ I2l2 ^ A2h2 - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC) (Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC) h1 A1 B1 A2 C2 B2 C1 11 ≡ φ1 l1 I1 I2 l2 g2 ≡ g1 h2 D1 D2 E2 E1 H1 H2 21 22 12 f1 f2 Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α). Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) được cho trên đồ thức. (Hình 3.40) Giải: - Qua I vẽ đường thẳng l ^ α(mα, nα) : +Vẽ I1l1 ^ mα + Vẽ I2l2 ^ nα - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα) - Tìm độ lớn thật của IH Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ I đến α(mα, nα) x N1 N2 M2 M1 g2 H1 H2 l2 mα nα I1 I2 Δy ĐLT: IH Δy Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) ≡ φ1 l1 ≡ g1 Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα). Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41) Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I - Vẽ đường thẳng Ib ^ α(mα, nα) - β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ^ α(mα, nα) x b2 mα nα I1 I2 b1 a2 a1 Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α)