Bài 4 Các phép biến đổi

Giảng viên: Th.s Nguyễn Thị Thu Nga BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HOẠ HÌNH Bài 4 Các phép biến đổi Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi. I- Thay mặt phẳng hình chiếu 1- Thay một mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới. - Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu là (A1 , A2). - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ + A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi) A1 x Ax A2 x’ A’1 A’x Π1 Π2 Π2 Π’1 Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 a) b) x Π1 Π2 A1 A’1 A2 Π’1 A A’1 A’x x’ Ax Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặt AB đã cho ở vị trí bất kỳ. Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2. Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1 A1 x Ax A2 x’ A’1 A’x Π1 Π2 Π2 Π’1 B1 B2 B’1 B’x Bx φ ĐLT: AB Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 Điều kiện: Cách xây dựng như thay П1 thành П’1 * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3) *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2 A1 x Ax A2 Π1 Π2 x’ A’2 A’x Π1 Π’2 Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC. Π1 Π2 C1 C2 x A2 B2 B1 A1 x’ A’2 A’x Π1 Π’2 B’2 B’x C’2 C’x Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC Ax Bx Cx 2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 rồi thay П2 thành П’2 Điều kiện: Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5) Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ^ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 ^ x” ; A’xA”2=AxA’2 A1 Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2 Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2 A1 x Ax A2 x’ A’1 A’x Π1 Π2 Π2 Π’1 x’’ A’2 A”x Π’2 Π’1 Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6) Giải: Thay П1thành П’1 để trong hệ thống (П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm) Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x”^A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng) A1 x Ax A2 x’ A’x Π1 Π2 Π2 Π’1 B1 B2 B’1 B’x Bx Π’1 Π’2 x’’ A”x ≡ B”x A’2 ≡ B’2 Hình 4.6. Ví dụ 3 Độ cao âm A’1 b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 rồi thay П1 thành П’1 Điều kiện: Thực hiện phép thay tương tự như mục a) Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2. (Hình 4.7). Giải: Tìm A’2: A1A’2 ^ x’ ; A’xA’2=AxA2 Tìm A’1: A’1A’2 ^ x” ; A’’xA’1=A’xA1 A1 x Ax A2 Π1 Π2 x’ A’2 A’x Π1 Π’2 x’’ A’1 A’’x Π’1 Π’2 Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8) Giải: - Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’^A1f1. Tìm A’2B’2C’2? - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2. Tìm A’1B’1C’1? - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC. Π1 Π2 C1 C2 x A2 B1 A1 A’2 A’x Π’2 Π’1 B’2 B’x C’2 C’x B2 C’1 A’1 B’1 x’’ x’ Bx Cx Ax B”x A”x C”x Π’2 Π1 Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC f2 f1 11 12 II- Phép quay quanh trục 1- Phép quay quanh đường thẳng chiếu a) Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng Bài toán: Cho đường thẳng chiếu bằng t(t1,t2) và điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu A’(A’1,A’2) của điểm A sau khi quay điểm A quanh đường thẳng t một góc φ cho trước. (Hình 4.9) Mô tả: Khi quay A quanh trục t (t^П2) thì điểm A vạch nên một đường tròn (C) có tâm OÎt, bán kính R=OA là khoảng cách từ A đến t và (C) Î(α): (α)//П2, (α) qua A.’ Trên đồ thức: α1 qua A1, α1//x. Khi A quay quanh t đến A’ thì AOA’= φ, dễ thấy A2O2A’2=AOA’= φ và O2A’2=O2A2=R. Do đó: Trên đồ thức, vẽ cung tròn A2A’2 sao cho A2OA’2= φ. Ta có: A’1 Îα1 A’(A’1,A’2) là vị trí mới của A cần tìm. Có 2 vị trí A’ và A”. Π1 x A1 A  Π2 A2 A’1 A’ A’2 φ φ t O ≡O2. O1 A1 x A2 O1 ≡ O2 A’2 A’1 t1 φ Hình 4.9. Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng 1 (C) A”2 A”2 φ 1 R t2 t2 (C2) b) Phép quay quanh đường thẳng chiếu đứng (Tương tự như phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng) Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB với П2. (Hình 4.10) Giải: Quay AB quanh đường thẳng chiếu bằng t đến vị trí AB là đường mặt. Chọn t qua B, Þ t1 qua B1, t2 ≡ B2 Khi quay quanh t thì B cố định: Þ B’1 ≡ B1 ; B’2 ≡ B2 Quay A quanh t đến A’ sao cho A’B’//П1 Þ A’2B’2//x Þ A’1Îα1 Ta có kết quả: + A’1B’1 là độ lớn thật của AB + A’1B’1, x = AB, П2 = φ A1 x A2 O1 B2 A’2 A’1 t1 B1 φ ĐLT: AB Hình 4.10. Ví dụ tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB với П2 1 B’2 ≡ B’1 ≡ ≡ t2 2- Phép quay quanh đường thẳng đồng mức a) Phép quay quanh đường bằng Bài toán: Cho đường bằng h(h1,h2) và điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu A’(A’1,A’2) của điểm A sau khi quay điểm A quanh đường bằng h tới vị trí A’ có độ cao bằng độ cao của đường bằng h. (Hình 4.11) Mô tả: Khi quay A quanh đường bằng h thì điểm A vạch nên một đường tròn (C) có tâm OÎh, bán kính R=OA là khoảng cách từ A đến h và (C) Î(α) ; (α) ^h Þ (α) ^ П2. Do đó trên hình chiếu bằng A2Îα2. Khi đến vị trí A’ có độ cao bằng độ cao của đường bằng h thì A’Î(φ) là mặt phẳng bằng chứa h (φ1 ≡ h1). Trên hình chiếu đứng A’1Îφ1. Mặt khác, OA’// П2 Þ O2A’2=OA=R (khoảng cách thật từ A đến h) Thực hiện : Qua A2 vẽ α2 ^h2, gọi O2 ≡ h2 ∩ α2 ,O1Îh1 Tìm độ lớn thật của OA. Lấy O2 làm tâm quay cung tròn bán kính R=OA cắt α2 tại A’2. Ta có A’1Îh1 Bài toán có hai nghiệm: A’2 và A*2 Þ A’1Îh1, A*1Îh1 Hình 4.11. Phép quay quanh đường bằng Π1 Π2 A’1 x A1 A2 h1 h2 A*1 A’2 A*2 O2 O1 Δz ≡ φ1 α2 x A’ A h1 h  A*2 h2 A* A’2 A2 O2 O (C) 2 φ ≡ φ1 ĐLT: OA Ví dụ: Tìm hình dạng độ lớn thật tam giác ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.12) Giải: - Quay mặt phẳng (ABC) quanh đường bằng Bh để mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng bằng thì hình chiếu bằng mới của DABC là độ lớn thật của tam giác đó. - Muốn vậy, vẽ đường bằng Bh (B1h1; B2h2) của mặt phẳng (ABC) - Xoay điểm C quanh đường bằng Bh: + Qua C2 vẽ α2 ^B2h2 .Gọi O2 ≡ h2 ∩ α2 + Tìm độ lớn thật OC đó là O2C. + Lấy O2 làm tâm quay cung tròn bán kính R=O2C, cung tròn cắt α2 tại C’2. - Qua A2 vẽ β2 ^B2h2. Kéo dài C’2D2 cắt β2 tại A’2. - Vì quay quanh đường bằng Bh nên B’2 ≡ B2 - D A’2B’2C’2 là độ lớn thật của DABC. Tương tự ta có nghiệm A*2B2C*2 h1 h2 Δz A*2 A1 B1 C1 B2 A2 C2 D1 D2 C*2 B’2≡ A’2 O2 Hình 4.12. Tìm độ lớn thật của tam giác ABC C’2 α2 β2 ĐLT: OC