Bài 4: Khai triển hàm trạng thái. Hàm trạng thái và các đại lượng vật lý trong các không gian khác nhau

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 4: KHAI TRIỂN HÀM TRẠNG THÁI. HÀM TRẠNG THÁI VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÁC NHAU ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử. Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC. Những trường hợp phức tạp hơn sẽ được xét sau. Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau. Tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau Do tính hermitic nên các vế trái của (4.4) và (4.5) bằng nhau. Vì vậy, lấy (4.4) trừ (4.5) ta được. TỪ ĐÓ SUY RA (4.3). 2. Khai triển hàm trạng thái theo hệ hàm riêng của một toán tử . Lúc đó ta có: Khi đó, vấn đề đặt ra là phải tìm các hệ số cn (phức) Do tính trực giao nên vế trái của (4.8) sẽ bằng: do đó: thoa mãn điều kiện chuẩn hoá sau: Khi đó, ta có: Khi đó, thay vi (4.7) ta phai viết: rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian, ta có: Khi đó từ (4.13) suy ra: : 3. Các trường hợp đặc biệt ta có Dễ chứng tỏ rằng điều kiện chuẩn hoá : dẫn đến hệ thức: Khi đó, (4.12) thay bởi: trong đó dw là yếu tố thể tích trong không gian các vector còn (4.15) trở thành: Như vậy, theo thuật ngu của Giai tích toán học thi là anh của hàm qua biến đổi Fourier, và là anh của qua biến đổi Fourier ngược. . . 4. Biểu diễn – L của hàm sóng và các đại lượng vật lý. Trong trường hợp tổng quát, cập công thức (4.12) - (4.15) hoặc (4.7) - (4.11) cho ta thấy rằng, giua hàm trạng thái và hàm (hay hệ số cn) có mối tương quan “một – một”. Vi vậy, chính hàm . Ta gọi nó là hàm trạng thái trong không gian các giá trị của đại lượng L hay hàm trạng thái trong biểu diễn - L. là hàm trạng thái trong biểu diễn toạ độ x- biểu diễn; thành một hàm với biến ): Bay giờ ta sẽ coi (4.15) là công thức của một toán tử tuyến tính U (chuyển một hàm với biến Hàm Hàm cho bởi (4.17) là hàm trạng thái trong biểu diễn xung lượng. p- biểu diễn Khi đó, (4.12) chính là công thức của toán tử ngược: để khi có (4.21); (4.22); (4.23) thi (4.24) luôn đúng. Ta có: Từ đó suy ra: ĐAY CHÍNH LÀ CÔNG THỨC CẦN TÌM. Lẽ tự nhiên, ta cần phai coi Dối với trường hợp phổ rời rạc, công thức (4.11) cho ta phép biến đổi U biến  thành bộ (c1, c2, ......), còn (4.7) là biến đổi ngược U-1. Như vậy: là toán tử của đại lượng M trong biểu diễn –L. Dối với đại lượng M, các toán tử của nó là trong biểu diễn toạ độ và trong biểu diễn –L vẫn thoa mãn (4.25). Bây giờ ta tim toán tử của chính L trong biểu diễn –L. Muốn vậy, ta viết lại (4.27) như sau: Từ đây suy ra: Do đó: Tương tự, trong trường hợp phổ liên tục, ta có: Nói cách khác, toán tử của L trong biểu diễn của chính nó chính là phép nhân với biến số . Diều này phù hợp với khẳng định đã nhận được trước đây: toán tử toạ độ x chính là phép nhân với biến số x, ........ Chú ý: Công thức (4.25) dễ dàng tổng quát hoá như sau: nếu và lần lượt là các toán tử của đại lượng M trong biểu diễn - L1 và biểu diễn - L2; U là phép chuyển từ hàm trạng thái c1 trong biểu diễn - L1 sang hàm trạng thái c2 trong biểu diễn - L2 thi: Dùng công thức này, dễ chứng minh rằng với tích phân ở vế trái được lấy theo phổ của còn ở vế phai lấy theo phổ của . HÃY NGHIỀN NGẪM RẤT KỸ Ý NGHĨA CÁC KÝ HIỆU TRONG CÁC CÔNG THỨC NÀY! 5. Các toán tử toạ độ và xung lượng trong biểu diễn xung lượng Trong biểu diễn xung lượng, cố nhiên toán tử chính là phép nhân hàm trạng thái với px: và đối với các thành phần khác cũng vậy. Dể xác định, ví dụ, toán tử lên hàm c(p) tương đương với việc tác dụng của toạ độ x trong biểu diễn xung lượng, ta chú ý đến (4.17). Do việc tác dụng lên  nên: Mặt khác, vế phải của (4.30) lại bằng Như vậy, với sai khác là dấu (cộng hoặc trừ), dạng của toán tử toạ độ trong biểu diễn xung lượng hoàn toàn giống như dạng của toán tử xung lượng trong biểu diễn toạ độ. Từ những điều vừa nói, ta suy ra dạng của toán tử năng lượng trong biểu diễn xung lượng: