Bài 5 Tính ngẫu nhiên của kết quả của các phép đo và các hệ quả. Điều kiện đo được đồng thời

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 5 TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA KẾT QUẢ CỦA CÁC PHÉP ĐO VÀ CÁC HỆ QUẢ. ĐIỀU KIỆN ĐO ĐƯỢC ĐỒNG THỜI Từ đầu tới giờ, ta đã nói về hàm trường hay hàm trạng thái. Tuy nhiên, có những câu hỏi về nó mà ta phải trả lời. Thứ nhất, về phương diện Vật lý thì hàm trạng thái là cái gì ? Trong bài này, ta sẽ nêu ra những suy luận để trả lời hai câu hỏi đó. 1. Tính ngẫu nhiên của các kết quả quan sát. Thứ hai, trong các bài toán cụ thể thì hàm sóng được xác định theo các kết quả quan sát ra sao ? ë phần trước, ta đã nói về tính bất định của các đại lượng vật lý của các đối tượng vi mô. Từ tính bất định suy ra rằng, các kết quả đo một đại lượng nói chung là có tính ngẫu nhiên. Dể chứng tỏ điều đó, ta hãy thử xem xét, chẳng hạn phép đo xung lượng của một hạt với hàm trạng thái . Nói chung, cần coi rằng không phai là hàm riêng của toán tử và vi vậy, trong trạng thái thi xung lượng không có giá trị cụ thể nào. Một thí nghiệm được coi là phép đo xung lượng, nếu trong kết qua ta có một giá trị xung lượng cụ thể của hạt. §ương nhiên là ngay sau khi đo như vậy hạt sẽ chuyển sang một trạng thái khác, với hàm trạng thái có dạng. trong đó là một vector cụ thể. (Xin nhấn mạnh một lần nua: không thể có phép đo phi tương tác, tức là không thể có phép đo không làm thay đổi trạng thái của hạt). ở đây, là vector cụ thể vi là kết qua đo. Tuy nhiên, các giá trị khác của xung lượng cũng có thể xuất hiện thay cho bởi vi nếu ngoài ứng với trị riêng Diều này trái với gia thiết rằng là hàm trạng thái tuỳ ý. không còn giá trị nào kha dĩ thi ta buộc phai thừa nhận rằng ngay trước khi đo thi hạt ở trạng thái mà hàm tương ứng là hàm riêng của toán tử Như vậy, trong Cơ học lượng tử và nói chung trong Vật lý lượng tử, ta buộc phải thừa nhận rằng: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SÓNG KHÔNG ĐỒNG NGHĨA VỚI TÍNH XÁC ĐỊNH ĐƠN TRỊ CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG QUAN SÁT. TOÁN TỬ MÔ TẢ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRỊ RIÊNG LÀ PHỔ CÁC GIÁ TRỊ CỦA ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ HÀM SÓNG MÔ TẢ TRẠNG THÁI CÓ THỂ LÀ TẬP HỢP CÁC HÀM RIÊNG TƯƠNG ỨNG VỚI TOÁN TỬ MÔ TẢ TRẠNG THÁI Như vậy, cách mô tả hạt hoặc hệ vật lý nói chung bằng hàm trường Theo quan điểm của A. Einstein thì cách mô tả như vậy là không đầy đủ và cần phải được thay thế bằng cách mô tả khác. ở đây, ta sẽ không thảo luận về vấn đề này. Chỉ xin lưu ý rằng cho đến nay chưa có cách mô tả nào cho những kết quả lý thuyết phù hợp với thực nghiệm hơn vật lý lượng tử. KHÔNG CHO PHÉP TA TIÊN ĐOÁN TRƯỚC các giá trị đo được của các đại lượng (là các trị riêng của toán tử). 2. Yêu cầu đối với việc xây dựng hàm trạng thái. Xuất phát từ những suy luận như trên, bây giờ ta sẽ nêu ra quan điểm sau đây; DỐI VỚI TRƯỜNG PHOTON HAY TRƯỜNG ĐIỆN - TỪ THI HÀM TRƯỜNG CHÍNH LÀ CẶP VECTOR quan điểm này vừa nêu ra yêu cầu đối với việc xây dựng hàm trạng thái cho những bài toán cụ thể, vừa gán cho hàm trạng thái một ý nghĩa vật lý xác định. Từ Diện động lực học cổ điển, ta biết rằng đại lượng chính là mật độ nang lượng của trường điện từ. Nếu chuyển sang quan điểm lượng tử thi w CHÍNH LÀ MẬT ĐỘ XÁC SUẤT TIM THẤY PHOTON (ở điểm đang xét). Một cách tương tự, ta yêu cầu hàm trạng thái  của hạt . và với  là số thực có thể coi như cùng xác định một trạng thái của hạt (trước hết cho trường hợp vô hướng, tức là  nhận giá trị là các số phức) phai được xây dựng sao cho vì Chính vi vậy, nói chung thi giá trị của hàm trạng thái không phai là đại lượng đo được. Tuy nhiên, ta luôn có thể xác định từ thực nghiệm, bằng cách tiến hành nhiều lần việc “bắt” hạt ở trạng thái Nếu tiến hành bắt hạt N lần, và trong một vùng đủ nhỏ quanh vị trí ta bắt được hạt n lần thi có thể đặt: với V là thể tích của vùng nhỏ đó. 3. Xác suất của các giá trị của đại lượng vật lý Gia sử đại lượng L có phổ và với mỗi n thi là hàm riêng tương ứng với trị riêng n. Xét trạng thái xác định bởi hàm: từ (5.2) ta có: và do đó: Từ điều kiện chuẩn hoá, ta có nên vế phai của (5.4) sẽ là Mặt khác, do là tổng xác suất tim thấy hạt trong toàn bộ không gian nên Như vậy, ta có: . Đẳng thức này cùng với việc hiểu (c1, c2, .....) như hàm sóng trong không gian L dẫn đến một kết luận: chính là xác suất để L nhận giá trị n (nếu tiến hành đo đại lượng L). Trong trường hợp phổ liên tục, ta có kết luận tương tự: là mật độ xác suất để L nhận giá trị  . 4. Giá trị trung bình của một đại lượng là mật độ xác suất của giá trị nên L có giá trị trung binh trong trạng thái này là: với tích phân lấy theo toàn bộ phổ. Công thức (5.8) cũng có thể viết thành hay: Bây giờ ta dùng công thức (4.29) cho và là toán tử của L trong một biểu diễn khác, ví dụ biểu diễn – N, là hàm trạng thái tương ứng trong biểu diễn – N. Khi đó: do đó: và Đặc biệt, nếu chuyển về biểu diễn toạ độ, ta có: 5. Điều kiện để hai đại lượng là đo được đồng thời vừa là hàm riêng của vừa là hàm riêng của Gia sử L và M là hai đại lượng đo được đồng thời. Diều này có nghĩa là tồn tại một trạng thái tức là: Bây giờ ta gia sử  là hàm sóng tuỳ ý. Ta khai triển hàm này theo các hàm : CŨNG LÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ L VÀ M ĐO ĐƯỢC ĐỒNG THỜI. Vậy: điều cần và đủ để hai đại lượng L và M có thể đo được đồng thời là HAI TOÁN TỬ TƯƠNG ỨNG GIAO HOÁN VỚI NHAU. Vì lẽ đó, XUNG LƯỢNG và VỊ TRÍ của hạt không bao giờ cùng xác định. Cũng vì lẽ đó, ta không bao giờ biết được giá trị của mọi đại lượng đặc trưng cho hạt. Điều này cũng có nghĩa là: NẾU THỪA NHẬN TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ thì cũng phải thừa nhận luôn rằng KHÔNG CÓ CÁCH NÀO ĐỂ MÔ TẢ THỰC TẠI MỘT CÁCH ĐẦY ĐỦ THEO KIỂU LOẠI TRỪ ĐƯỢC CÁC KẾT QUẢ NGẪU NHIÊN.