Bài 8 Chuyển động một chiều

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm CHƯƠNG 2: CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU BÀI 8 CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU Đã đến lúc ta có thể áp dụng những kiến thức được trình bày trong bảy bài đầu để giải những bài toán cụ thể trong một số mô hình đơn giản. Ta bắt đầu từ trường hợp mà trong đó việc khảo sát chuyển động có thể quy về bài toán một chiều. 1. Trường thế tách biến và bài toán chuyển động một chiều Xét một hạt chuyển động trong trường thế với hàm thế năng có dạng: Phương trình Schrodinger trong trường hợp này sẽ là: trong đó Trước hết ta tìm nghiệm của (8.1) dưới dạng: Với hàm  như vậy, ta có: Vi chỉ tác dụng lên trong biểu thức của trong biểu thức của nên Thế (8.3) và (8.4) cùng hai hệ thức tương tự cho 1 và 2 vào (8.1), ta được Rõ ràng mỗi số hạng ở vế phải của (8.5) cùng lắm chỉ phụ thuộc một biến số tương ứng nên thực ra chúng phải là hằng số, tức là ta có: hay Đương nhiên E1+ E2+ E3=E. Như vậy, việc tìm nghiệm dạng (8.2) của phương trinh Schrodinger trong trường hợp này quy về việc giải các phương trình (8.6). Vì mỗi phương trình (8.6) chỉ chứa một biến số toạ độ nên có thể gọi là phương trình chuyển động một chiều Tuy nhiên, phương trình chuyển động không mô tả chuyển động của một hạt trên một đường thẳng. Do sự vô nghĩa của quỹ đạo nên không thể có chuyển động trên một đường thẳng hoặc cong. Chỉ trong những trường thế rất đặc biệt mới có chuyển động gần với chuyển động trên một đường. Còn ở đây, cụm từ “chuyển động một chiều” chỉ có nghĩa ước lệ: nó chỉ nói lên rằng khi giải phương trình chẳng hạn, thì ta chưa quan tâm tới sự phụ thuộc của hàm trạng thái vào các biến số toạ độ khác Bây giờ ta quy ước rằng, khi chọn một toạ độ để xét, ta tạm thời bỏ qua chỉ số bên cạnh hàm sóng và các toán tử. Như vậy, thay cho 1(x) chẳng hạn, ta sẽ chỉ viết (x) và phương trình (8.6) sẽ trở thành: 2. Tường thế Xét chuyển động một chiều của một hạt với động năng ban đầu là E  0 được “thả” vào một vùng mà hàm thế năng phụ thuộc vào toạ độ như sau: Hình 1: Biểu diễn Tường thế Trường thế năng như vậy được gọi là tường thế. Đồ thị hàm U(x) cho bởi hình 1. Trong vùng x  0, phương trình (8.7) sẽ có dạng cụ thể như sau: hay Đây là phương trình vi phân quen thuộc. Nghiệm tổng quát của nó có dạng: trong đó . Dây là sự “chồng chất” hai trạng thái có xung lượng đối nhau ứng với hai chuyển động ngược chiều nhau. Như vậy, nếu đo xung lượng của hạt thi sẽ thu được một trong hai giá trị kha dĩ nói trên với xác suất tương ứng tỷ lệ với và Tuy nhiên, cần hết sức cảnh giác để tránh hiểu nhầm là có hai hạt hay hai luồng hạt chuyển động ngược chiều nhau! ở đây, ta chỉ có đúng một hạt, và hạt đó là không phân chia được. Việc tổ hợp nhiều trạng thái không bao giờ được nhầm lẫn với việc gộp nhiều hạt lại với nhau. Trong vùng bên phải (x > 0), phương trình (8.7) trở thành: hay Nghiệm tổng quát của phương trình này là: trong đó Để “khớp” các nghiệm ở hai vùng lại với nhau, ta dùng yêu cầu về tính liên tục của hàm trạng thái cùng với đạo hàm của nó Ta sẽ làm việc này cho trường hợp đáng quan tâm hơn; đó là trường hợp E 0 vẫn khác 0, KỂ CẢ KHI BAN ĐẦU HẠT ĐƯỢC THẢ VÀO VÙNG BÊN TRÁI. TỨC LÀ XÁC SUẤT CÓ MẶT BÊN PHẢI BỨC TƯỜNG LÀ KHÁC 0, Với E < U0, ta có q là số thuần ảo: q=i, với Do đó: Vi khi nên nếu D  0 thi khi Điều này vô nghĩa về phương diện vật lý, vì xác suất tìm thấy hạt không thể tăng mãi khi đi ra xa vô cực. Vậy phải có D = 0. Suy ra: Diều kiện để hàm trạng thái liên tục tại 0 có dạng: tức là: A + B = C (8.10) Tiếp theo, vì: và nên điều kiện để đạo hàm của hàm trạng thái cũng liên tục tại 0 là: ik(A + B) =-C hay: Kết hợp (8.10) và (8.11) với điều kiện chuẩn hóa, ta có Chú ý. Xin nhắc lại: việc tim được hàm trạng thái, ví dụ, trong biểu diễn toạ độ, cho phép ta tiên đoán được mật độ xác suất có mặt tại mỗi điểm trong không gian (bằng ) Muốn biết xác suất để đại lượng L nhận giá trị , ta cần khai triển theo các hàm riêng của L. Xác suất (hay mật độ xác suất) cần tim sẽ là , với là hệ số của hàm riêng hệ số cũng chính là giá trị của hàm trạng thái trong biểu diễn - L .