Bài giảng Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

Chương 3:BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC Bài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F Bài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ Bài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU Ký hiệu: x(n) X() hay X() = F{x(n)} X() x(n) hay x(n) = F-1{X()} BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER: Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu Biến đổi Fourier của x(n): X() biểu diễn dưới dạng modun & argument: Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy: Trong đó: - phổ biên độ của x(n) - phổ pha của x(n) Áp dụng kết quả: Biểu thức biến đổi F ngược: Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của các dãy: Giải: 2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là: Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thật vậy: Nếu: Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: Giải: X2() không tồn tại X3() không tồn tại BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính Nếu: Thì: b) Dịch theo thời gian Nếu: Thì: Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của dãy: Giải: c) Liên hiệp phức Nếu: Thì: Áp dụng tính chất dịch theo thời gian: d) Đảo biến số Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 2: Tìm biến đổi F của dãy: Theo ví dụ 1 Bài 1, có kết quả: suy ra: e) Vi phân trong miền tần số Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: Nếu: Ví dụ 3: Tìm biến đổi F của: Suy ra: Thì: f) Dịch theo tần số Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: Nếu: Ví dụ 4: Tìm biến đổi F của: Thì: g) Tích 2 dãy Thì: Nếu: g) Tổng chập 2 dãy Thì: Nếu: Ví dụ 5: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2) Giải: Theo ví dụ 1, có kết quả: - gọi là phổ mật độ năng lượng g) Quan hệ Parseval Thì: Nếu: (*) Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: Theo quan hệ Parseval, ta có: Với: TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z Hay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số  Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X()=X(z) với z=ej Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X() không hội tụ Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy: Giải: Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên: Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tại BÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 1. Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n: Miền : Y()=X()H() Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha: Ví dụ: 1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: Giải: Biến đổi Fourier của h(n): h(n)=rect3(n) Với 2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp Miền  :  Miền n:  b. Ghép song song Miền :  Miền n:  3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức Ví dụ: 2: Tìm y(n) biết: Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn 4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha: Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin: Ta cũng được kết quả: BÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU 1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu Quá trình lấy mẫu tín hiệu Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác 2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu 3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự Ví dụ: 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự 4. Định lý lấy mẫu “Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM” Ví dụ 2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự: Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist Giải: Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz  FN =2FM = 12 kHz 5. Khôi phục lại tín hiệu tương tự Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t). Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số: Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)