Bài giảng Các phân bố thống kê lượng tử

Chương 4: Các phân bố thống kê lượng tử KE 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử Phương pháp thống kê lương tử: Được tìm bằng cách lượng tử hóa năng lượng, số hạt và sử dụng toán tử phân bố (đây là toán tử với biến là toán tử năng lượng). Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi lấy toán tử của nó. Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng: 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử Toán tử Hamilton có các hàm riêng n và các trị riêng En F là năng lượng tự do của hệ,  là nhiệt độ thống kê, xi các tọa độ Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê: 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử Phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất liên quan xác suất tìm thấy hạt ở năng lượng tương ứng : Để tính phần tử ma trận, ta viết 4.2 ở dạng như sau: Khai triển hàm mủ exp(x) 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử Ký hiệu phần tử chéo: Khai triển số hạng thứ hai của vế phải 4.6 và viết lại ta được: 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử(Ribbs quantum distribution) Tính lại phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất: Chú ý tích của toán tử H nhiều lần (thí dụ J=2): 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử(Ribbs quantum distribution) Đưa hàm riêng ra ngoài dấu tổng và viết lại Đưa kết quả 4.10 vào 4.9 và viết lại ta được: Photo of Ribbs and Ribbs distribution Bài tập Xét hệ hạt electron ở hố thế một chiều : Hệ ở trạng thái CB nhiệt ở nhiệt độ phòng 300K. Năng lượng Fermi thống kê F của các hạt ứng với mức n-5, tính xác suất của hệ hạt ứng với các mức năng lượng n = 1, 2, 3, 4 Cho biết a=0,1 nm: Với K là hằng số Boltzmann: 4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT Kết luận: Thống kê chính tắc lượng tử có dạng: Theo tính chất của ma trận thống kê (Điều kiện chuẩn hóa) 4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT Gọi Q là tổng thống kê của phân bố chính tắc LT, ta viết lại Đưa kết quả 4.12 vào 4.13 và viết lại ta được: 4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT Từ tổng thống kê chính tắc lượng tử ta tính được NL Fermi F: Lưu ý trong trường hợp suy biến (một mức năng lượng có nhiều trạng thái vi mô khác nhau) Lúc đó tổng thống kê chính tắc là: Trong đó gn là số trường hợp suy biến của mức năng lượng En Tóm lại: Bài TậpTheo kết quả bài toán DĐĐH Giải bài toán dao động tử điều hòa 3D: Trước hết xem lời giải nghiệm hàm sóng và năng lượng: Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông Kết quả: Về năng lượng (phụ thuộc các số tự nhiên nx, ny, nz) Kết quả: Về hàm sóng phụ thuốc vào việc chon nx, ny, nz Lúc này có sự suy biến: Cùng một mức năng lượng sẽ có nhiều trạng thái khác nhau do các giá trị nx, ny và nz tạo ra. Ví dụ với mức ta có 6 TT Phần thực hiện Từ bài toán dao động tử điều hòa 3D: Tính số trạng thái khi N=1,2,3,4 Tính tổng thống kê chính tắc khi hệ có thể ở 4 mức năng lượng khác nhau (N=1, 2, 3, 4) cho biết tần số dao động của hạt là f= 1015 Hz Từ đó tính năng lượng Fermi F (CT 4.16) 4.3 – Phân bố chính tắc suy rộng lượng tử Khảo sát hệ chính tắc suy rộng: Hệ cân bằng nhiệt với bình nhưng có năng lượng và số hạt có thể thay đổi. Xem lại Hàm phân bố chính tắc suy rộng cổ điển  là thế nhiệt động,  là thế hóa học của hệ,  = KBT là nhiệt độ thống kê, E là năng lượng (hàm của tọa độ suy rộng xi. Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê: B. GIAO HOÁN TỬ 1. Định nghĩa: 2. Các toán tử giao hoán được 3. Các toán tử không giao hoán được Ôn lại về giao hoán tử Lưu ý quang trọng : Nếu 2 toán tử giao hoán nhau thì 1- Chúng có cùng hàm riêng 2- trị riêng là xác định đồng thời 4.3 – Biểu thức phân bố chính tắc suy rộng lượng tử Vì số hạt của hệ và năng lượng của hệ là có thể đo độc lập nên hai toán tử số hạt và toán tử năng lượng là giáo hoán nên: Lưu ý N là tổng số hạt của hệ, n là số các hàm sóng đặc trưng cho trạng thái lượng tử của hệ, Nn là số hạt ứng hàm sóng thứ n. Phần tử đường chéo của NT TK: 4.3 – Phân bố chính tắc suy rộng lượng tử Trường hợp lượng tử thì điều kiện chuẩn hóa là Từ đó chuyển vế Đặt tổng thống kê Z theo biểu thức: 4.3 – Phân bố chính tắc suy rộng lượng tử Khảo sát hệ chính tắc suy rộng: Hệ cân bằng nhiệt với bình nhưng có năng lượng và số hạt có thể thay đổi. Xem lại Hàm phân bố chính tắc suy rộng cổ điển Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi lấy toán tử của nó. Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng: Toán tử Hamilton có các hàm riêng n và các trị riêng En F là thế nhiệt động, của hệ,  là nhiệt độ thống kê, xi các tọa độ Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê: