Bài giảng Các phép biến đổi dùng trong máy điện

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI DÙNG TRONG MÁY ĐIỆN §1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BA PHA 1. Khái niệm chung: Khi nghiên cứu một hệ thống 3 pha, các biến đổi toán học thường được dùng để giảm bớt số biến, để đơn giản hoá nghiệm của các phương trình có hệ số thay đổi theo thời gian t hay để quy các biến về một hệ toạ độ chung. Ví dụ phương pháp thành phần đối xứng dùng để phân tích các đại lượng pha thành các thành phần thứ tự thuận, nghịch và không: [f012] = [T012] × [fabc] (1) Trong đó: [ ] 2012 2 1 1 1 1T 1 a a 3 1 a a    =     (2) với 3 2j ea pi = và 1 2 012 2 1 1 1 T 1 a a 1 a a −     =      (3) Biến đổi thành phần đối xứng được dùng cho cả các vec tơ xác lập lẫn các đại lượng tức thời. Một phép biến đổi thường dùng khác là biến đổi hệ thống nhiều pha thành hệ thống 2 pha vuông góc. Khi biến đổi hệ n pha thành hệ 2 pha ta có: [fxy] = [T(θ) ]× [f123..n] (4) Trong đó: [ ] p p pcos cos cos (n 1) 2 2 22T( ) n p p psin sin sin (n 1) 2 2 2     θ θ − α θ − − α        θ =     θ θ − α θ − − α         L L (5) và α là góc độ điện giữa 2 pha cạnh nhau của dây quấn rải n pha. Hệ số n 2 để bảo đảm cho công suất của hệ khi biến đổi không thay đổi. 2. Phép biến đổi Clark: Các biến hai pha cố định của phép biến đổi Clark được kí hiệu là α và β như hình bên. Trục α trùng với trục pha a và trục β chậm sau trục α góc pi/2 như hình trên. Như vậy phép biến đổi là hai hướng và một biến thứ 3 là thành phần thứ tự không được thêm vào: [fαβ0 ]= [Tαβ0 ]× [fabc] (6) Trong đó ma trận biến đổi [Tαβ0] khi trục α trùng với trục của pha a là: 12 12 trục a trục α trục b trục c trục β 01 11 2 2 2 3 3T 0 3 2 2 1 1 1 2 2 2 α β   − −     = −        (7) và 1 0 1 0 1 1 3 1T 2 2 1 3 1 2 2 − α β     −  =       − −   (8) 3. Phép biến đổi Park: Phép biến đổi Park từ 3 pha thành 2 pha thường được dùng khi phân tích các máy điện đồng bộ. Quan hệ giữa các đại lượng dq và abc được thể hiện trên hình vẽ sau: Phương trình biến đổi có dạng (hình a): [fdq0 ]= [Tdq0 (θd) ]×[fabc] (9) Trong đó ma trận biến đổi qd0 có dạng: d d d dq0 d d d d 2 2cosθ cos θ cos θ 3 3 2 2T ( ) sinθ sin θ sin θ 3 3 1 1 1 2 2 2 pi pi     − +         pi pi     θ = − − − − +              (10) dq0 d d 1 d d d d d cosθ sinθ 1 2 2cosθ sin θ 1T ( ) 3 3 2 2cosθ sin θ 1 3 3 − −  pi pi     − − −    θ =        pi pi    + − +         (11) Phép biến đổi Park thường được dùng để biến đổi các đại lượng stato của máy điện đồng bộ lên hệ toạ độ dq cố định so với roto. Chiều dương của trục d được chọn trùng với trục của từ trường của dây quấn kích thích. Trong phép biến đổi Park 13 13 trục a trục d trục b trục ctrục q θ d trục a trục d trục b trục c trục q θ d trục a trục q trục b trục c trục d θ q a b c nguyên thuỷ chiều dương của trục q được chọn vượt trước chiều dương của trục d góc pi/2 . Chọn như vậy thì điện áp của dây quấn akt ktL iω sẽ hướng theo chiều dương của trục q. Ta có thể chọn chiều dương của trục q chậm sau chiều dương của trục d một góc pi/2 . Lúc đó chiều dương của s.đ.đ cảm ứng trong dây quấn sẽ trùng với chiều dương của trục q và điện áp trên dây quấn sẽ hướng ngược chiều trục q. Ma trận của phép biến đổi với trục q chậm sau trục d (hình b) là: d d d dq0 d d d d 2 2cosθ cos θ cos θ 3 3 2 2 2T ( ) sinθ sin θ sin θ 3 3 3 1 1 1 2 2 2 pi pi     − +         pi pi     θ = − +              (12) Ta cũng có thể dùng phép biến đổi qd0 có trục q vượt trước trục d và biểu diễn nó theo góc θq giữa trục a và trục q như hình c. [fqd0 ]= [Tqd0 (θq)]× [fabc] (13) Trong đó: q q q qd0 q q q q 2 2cosθ cos θ cos θ 3 3 2 2 2T ( ) sinθ sin θ sin θ 3 3 3 1 1 1 2 2 2 pi pi     − +         pi pi     θ = − +              (14) và nghịch đảo của nó là: qd0 q q 1 q q q q q cosθ sinθ 1 2 2cosθ sin θ 1T ( ) 3 3 2 2cosθ sin θ 1 3 3 −   pi pi     − −    θ =        pi pi    + +         (15) Giữa θq và θd có quan hệ: 2dq pi −θ=θ (16) Thay (16) vào [Tqd0 (θq)] và thực hiện một số biến đổi lượng giác ta có: dd sin2 cos θ−=   pi+θ (17) dd cos2 sin θ=   pi+θ (18) Như vậy hai phép biến đổi [Tdq0 (θq)] và [Tdq0 (θd)] cơ bản giống nhau, chỉ khác ở thứ tự các biến d và q. 14 14 §2. PHÉP BIẾN ĐỔI qd0 ĐỐI VỚI CÁC PHẦN TỬ CỦA ĐƯỜNG DÂY 1. Phép biến đổi qd0 cho mạch RL nối tiếp: Ta sẽ tìm phương trình trong hệ toạ độ qd0 quay ở tốc độ ω bất kì của đường dây 3 pha có dây trung tính nối đất mô tả bằng mạch RL nối tiếp như hình sau. Góc θq, tính bằng radian, được xác định bởi: )0(dt)t()t( q t 0 q θ+ω=θ ∫ (19) Điện áp đầu đường dây so với dây trung tính là: grgsrarg g ag c ac b ab a aaaaasgs uudt di L dt diL dt diL dt diLriu ++++++= (20) Mặt khác ta có: ig = -(ia + ib + ic) nên điện áp rơi trên 3 pha được viết dưới dạng ma trận: [us] - [ur] = [R][i] + p[L][i] (21) Trong đó: [ ] asgs s bsgs csgs u u u u    =     [ ] arg r r brgr crgr u u u u    =     [ ] a g g g g b g g g g c g r r r r R r r r r r r r r  +  = +  +  [ ] aa gg ag ab gg bg ag ac gg cg ag ab gg ag bg bb gg bg bc gg cg bg ac gg ag cg bc gg bg cg cc gg cg L L 2L L L L L L L L L L L L L L L L 2L L L L L L L L L L L L L L L 2L  + − + − − + − −  = + − − + − + − −  + − − + − − + −  Phương trình điện áp rơi trên đường dây trung tính là:     ++++−=−= dt diL dt diL dt diL dt di Lriuu ccgbbgaag g gggggsgrgrgs ( ) ( ) ( ) ( ) dt diLL dt diLL dt diLLiiir c cggg b bggg a agggcbag −+−+ −+++= (22) Đối với đường dây đồng nhất hoán vị ta có ra = rb = rc, Lab = Lbc = Lca và Lcg = Lbg = Lag 15 15 L aaraas ar L bbrbbs br L ccrccs cr L ggRggs gr u asgs uargr i g i a i b i c Gọi Ls = Laa + Lgg -2Lag , Lm = Lab + Lgg - 2Lag = Ls - Laa + Lab, rs = ra + rg và rm = rg thì ma trận điện trở và điện kháng sẽ có dạng đơn giản: [ ] s m m m s m m m s r r r R r r r r r r    =     [ ] s m m m s m m m s L L L L L L L L L L    =     Các phương trình qd0 của đường dây đồng nhất hoán vị có thể nhận được riêng rẽ bằng cách khảo sát điện áp rơi trên điện trở và điện kháng trong phương trình của pha a. Trước hết ta khảo sát điện áp rơi trên điện trở: rsia + rm(ib + ic) (23) Thay giá trị i0 = (ia + ib + ic)/3 để loại trừ ib và ic ta có: (rs - rm)ia + 3rmi0 (24) Biểu diễn ia theo các dòng điện qd0, điện áp rơi trên điện trở pha a sẽ là:( ) ( ) 0m0qdqqms ir3iθsiniθcosirr +++− (25) Tương tự, điện áp rơi trên điện kháng của pha a là: dt )ii(dL dt diL cbmas + + (26) Loại bỏ ib và ic ta có: dt )i(dL3 dt di)LL( 0mams +− (27) Dùng phép biến đổi qd0 theo (13) để biểu diễn ia theo các dòng điện qd0, điện áp rơi trên điện cảm của pha a có dạng: ( ) ( )s m q q d q 0 m 0L L p i cos i sin i 3L pi− θ + θ + + (28) Tương tự, áp dụng cùng một phép biến đổi qd0 cho điện áp rơi trên đường dây pha a ở vế phải của (21) và lập các phương trình đối với các hệ số cosθq, sinθq và các số hạng hằng ta có: ( ) ( ) ( ) dt d iLL dt di LLirru qdms q msqmsq θ −+−+−=∆ (29) ( ) ( ) ( ) dt d iLL dt diLLirru qqmsdmsdmsd θ −−−+−=∆ (30) ( ) ( ) dt diL2Lir2ru 0ms0ms0 +++=∆ (31) Cần chú ý là phương trình điện áp rơi trên đường dây này ở dạng thành phần đối xứng là: 0 s m 0 1 s m 1 2 s m 2 u z 2z i u z z i u z z i +          ∆ = − × ∆           −      (32) Từ các phương trình qd0 của điện áp rơi trên đường dây ta có sơ đồ thay thế tương đương của đường dây như sau: Trục q 16 16 i q ω(L s -L m )i drs-rm u qs u qr L s -L m Trục d Trục 0 Theo các thông số ban đầu ta có: ams rrr =− (33) gams r3rr2r +=+ (34) abaams LLLL −=− (35)( )agggabaams L2L3L2LL2L −++=+ (36) Khi hỗ cảm giữa các pha và giữa các pha đất bằng zero, nghĩa là Lab = Lac = Lbc = 0 và Lag = Lbg = Lcg = 0 thì Ls = Laa + Lgg và Lm = Lgg. Mạch tương đương qd0 có dạng như sau: Trục q Trục d Trục 0 Các mạch tương đương này thường được dùng khi tải RL song song và hỗ cảm bằng zero. Khi cho điện áp đầu vào, ta tìm được các dòng điện qd0: ( )q qs qr aa d a q aa 1i u u L i r i dt L = − − ω −∫ (37) ( )d ds dr aa q a d aa 1i u u L i r i dt L = − + ω −∫ (38) ( )0 0s 0r a 0 0 g aa gg 1i u u r i 3i r dt L 3L = − − + + ∫ (39) Trong đó: dt d qθ =ω 17 17 i d ω(L s -L m )i qrs-rm u ds udr L s -L m i 0 r s + 2r m u 0s u0r L s -L m i q ωL aa i dra u qs uqr L aa i d ωL aa i qraa u ds udr L aa i 0 r s + 3r g u 0s u0r L s +3L gg 2. Phép biến đổi qd0 cho mạch điện dung song song: Tiếp theo ta tìm các phương trình qd0 đối với điện áp rơi trên các điện dung nối song song của một hệ đường dây 3 pha như hình vẽ sau: Trong đó Can, Cbn, Ccn là điện dung giữa các pha và đất và Cab, Cbc, Cac là điện dung giữa các pha. Cho Cab = Cbc = Cac, Can = Cbn = Ccn và Cs = Can + 2Cab. Phương trình dòng điện pha a theo hình trên là: dt )uu(dC dt )uu(dC dt duCi cnanacbnanabanana − + − += (40) ( ) dt duC dt duC dt duCCCi cnmnnmanacabana −++= (41) Thay u0 =(uan + ubn + ucn)/3 vào (41) ta có: ( ) dt duC3 dt duCCi 0manmsa −+= (42) Sử dụng phép biến đổi qd0 vào dòng điện và điện áp pha a ta có: ( ) ( ) 0q q d q 0 s m q q d q 0 md dui cos i sin i C C u cos u sin u 3Cdt dtθ + θ + = + θ + θ + − (43) Lập phương trình với các hệ số cosθq , sinθq và các hệ số hằng ta có phương trình đối với các dòng điện qd0: ( ) ( )qq s m s m ddui C C C C udt= + + + ω (44) ( ) ( )dd s m s m qdui C C C C udt= + − + ω (45) ( ) dt duC2Ci 0ms0 = (46) Trong đó dt d qθ =ω 18 18 i a ib i c C bn CcnCan C ac C bcCab i q i d i 0 C s + C m ω(C s + C m )u d ω(C s + C m )u q C s + C m Cs 2 Cm Mạch điện theo trục q Mạch điện theo trục d Mạch điện theo trục 0 Theo các thông số ban đầu ta có: Cs + Cm = Can + 3Cab (47) Cs -2Cm = Can (48) Từ tập hợp các phương trình đối với dòng điện qd0 ta có mạch tương đương như trên. Phương trình dưới dạng tích phân là: ( ) qq q s m d s m d1u i C C u dt C C dt θ  = − +  +  ∫ (49) ( ) qd d s m q s m d1u i C C u dt C C dt θ  = + +  +  ∫ (50) ∫ − = dti C2C 1u 0 ms 0 (51) Khi Cm = 0 và Can = Cbn = Ccn = Cs mạch tương đương sẽ có dạng như sau: §3. VEC TƠ KHÔNG GIAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI 1. Các vec tơ không gian: S.t.đ trong khe hở không khí tạo bởi dòng điện ia(t) trong dây quấn pha a là: dq sin a1 a a a a Wk4 WF i (t)cos i (t)cos p 2 = α = α pi (52) S.t.đ Fa1 phân bố hình sin trong khe hở không khí xung quanh trục của dây quấn pha a. Biên độ của nó theo trục dây quấn pha a là )t(i2 W a sin . Khi ia(t) biến thiên theo t, biên độ của Fa1 cũng biến thiên. Fa1 là một sóng đứng có nút tại αa = ±pi/2. Phương trình (52) có thể viết dưới dạng vec tơ: sin a1 a WF i 2 = r r (53) Trong đó ai r được định nghĩa là vec tơ không gian dòng điện, có biên độ là ia(t) biến thiên theo t. Vec tơ này phân bố hình sin trong không gian quanh trục của pha a hay theo hướng αa = 0. Như vậy có thể xem nó là vec tơ có biên độ tỉ lệ với ia(t) theo hướng αa = 0. Vec tơ không gian a1F r cũng được quan niệm tương tự. S.t.đ của dây quấn 3 pha, có các trục hướng theo αa = 0, αb = 0, αc = 0 là: s a1 b1 c1F F F F= + + r r r r (54) Sử dụng (52) và (53) ta có: ( ) ( )sin sins a b c a a b b c cW WF i i i i cos i cos i cos2 2= + + = α + α + α r r r r (55) 19 19 C an C an C an i q id i 0 ωC an u d ωCanuq Trong đó αb và αc là các góc có cùng vị trí như αa nhưng được đo từ trục pha b và pha c. Như vậy nghĩa là: 3 2 ab pi −α=α 3 4 ac pi −α=α Sử dụng đồng nhất thức Euler ta có thể viết lại sF r như sau: a a 2 4 2 4j j j jj jsin 3 3 3 3 s a b c a b c WF e i i e i e e i i e i e 4 pi pi pi pi − −α − α      = + + + + +          r (56) Do 3 2j ea pi = và 3 2j 3 4j2 eea pi − pi == , phương trình trên trở thành: ( ) ( ){ } ( ) a a a a j j2 2sin s a b c a b c j jsin 2 1 WF e i i a i a e i i a i a 4 W i e i e 4 α − α α − α = + + + + + = + r r r (57) Trong đó 1i r và 2i r là các vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận và thứ tự nghịch của dòng điện 3 pha. Ta sẽ khảo sát các thành phần của dòng điện 1i r và 2i r . Ta có: ( ) ( ) 1 a b c a b c a b c 1 3 1 3i i j i j i 2 2 2 2 3 3 1i j i i i i i 2 2 2     = + − + + − −       = + − − + + r (58) ( ) ( ) 2 a b c a b c a b c 1 3 1 3i i j i j i 2 2 2 2 3 3 1i j i i i i i 2 2 2     = + − − + − +       = − − − + + r (59) Từ (58) và (59) ta thấy các vec tơ 1i r và 2i r là hai vec tơ phức liên hiệp, nghĩa là 1 2i i ∗ = r r . Do 2i r là liên hiệp của 1i r nên aj1i e − α r và aj2i e α r trong (57) là một cặp liên hiệp và tổng của chúng là một số thực. Nói cách khác, sF r trong (57) là một đại lượng thực. Với hệ thống 3 pha đối xứng, nghĩa là: tcosIi ema ω=    pi −ω= 3 2tcosIi emb (60)    pi −ω= 3 4tcosIi emc vec tơ dòng điện thứ tự không là zero và phương trình (58) có dạng: [ ] e 1 m e m e e m e m e j t m e e m 3 3 2 4i I cos t j I cos t cos t 2 2 3 3 3 3 2I cos t j I 2sin t sin 2 2 3 3 3I cos t jsin t I e 2 2 ω pi pi     = ω + ω − − ω −         pi   = ω + − ω −     = ω + ω = r (61) 20 20 Biểu thức (61) nói rằng vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận có biên độ là 1.5 lần biên độ của dòng điện một pha. Nó có thể biểu diễn bằng một lá dòng điện phân bố hình sin trong không gian có biên độ bằng 1.5Im, quay theo hướng dương với tốc độ góc ωe. Dòng điện thứ tự nghịch là: ej t2 1 m 3i i I e 2 ∗ − ω = = r r (62) có cùng biên độ như dòng điện thứ tự thuận, quay theo chiều ngược với cùng một tốc độ. Thay các biểu thức (61) và (62) vào (57) ta có: ( ) ( ) ( )a e a ej t j tsin sins m m a eW 3 W 3F I e e I cos t4 2 4 2 α − ω − α − ω    = + = α − ω        r (63) Biểu thức (63) cho biết s.t.đ tổng sF r trong khe hở không khí có thể coi là vec tơ không gian quay. sF r phân bố hình sin trong không gian dọc theo khe hở không khí và quay với tốc độ ωe theo hướng dương của αa. Biên độ của nó bằng 1.5 lần biên độ của vec tơ không gian s.t.đ một pha. Để dễ quan sát phép biến đổi, ta đưa thêm một hệ số tỉ lệ sao cho biên độ của vec tơ không gian dòng điện bằng biên độ của dòng điện một pha. Khi đó ta định nghĩa: b c 1 a 0 2 i ii i i j i 3 3 − ≡ = + + r r (64) Trong đó i0 tương ứng với vec tơ không gian dòng điện thứ tự không và bằng một phần ba tổng dòng điện 3 pha: i0 =(ia + ib +ic)/3 và là một số thực. Từ các quan hệ trên ta có thể biểu diễn dòng điện pha a theo i r : a 0i i Re( i )− = r (65) Và: ( ) ( )2 2 3 4 c aa b c b a b c2 i i 1a i a i a i a i i j i i i3 33 −  = + + = + − + +   r (66) hay: 2b 0i i Re(a i )− = r (67) và: c 0i i Re(ai )− = r (68) Như mong muốn, vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận, được xác định bởi (64) là một lá dòng điện phân bố hình sin trong không gian có cùng giá trị biên độ như dòng điện pha và cũng quay theo chiều dương với tốc độ góc ωe. 2. Phép biến đổi giữa hệ abc và hệ qd0 đứng yên: Quan hệ giữa các vec tơ dòng điện không gian 1i r , 2i r và 0i r với ia, ib và ic có thể biểu diễn dưới dạng giống như phép biến đổi đối xứng cổ điển, nghĩa là: 2 1 a2 2 b c0 1 a ai i 1 a ai i 1 1 1 ii 3 3 3          =              r r r (69) Từ (62) và (64), 2i r = ∗ 1i r =1.5 ∗ i r , ma trận có thể viết lại dưới dạng: 21 21 2 a 2 b 0 c i1 a ai 2 1 a a ii 3 1 1 1 i i2 2 2 ∗             =              r r r (70) Từ phương trình trên ta thấy có thể bỏ hàng 2 mà không mất thông tin. Gọi s sq di i ji= − r và viết lại các phần thực và phần ảo thành 2 hàng riêng biệt ta có phương trình của phép biến đổi thực: s 2 aq s 2 bd 0 c ii 1 Re(a) Re(a ) 2 ii 0 Im(a) Im(a ) 3 i 0.5 0.5 0.5 i           = − −                  (71) s aq s bd 0 c 1 0.5 0.5 ii 2 3 3 i0i 3 2 2 i i0.5 0.5 0.5 − −               = −              (72) Viết gọn lại ta có: s s qd0 qd0 abci T i    =      (73) Trong đó sqd0i   và [ ]abci là các vec tơ cột của các thành phần dòng điện qd0 và dòng điện các pha. Ma trận sqd0T   là ma trận hệ số trong phương trình (72). Nó biến đổi các dòng điện pha abc thành các dòng điện qd0. Phép biến đổi trên là phép biến đổi từ hệ abc thành hệ qd0 đứng yên. Chỉ số trên s để nói lên hệ đứng yên. Ma trận nghịch đảo, biến đổi từ hệ qd0 đứng yên thành hệ abc, là: s 1 qd0 1 0 1 1 3 1T 2 2 1 3 1 2 2 −     − −  =         (74) và: [ ] 1s sabc qd0 qd0i T i−   =     Khi hệ thống dòng điện 3 pha đối xứng cho bởi: a m ei I cos( t )= ω + ϕ    ϕ+pi−ω= 3 2tcosIi emb (75)    ϕ+pi−ω= 3 4tcosIi emc thì phép biến đổi (72) tạo ra: s q m ei I cos( t )= ω + ϕ s d m e m ei I sin( t ) I cos t 2 pi  = − ω + ϕ = ω + ϕ +   (76) 0i0 = Như vậy, vec tơ không gian dòng điện đối với các dòng điện đối xứng là: 22 22 ( ) ( ){ } ( )e e e j ts s q d m e e m j t j tj m a i i ji I cos t jsin t I e I e e 2I e ω + ϕ ω ωϕ = − = ω + ϕ + ω + ϕ = = = r (77) Trong đó Ia là trị hiệu dụng của dòng điện pha a. Như vậy, với hệ thống dòng điện ba pha cân bằng, các dòng điện qd sqi và sdi là trực giao và chúng có cùng giá trị biên độ như dòng điện các pha abc. Từ các biểu thức trên ta có thể thấy là sdi vượt trước s qi góc pi/2 và dòng điện tổng i r quay theo chiều âm với tốc độ ωe từ vị trí ban đầu ϕ tới trục pha a tại t = 0. Phương trình (77) cũng chỉ ra quan hệ giữa vec tơ không gian và vec tơ thông thường. 3. Phép biến đổi giữa abc và hệ toạ độ quay qd0: Phương trình (77) cho thấy dòng điện tổng i r quay với tốc độ ωe. Do vậy ta có thể suy ra rằng một người quan sát chuyển động với tốc độ này sẽ thấy vec tơ không gian dòng điện i r là vec tơ không gian hằng, chứ không phải là các thành phần qd biến thiên theo thời gian như ở hệ toạ độ cố định qd như trong phương trình (76). Quan hệ hình học giữa hệ toạ độ qd cố định và qd quay như hình vẽ. ba pha và hệ qd cố định hệ qd cố dịnh và quay Ta phân tích vec tơ không gian dòng điện đối xứng abc cho trong các phương trình (75) và (76). Các thành phần của nó theo hệ mới là: s q q s d d i cos sin i i sin cos i θ − θ      =     θ θ      (78) Góc θ giữa các trục q là hàm của tốc độ quay ω(t) của hệ qd được xác định bởi: )0(dt)t()t( t 0 θ+ω=θ ∫ (79) Khi các thành phần qd kết hợp thành vec tơ không gian ta có: js s s s s s q d q d q d q di ji i cos i sin j(i sin i cos ) (i ji )e − θ − = θ − θ − θ + θ = − (80) Biến đổi ngược lại là: s q q s dd i cos sin i sin cos ii     θ θ =      − θ θ           (81) Tương ứng, phép biến đổi ngược có thể biểu diễn bằng: js s q d q di ji (i ji )e θ − = − (82) 23 23 qsqs ds ds d q as bs cs θ Hệ số θje có thể xem là toán tử quay. Vec tơ nào nhân với nó đều sẽ quay đi một góc θ. Như vậy, phương trình (80) chỉ ra rằng để chuyển các biến qd cố định thành các biến qd quay ta cần quay các thành phần của nó đi một góc -θ. Việc lựa chọn tốc độ quay và góc ban đầu θ0 = θ(0) phụ thuộc vào cách đơn giản hoá phương trình hay vào việc chọn lựa công thức thích hợp cho ứng dụ