Bài giảng Chảy rối và phương trình dòng chảy

Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Chương 1 CHẢY RỐI VÀ PHƯƠNG TRÌNH DÒNG CHẢY 1.1. Khái niệm về dòng chảy rối: 1.1.1. Thí nghiệm về chảy rối Nếu cho chất lỏng chảy qua một ống thủy tinh trong suốt tại đầu vào ta đặt một ngòi mực lỏng ta thấy: Hình vẽ 1-1. Thí nghiệm về dòng chảy rối. - Khi vận tốc dòng chảy trong ống còn bé, dòng mực chảy thành đường thẳng, hay nói cách khác chất lỏng không xáo trộn lẫn nhau giữa các lớp, ta gọi trạng thái này là chảy tầng (chất lỏng được phân thành các tầng riêng biệt). - Khi tăng vận tốc dòng chảy, dòng mực bắt đầu dao động, tiếp tục tăng vận tốc và tới một lúc nào đó dòng mực sẽ hòa tan vào chất lỏng, ta gọi trạng thái này là chảy rối (các phần tử nước chuyển động rối loạn không theo quy luật nào). 1.1.2. Phân định trạng thái chảy rối Dòng chảy trong sông thiên nhiên nói chung là dòng chảy rối, để phân định được trạng thái chảy một cách định lượng người ta dùng số Râynôn không thứ nguyên: υ vd=Re - đối với đường ống; υ vR=Re - đối với kênh hở và sông thiên nhiên. Trong đó: v - vận tốc trung bình mặt cắt; d - đường kính ống; υ - hệ số nhớt động học của chất lỏng; R - bán kính thuỷ lực. Với sông vì chiều rộng rất lớn so với chiều sâu nên có thể coi: tbTB R == ω 1-1 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Hình vẽ 1-2. Mặt cắt ngang lòng sông Với dòng chảy có áp: - Khi Re<2320 ta có trạng thái chảy tầng; - Khi Re>2320 ta có trạng thái chảy rối. Với dòng chảy không áp: - Khi Re<580 ta có trạng thái chảy tầng; - Khi Re>580 ta có trạng thái chảy rối. Để nghiên cứu chảy rối người ta dùng công cụ xác suất thống kê. 1.1.3. Sự hình thành dòng chảy rối: Sự hình thành dòng chảy rối là do ma sát của chất lỏng đối với thành ống hoặc đối với bề mặt của kênh dẫn. Hình vẽ 1-3. Nguyên nhân dòng chảy rối. Bề mặt tiếp xúc với chất lỏng luôn có một nhám nhất định, phần chất lỏng chảy sát biên tiếp xúc sẽ có vận tốc thay đổi tạo thành các xoáy. - Khi vận tốc trong ống còn bé các xoáy không đủ năng lượng để lan truyền vào trong lòng chất lỏng ta có trạng thái chảy tầng; - Khi vận tốc trong ống đủ lớn, do chất lỏng có tính nhớt (ma sát trong) nên các xoáy lan truyền vào trong lòng chất lỏng, giao thoa với nhau làm cho các phần tử nước chuyển động rối loạn, ta có trạng thái chảy rối. 1.2. Đặc tính chung của dòng chảy rối: 1.2.1. Mạch động lưu tốc: Trong chảy rối vận tốc tại một điểm đối với dòng chảy ổn định vẫn thay đổi theo thời gian: 1-2 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy T u t(s)0 U(m/s uu' 0 ∆t t U Hình vẽ 1-4. Vận tốc tức thời trong chảy rối. Nếu gọi u là vận tốc trung bình theo thời gian tại một điểm ta có: T udt u T ∫ = 0 (1- 1) Khi đó vận tốc tức thời được xác định theo công thức: 'uuu ±= (1- 2) u - vận tốc trung bình; 'u - vận tốc mạch động. Nếu có một dòng chảy không gian các ký hiệu vận tốc tương ứng với các trục như sau: trục x u; y→v; z w. → → Ta có: uuu ′+= ; vvv ′+= ; www ′+= . (1- 3) u- vận tốc theo phương x; v- vận tốc theo phương y; w- vận tốc theo phương z. Đối với dòng chảy phẳng, chảy theo một chiều theo phương x, ta có: 0=v ; 0=w . x y Hình vẽ 1-5. Hệ trục tọa độ của dòng chảy 3 chiều. Vận tốc của dòng chảy là: 'uuu += ; vv ′= ; ww ′= . Các vận tốc mạch động có tính chất: trung bình theo thời gian của các lưu tốc mạch động sẽ bằng 0 hay: 'u =0; 'v =0; 'w =0. 1.2.2. Cường độ mạch động: 1-3 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Để đánh giá độ lớn của vận tốc mạch động người ta lấy trung bình bình phương của vận tốc mạch động (sau khi bình phương mới lấy trung bình), gọi là cường độ mạch động. 2 ' 'uu =σ ; 2' 'vv =σ ; 2' 'ww =σ . (1- 4) Căn cứ vào tài liệu thu thập của kênh hở và đường ống người ta xây dựng đồ thị quan hệ của cường độ mạch động theo chiều sâu dòng chảy: 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.2 0.4 0.6 0.8 0.04 0.02 0.2 0 0.4 0.06 0.6 0.8 H σ u' u max H u max v' σ Kªnh hë ng è Hình vẽ 1-6. Đồ thị biến thiên của cường độ mạch động theo chiều sâu. y - Tọa dộ theo phương tẳng đứng; H - Chiều sâu dòng chảy. Ta thấy: - Cường độ mạch động theo hướng dòng chảy phụ thuộc vào số Re; - Cường độ mạch động theo hướng vuông góc dòng chảy không phụ thuộc vào Re. 1.3. Phương trình chuyển động và phương trình liên tục của dòng chảy rối: 1.3.1. Phương trình chuyểnđộng của dòng chảy rối: Đối với dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng ta có phương trình: )'.'()'.'( )'.'(1 zxyx xx x z x y x x x xx uu z uu y uu xz uu y uu x uu t uu x pf ∂ ∂+∂ ∂ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∆+∂ ∂− υρ )'.'()'.'( )'.'(1 zyyy xy y z y y y x y yy uu z uu y uu xz u u y u u x u u t u u y pf ∂ ∂+∂ ∂ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∆+∂ ∂− υρ (1- 5) 1-4 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy )'.'()'.'( )'.'(1 zzyz xz z z z y z x z zz uu z uu y uu xz uu y uu x uu t uu z pf ∂ ∂+∂ ∂ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∆+∂ ∂− υρ Trong đó: 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∆ 1.3.2. Phương trình liên tục. Phương trình liên tục của dòng chảy rối có dạng: 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z u y u x u zyx (1- 6) 1.3.3. Ứng suất tiếp trong chảy rối. Xét dòng chảy phẳng, đều, ổn định có phương dòng chảy trùng với trục x. khi đó ta có: Bỏ qua phương trình 2 và các đại lượng có liên quan đến trục y. Do dòng chảy đều nên các đại lượng không biến đổi theo x ⇒ ...0)''(' =∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ xx x uu xx u x p dòng chảy có phương trùng với trục x nên: .0=zu Vì dòng chảy ổn định nên .0=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ t u t u t u zyx Do các đại lượng chỉ phụ thuộc vào biến z nên không còn đạo hàm riêng, hệ phương trình Râynôn trở thành: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− =+ 01 )''(2 2 dz pdf uu dz d dz udf z zx x x ρ υ (1- 7) Với chất lỏng động học ta có: xxz gIfgf =−= ; Ix- độ dốc mặt nước theo phương x. Xét phương trình thứ nhất: )''(2 2 zx x x uudz d dz udgI =+υ (nhân cả hai vế với ρ) )''(2 2 zx x x uudz d dz udI ρµγ =+ Lấy tích phân theo z ta được: 1-5 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Cuu dz ud zI zx x x +=+ )'(ρµγ C- hằng số tích phân, được xác định dựa vào điều kiện biên. Khi z = H (Điều kiện trên mặt nước) ta có: 0)'.'(. == zxx uudz ud ρµ ⇒ HIC xγ= thay vào ta có: )''()( zx x x uudz udzHI ρµγ −=− Dễ dàng thấy vế trái là lực gây ra chuyển động. Do chuyển đồng đều nên nó sẽ cân bằng với lực ma sát hay ứng suất tiếp: τγ =− )( zHJ x suy ra: zx x uu dz ud ''.ρµτ −= . (1- 8) Đại lượng dz ud xµ như đã biết chính là ứng suất tiếp do chảy tầng dz ud x t µτ = do đó đại lượng zx uu ''ρ− do chảy rối ký hiệu là rτ . tτ - ứng suất tiếp trong chảy tầng; rτ - ứng suất tiếp trong chảy rối; rt τττ += - ứng suất tiếp toàn phần. Dựa vào công thức: )( zHI x −= γτ ta thấy τ biến thiên theo quy luật tuyến tính: Khi: 0=⇒= τHz HIz xγττ ==⇒= 00 H τ = γ.H. Jxo Hình 1-7. Sự biến thiên của ứng suất tiếp theo chiều sâu. Theo thực nghiệm biểu đồ phân bố tτ và rτ theo chiều sâu như sau: - Với phần lớn dòng chảy tính từ mặt nước xuống đáy rτ chiếm phần chính; - Phần sát dưới đáy tτ chiếm phần lớn. 1-6 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy τ r τ t Hình 1-8. Sự biến thiên ứng tiếp của chảy tầng và chảy rối. Chính vì vậy khi nghiên cứu τ ở phần cách đáy ta coi rττ = . Khi nghiên cứu phần sát đáy thì tττ = . 1.3.4. Hệ số, chiều dài hỗn hợp: Để thuận tiện cho tính toán người ta dùng các công thức tính rτ có dạng của tτ : dz udE xr =τ ; E - hệ số hỗn hợp động lực; (1- 9) dz udA xr ρτ = ; A- hệ số hỗn hợp động học; (1- 10) 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= dz ud L xr ρτ ; L- chiều dài hỗn hợp. (1- 11) Trong đó: - Ở gần đáy sông L được tính theo công thức sau: L=Kz; K - hằng số Kacman; - Đối với ống K=0,4; - Đối với kênh K=0,417; - Đối với sông tự nhiên K=0,54. 1.4. Dòng chảy trong sông. Xét dòng chảy trong sông do tác dụng của động học và độ dốc. Chọn hệ toạ độ xyz sao cho trục x song song với mặt đáy trung bình của lòng sông có độ dốc i0. Trục z hướng lên trên như hình vẽ: z o y h z z' u x o g g.i α o Hình 1-9. Sơ đồ dòng chảy trong sông. 1-7 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Lực khối tác dụng theo 3 trục như sau: 0=yf ; 0sin gigf x ==− α ; gigfZ −≈−−= 201 (1- 12) Do i0 là đại lượng có giá trị bé thường trong khoảng 10-3 á10-5 . Với dòng chảy trong sông do một số đặc điểm nên phương trình chuyển động của dòng chảy sẽ không đầy đủ. Cụ thể như sau: - Bề rộng sông lớn hơn nhiều lần chiều sâu nên gia tốc theo trục z bé hơn so với trục x và y: dt du z có thể bỏ qua. - Cũng do bề rộng lớn hơn nhiều lần chiều sâu nên sự biến đổi của ứng suất tiếp theo z mạnh hơn nhiều so với x và y. Điều này chỉ không tính đến khi dòng chảy bứt ra khỏi bờ tạo thành vũng nước xoáy trên mặt bằng. - Dòng chảy trong sông vận tốc không lớn nên áp lực phụ thêm do chảy rối nhỏ hơn so với áp lực thủy động: zz uuz p ''ρ>>∂ ∂ - Trong phần lớn dòng chảy ứng suất tiếp do dòng chảy rối trội hơn độ nhớt nên ta có thể bỏ qua zyx uuu ∆∆∆ υυυ ,, . Phương trình Râynôn rút gọn có dạng như sau: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂−−= ∂ ∂−∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z pg z uu y p z u u y u u x u u t u z uu x pgi z uu y uu x uu t u zyy z y y y x y zxx z x y x x x ρ ρ ρ 10 ''1 ''1 0 (1- 13) Phương trình liên tục: 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z u y u x u zyx (1- 14) Tích phân phương trình 3 trong hệ phương trình chuyển động. ta có: dzpd dz pd γγ −=⇒−= do p chỉ phụ thuộc z. Czp +−=⇒ γ C - xác định theo điều kiện biên, khi z = z’ ⇒ p(z’) = 0. Như vậy: C = γz’. Thay vào ta có: xIdx dz x pzzp γγγ ==∂ ∂⇒−= ')'( yIdy dz y p γγ ==∂ ∂⇒ ' 1-8 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Hệ phương trình chuyển động trở thành: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∂ ∂−−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂−−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z uu gI z u u y u u x u u t u z uugIgi z uu y uu x uu t u zy y y z y y y x y zx x x z x y x x x '' '' 0 (1- 15) Phương trình liên tục: 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z u y u x u zyx (1- 16) 1.5. Sự phân bố lưu tốc trong kênh hở: Từ khái niệm chảy rối có thể tìm ra các công thức phân bố lưu tốc. Sự phân bố lưu tốc và sức cản trong sồn thiên nhiên chiếm 1 vị trí quan trọng trong thuỷ động lực học. 1.5.1. Công thức phân bố lưu tốc bán thực nghiệm: 1.5.1.1. Sự phân bố lưu tốc trong vách nhẵn: Từ khái niệm ứng suất tiếp chảy rối ta có công thức tính ứng suất tiếp trong chảy rối: 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= dz udL dz ud ρµτ (1- 17) Đối với các điểm cách xa đáy sông, bỏ qua ứng suất tiếp trong chảy tầng thì: tτ 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= z uLρτ Gần đáy ứng suất tiếp bằng ứng suất tiếp tại đáy hay HIγττ == 0 thì ta có: 2 22 0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= z uzKρτ ⇒ Kzdz ud ρ τ 0= z dz K ud ρ τ 0= Tích phân hai vế ta có: Cz K u += ln1 0ρ τ Với C là hằng số tích phân. Nếu đặt: *0 ugHI HI === ρ γ ρ τ gọi là lưu tốc ma sát (hay lưu tốc động lực) thì: Czu K u += ln1 * Gọi maxu là vận tốc lớn nhất trên mặt nước (z=H) ta có: CHu K u += ln1 *max 1-9 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy ⇒ z H Ku uu ln1 * max =− (1- 18) Tuy nhiên trong nhiều trường hợp người ta lấy lưu tốc bình quân của thuỷ trực bqu thay vì lấy vận tốc lớn nhất: Lấy trung bình theo chiều sâu của cả hai vế ta có: ∫ ∫=−H H dzzHKHdzu uuH 0 0*max ln 111 Ku uu bq 1 * max =−⇒ (1- 19) bqu - Lưu tốc bình quân của thuỷ trực. Vị trí điểm có lưu tốc bằng lưu tốc trung bình của thuỷ trực bquu = : Ta có: Kz H Ku uu u uu bq 1ln1 * max * max −=−−− Hay: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=− 1ln1 * z H Ku uubq Khi bquu = thì: 1ln =z H hay e z H = H e Hz 37,0≈=⇒ (1- 20) Vậy điểm có vận tốc trung bình có toạ độ từ dưới lên là 0,37H. 1.5.1.2. Sự phân bố lưu tốc trong vách nhám: Bằng thực nghiệm Nicuratde đưa ra công thức sau: C d zB u u += ln * (1- 21) Trong đó: d - Đường kính hạt đại biểu cho độ gồ ghề; B=2,5; C=8,5. Thay vào ta có: 5,8ln5,2 * += d z u u (1- 22) Công thức của Gôntrarốp: ∆ +∆= H z u u 7,16lg 17,16lg max ; ∆ ∆= H H u ubq 7,16lg 15,6lg max ; ∆ +∆= H z u u bq 15,6lg 17,16lg (1- 23) Trong đó: 1-10 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy maxu - Lưu tốc trên bề mặt (là lưu tốc lớn nhất); bqu - Lưu tốc bình quân trên thuỷ trực; ∆ - Chiều cao gồ ghề lấy bằng 0,7d. 1.5.2. Các công thức phân bố lưu tốc kinh nghiệm: Các công thức thực nghiệm được xây dựng bằng cách xấp xỉ các số liệu thực đo theo các cách khác nhau thùy thuộc từng tác giả. 1.5.2.1. Công thức dạng đường Parabol - Công thức Bazin: 2 2 * )( H zHHImuu −−= (1- 24) Trong đó: m - Hệ số có giá trị 20 ÷ 24; H – Chiều sâu dòng chảy; I - Độ dốc mặt nước. 1.5.2.2. Công thức dạng log – Công thức Nicuratdê: ( ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++= ξln11* Kg Cuu ) (1- 25) Hoặc: ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++= ξln11 CK g uu bq Trong đó: gHIu =* - Lưu tốc ma sát đáy; C - Hệ số Sedi; H z=ξ - độ sâu tương đối. 1.5.2.3. Công thức dạng đường Ellipse - Karausep: Căn cứ vào tài liệu thực đo của rất nhiều sông ở Liên Xô, Karausep tìm ra công thức sau: 2 max 11 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= H zPuu (1- 26) Trong đó: 2 max 2 uC uM P bq= M phụ thuộc vào C: - Khi 10 ≤C ≤ 60 thì M=0,7C+6; 1-11 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy - Khi 60 ≤C ≤960 thì M=48. 1-12 Chương 1: Chảy rối và phương trình dòng chảy Chương 1 ...................................................................................................... 1-1 1.1. Khái niệm về dòng chảy rối: .............................................................................1-1 1.2. Đặc tính chung của dòng chảy rối:....................................................................1-2 1.3. Phương trình chuyển động và phương trình liên tục của dòng chảy rối: ..........1-4 1.4. Dòng chảy trong sông. ......................................................................................1-7 1.5. Sự phân bố lưu tốc trong kênh hở: ....................................................................1-9 1-13