Bài giảng Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian

1 Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN Tín hiệu là sự trình bày thông tin dưới dạng dữ liệu, âm thanh, hình ảnh, video.Có nhiều cách để phân loại tín hiệu nhưng cách ta chia tín hiệu thành dạng tương tự (liên tục theo thời gian) hoặc số (rời rạc thời gian) . Xử lý tín hiệu là sử dụng mạch và hệ thống (gồm cả phần mềm và phần cứng) để tác động lên đầu vào và nhận tín hiệu ngõ ra theo cách mà chúng ta mong muốn. Hệ thống số có rất nhiều điểm thuận lợi hơn so với hệ thống liên tục chẳng hạn không có nhiễu, dễ cất dữ và truyền đi. Để chuyển một tín hiệu liên tục sang dạng số, ta phải lấy mẫu tín hiệu, lượng tử và mã hóa giá trị sang dạng nhị phân. Tín hiệu lấy mẫu gọi là tín hiệu rời rạc thời gian. Tuy nhiên, để sử lý tín hiệu trong hệ thống số (chẳng hạn như máy tính), có thể thực hiện được tất cả ba bước trên. Thông thường hai bước cuối, lượng tử và mã hóa nhị phân được hiểu ngầm, vì vậy cụm từ rời rạc thời gian và số tương đương và hoán đổi cho nhau. Bên cạnh tín hiệu mà ta mong muốn, ở đây cũng có những thành phần không được hoan nghênh như nhiễu, can nhiễu ..những thành phần này chúng ta muốn loại bỏ hoặc tối thiểu hóa. Hệ thống có thể là mạch logic đơn giản, những chương trình đơn giản, hoặc những cấu trúc phức tạp bao gồm cả phần cứng và phần mềm như máy tính. Chúng ta sẽ thảo luận những loại hệ thống số khác nhau. Ở đây giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến đổi theo thời gian . Một hệ thống mẫu thường thấy là những bộ lọc. 1.1 TÍN HIỆU LIÊN TỤC THỜI GIAN CONTINUOUS – TIME SIGNALS Là một tín hiệu có sự biến đổi biên độ theo thời gian. Biên độ có thể là hiệu điện thế, dòng, công suất Tuy nhiên trong mạch và hệ thống, biên độ thường được trình bày dưới dạng hiệu điên thế. Tín hiệu liên tục theo thời gian (hay tín hiệu analog) có biên độ biến đổi khác nhau theo thời gian. Chúng thường được tạo ra bởi mạch điện tử, những nguồn tự nhiên như nhiệt, âm thanh, videovà được chuyển thành tín hiệu điện tử bằng những đầu dò và bộ chuyển đổi. Tín hiệu được minh họa bằng dạng sóng để dễ dàng quan sát. 1.1.1 Trình bày toán học của tín hiệu Thay vì mô tả tín hiệu bằng từ ngữ hoặc dạng sóng, cách cụ thể và chính xác hơn là diễn tả dưới dạng toán học. Sự trình bày toán học của tín hiệu trong miền thời gian và miền biến đổi thì cần thiết cho sự phân tích , thiêt kế mạch và hệ thống. Một ví dụ đơn giản ở hình 1.1 không thể giải quyết bằng ngôn ngữ miêu tả hoặc mạch. R C 0,1F Maïch Vaøo Ra 1V ññ - 1kHz Hình1.9: Baøi toaùn phaân tích ?560Ω Circuit Input Output ình.1.1:Ngõ ra tín hiệu là gì? 0.1F 1Vpp – 1kHz 2 Tín hiệu sin Tín hiệu Sin hoặc sóng sin là tín hiệu tương tự phổ biến nhất. (Hình 1.2). Nó nhẵn, dễ tạo, có nhiều thuộc tính và ứng dụng. Diễn tả toán học được cho bởi. x(t) = Acos(Ω t + o) (1.1) Ở đây A là giá trị đỉnh, Ω là tần số gốc (radians/s), t là thời gian (sec), Φo là pha ban đầu (radians) là phase khi t = 0, Ω = 2F với F là tần số (Hz), T = 1 / F = 2/Ω là chu kỳ (sec). Sự diễn tả bên trên chứa tất cả những đối số cần thiết: biên độ (đỉnh, rms, trung bình), và sự tuần hoàn (chu kỳ, tần số). Ngược lại, dạng sóng, ngoại trừ giá trị hằng số thì không có tính cô động. Ví dụ: Cho sóng vuông (hình 1.3) biểu thức toán học gồm một phần cho biên độ, một phần cho sự tuần hoàn. x(t) = –A , 0 2  t T (1.2) +A , 2 0 T t  x(t) = x(t  nT) , n = 1, 2, 3 Sóng Sin và vuông là xác định. Với những tín hiệu ngẫu nhiên, nhìn chung ta không thể trình bày dạng toán học của chúng. Nhiễu điện và can nhiễu là những ví dụ của tín hiệu ngẫu nhiên. 1.1.2 Một số tín hiệu đặc biệt Ở đây có hai tín hiệu thường được sử dụng trong phân tích mạch và xử lý tín hiệu. (a) Xung đơn vị Xung đơn vị (Hàm delta Dirac) là hình thức cải tiến từ một xung chữ nhật đối xứng với độ rộng xung  và biên độ /1 khi  → 0 (Hình.1.4). Biểu diễn toán học (t) =  , t = 0 x(t) 0 t T A –A Acos0 Hình.1.2: Tín hiệu sin x(t) A –A t 0 T T/2 2T –T/2 Hình.1.3: Sóng vuông đối xứng 3 0 , t  0     dtt)( = 1 (1.3) Theo định nghĩa này, (–t) = (t) (1.4) Xung có biên độ A thay vì 1ta viết A(t) (Hình.1.4c). Nếu xung đơn vị chậm đi to, ta có (t – to) (Hình.1.4d), thì: (t – tO) =  , t = tO (1.5) 0 , t  tO     2 1 )()( t t OO dtttdttt = 1, t1 < tO < t2 Một tín hiệu x(t) khi nhân với xung đợn vị trễ thời điểm to )( 0tt  có giá trị x(to) tại to: x(t)(t – to) = x(to) (1.6) (b) Bậc đơn vị: Hình 1.5 là bậc đơn vị. Tín hiệu tăng đột ngột từ 0 lên 1 tại thời điểm t=0, sau đó duy trì không đổi. Hoạt động giống với sự đóng mở của một công tắc điện tử. Diễn tả công thức toán học: u(t) = 0 , t < 0 1 , t  0 (1.7) [ Xung đơn vị (t) và bậc đơn vị u(t) liên hệ với nhau như sau:    t dtttu ')'()( = 0 , t < 0 1 , t  0 (1.8a) dt tdu t )( )(  (1.8b)  1 0 t 2   2  0 t (t) A(t) (t-t0) 0 t 0 t0 t (a) (b) (c) (d)  Hình.1.4: Xung đơn vị )(t 0 Au( 0t – t) 1 A A 0 0 0t Au(t) u(t) t t t (a) (b) (c) Hình.1.5: Bậc đơn vị 4 1.1.3 Tín hiệu phức Đại lượng vật lý tự nhiên, bao gồm tín hiệu là những giá trị thực. Tuy nhiên thỉnh thoảng tín hạng ảo j = 1 được thêm vào để tạo sự thuận tiện về mặt toán học, chẳng hạn như tính toán sự khác nhau về phase của hiệu điện thế và dòng trong mạch điện AC. Sau đây là một tín hiệu phức: x(t) = 5cos t – j5sin t Một tín hiệu phức bao gồm phần thực và phần ảo. x(t) = x R (t) + jx I (t) (1.9) Trong hệ tọa độ cực, một tín hiệu phức có thể diễn tả gồm thành phần biên độ và pha (Hình.1.6) x(t) = x R (t) + jx I (t) = )()( tjetx  (1.10) Ký hiệu độ lớn )(tx và phase )Φ(t hoặc argx(t) hoặc  x(t). Ta có: )t(x)t(x)( 2I 2 R tx (1.11a) )( )( tan)Φ( 1 tx tx t R I (1.11b) Chú ý độ lớn là giá trị tuyệt đối, trong khi biên độ là giá trị có dấu, nhưng ta cũng không cần chú ý tới sự khác nhau của hai thành phần này Ví dụ 1.1.1 Cho một tín hiệu phức . Tìm phần thực, phần ảo, độ lớn và phase. Giải: – Phần thực: x R (t) = 5cos t – Phần ảo: x I (t) = –5cos t – Độ lớn:   ttt(tx cosΩ25)cosΩ5()cosΩ5)( 2/122  – Phase: )1(tan cosΩ5 cosΩ5 tan)Φ( 11     t t t = –450 Không phụ thuộc t Theo sự diễn tả này ta có thể xem một tín hiệu phức như một vector và viết x(t) -(t) (t) Ảo Thực xI(t) x(t) x * I(t) 0 x * (t) xR(t) = x * R(t) Ảo Thực x R (t) (t) (t) )(tx x I (t) x(t) Hình.1.6: Tín hiệu phức và tọa độ cực 0 5 Hai đại lượng phức có cùng phần thực nhưng đối nhau phần ảo là liên hiệp phức của nhau (Hình 1.7). Vì vậy, với một tín hiệu phức x(t), thì liên hiệp phức của nó là công thức (1.12), x*(t) = xR(t) – jx(t) = )()( tjetx  (1.12) 1.1.4 Tín hiệu mũ phức Công thức (1.1) là một tín hiệu sin thực. Mũ phức, hay Sin phức thì phổ biến hơn. Biểu diễn chung: )( 0)(  tjAetx (1.13) []Phasor là trình bày vector của tín hiệu (Hình.1.8). Nó tuần hoàn với chu kỳ 2 radians. Từ một mũ phức, phần sin thực được dẫn xuất bởi hai cách. Đầu tiên lấy phần thực Rx (t) = Re[Acos( t + o) + jAsin( t + o)] = Acos( t + o) (1.14) Hình.1.7: Tín hiệu phức x(t) và liên hiệp phức x*(t) Ảo A x(t)  t   Thực 0 -0 - - t x*(t) 2xR(t) Ảo xI(t) A x(t) t   t  xR(t) Thực (t=0) 0 Hình.1.8: Trình bày Phasor dạng mũ 0 6 Đây là hình chiếu của phasor lên trục thực. Cách thức hai là sử dụng hai phasors, x(t) và liên hiệp phức của nó x*(t) (Hình. 1.9), sau đó lấy trung bình. Rx (t) =  )()( 2 1 * txtx  =     OOOO tjtj AeAe   2 1 (1.15) Chú ý khi hai phasors quay theo hai hướng đối nghich tại tần số gốc Ω và  , tổng kết quả bằng hai lần sin thực. 1.2 NHIỄU Những sự biến thiên ngẫu nhiên chồng lên tín hiệu biểu diễn thông tin ngoài ý muốn của ta được gọi chung là nhiễu. Trong thiết bị điên tử và mạch, nhiễu phát sinh do sự chuyển động của các electrons (tốc độ không đồng nhất, sự va chạm).những nhiễu này gọi là nhiễu nhiệt. Những thiết bị điện tử hoạt động dựa trên nhiễu nhiệt cũng phát sinh ra nhiễu. Một số hiện tượng như sẫm chớp, sự đóng mở của công tắc điện tử cũng gây ra xung nhiễu (vì nổ phát sinh biên độ cao). Mặt trời cũng phát sinh nhiễu nhiêt. Nhiễu có thể là nhiễu nội, ngoại hoặc can nhiễu. Một nhiễu đặc biệt, hay can nhiễu, mà chúng ta nên biết là sóng vô tuyến 50Hz/60Hz từ công suất dây điện. Nhiễu này đi vào trong cơ thể chúng ta và mạch điện bằng sóng điện từ trường. Công suất cung cấp cho mạch điện là từ nguồn can nhiễu 50Hz/60Hz. Dựa vào đặc điểm tần số, nhiễu được phân biệt thành nhiễu trắng và nhiễu hồng.Nhiễu trắng tạo sự thuận tiện đối với mô hình cũng như trong tần số vì nó có mật độ phổ công suất S(F) không thay đổi theo tần số F. Hình 1.10 chỉ S(F) có giá trị cố định No/2. Khi nhiễu trắng xuyên qua lọc, nhiễu ngõ ra sẽ không còn trắng vì đặc điểm tần số của lọc. 1.2.1 Hàm mật độ phổ và hàm phân bố tích lũy Ở trên là sự phụ thuộc của nhiễu vào tần số. Ở đây ta xét những khía cạnh quan trọng khác của nhiễu. Đầu tiên, nhiễu được mô hình hóa như một biến thiên ngẫu nhiên, chú thích là x. Xác suất sự xuất hiện nhiễu tại những biên độ khác nhau là hàm mật độ xác suất (PDF), hoặc xác suất, chú thích là p(x). Hàm phân bố xác suất, hoặc hàm phân bố tích lũy (CDF), chú thích P(x) định nghĩa như sau: dxp(x)P(x) x   (1.16) Hai đặc tính cơ bản của biến ngẫu nhiên là trung bình, chú thích m (hoặc  ) , là thành phần momen đầu tiên tại gốc, và phương sai, momen thứ hai, chú ý 2 , Hình.1.9: Cộng phasor x(t) vào liên hiệp thức * x (t) để hình thành phần thực )(2 txR N0/2 0 F(Hz) S(F) Hình.1.10: Mật độ phổ công suất của nhiễu trắng. 7     dxxp(x)E[x]m (1.17) p(x)dxm)(x]m)E[(xσ 222     (1.18) Với E là độ lệch chuẩn (hoặc giá trị mong muốn). Bình phương phương sai gọi là độ lệch chuẩn, chú thích  . Trong phân bố đồng nhất, giá trị của x nằm trong dải: bxa, ab 1 p(x)    (1.19) PDF và CDF chỉ trong hình 1.11. Trung bình và phương sai tương ứng, 2 ba m   (1.20) 12 )( 22 ab  (1.21) 1.2.1 Phân bố Gauss. Thực tế, rất nhiều biến đổi ngẫu nhiên có phân bố Gauss (hay phân bố chuẩn). PDF và CDF của nhiễu Gauss trắng tương ứng:   22/2xe 2 1 σ σπ xp (1.22)      x dxxpxF (1.23) 2 là phương sai ( là độ lệch chuẩn). Phân bố có hìnnh dạng của một quả chuông úp (hình 1.12). Xác suất đỉnh (tại x = 0) là p(x) P(x) ab  1 0 a m b x 2 1 0 a m b x 1 Hình.1.11: Phân bố đ ồ ng nhấ t có trung bình m Hình.1.12:Phân bố Gauss có trung bình không và phương sai 2 p(x) 2 1 2 11 e  0 - x P(x) 1.0 0,5 0 x Pp 8   2 1 2 1 22/0  epP (1.24) Tại khoảng cách x xác suất là    2 1 606,0 2 1 . 1 2 1 22 2/   e ep (1.25) Phương sai  càng nhỏ thì chuông càng hẹp, nghĩa là, phân bố được trung tâm hóa. Khi hiệu điện thế DC m bị gián đoạn bởi nhiễu, phân bố xác suất là phân bố gauss của nhiễu nhưng trung bình được dịch đến một trung bình mới (Hình.1.13). Trung bình m có thể âm hoặc dương. Phân bố xác xuất trở thành.     22 /2xe 2 1 xp σm σπ  (1.26) 1.3 LẤY MẪU TÍN HIỆU Tín hiệu tương tự, nói chung, liên tục theo thời gian. Trong xử lý tín hiệu số, chúng ta không sử dụng tín hiệu tương tự mà thay bằng biên độ của nó mà được lấy mẫu tại những khoảng thời gian lặp lại, những biên độ này được gọi là mẫu. Vấn đề ta phải lấy mẫu tín hiệu sao cho những mẫu này trình bày đúng tín hiệu nghĩa là từ những mẫu ta có thể tái tạo lại gần đúng tín hiệu tương tự ban đầu. 1.3.1 Mẫu của tín hiệu liên tục thời gian Lấy mẫu một tín thiệu liên tục thời gian là chuyển nó vào dạng rời rạc thời gian để có thể xử lý trong hệ thống số. Thực sự, sau khi lấy mẫu còn hai quá trình xử lý khác là lượng tử và mã hóa binary. Nhưng thực tế, bộ chuyển đổi tương tự sang số (ADC or A/D) đã thực hiện cả ba bước trên. Hình 1.14 diễn tả quá trình lấy mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu t=nT, với n là số nguyên, n = 0, 1, 2,.., -1, -2,. Đây là quá trình lấy mẫu đồng nhất mà ta sử dụng thường xuyên, thực tế hiếm khi 0 m- m m+ x p(x) Pp p Hình.1.13: Phân bố Gauss có trung bình dương 0 T T2 T3 T4 T5 T6 t Tín hiệu tương tự x(t) Mẫu x(nT) Hình.1.14: Mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu (chu kỳ) T 9 đề cập tới lấy mẫu không đồng nhất. Để thuận tiện chúng ta ký hiệu mẫu tín hiệu x(t) là )(nTx hoặc )(ˆ nx . Cách lấy mẫu tín hiệu? Nhìn hình 1.15. Đỉnh là tín hiệu x(t), giữa là tín hiệu lấy mẫu s(t), đây là những xung hẹp t có biên độ bằng 1. Nhân hai tín hiệu với nhau ta có được những giá trị tức thời của x(t) hay còn gọi là những mẫu x(nT). Vì vậy lấy mẫu thực tế là nhân tín hiệu tương tự x(t) với tín hiệu lấy mẫu (hay hàm lấy mẫu) s(t): )()()()( tstxnTxtx  (1.27) Hình 1.16a minh họa quá trình xử lý, hình 1.16b chỉ một công tắc điện (hình 1.15b) như là cách tiến hành lấy mẫu. Khi công tắc đóng trong thời gian ngắn, tín hiệu cho qua, mở không có tín hiệu xuất hiện. Khoảng thời gian T được gọi là khoảng lấy mẫu hoặc chu kỳ lấy mẫu, Tf s /1 là tần số lấy mẫu (Hz or samples/sec) hoặc tốc độ lấy mẫu. Mẫu được viết như x(nT) nhưng T thường được lấy bằng 1, vì vậy mẫu được ký hiệu chung là x(n). n là chỉ số hoặc mẫu. (b) Tín hiệu lấy mẫu nTx( ) 0 t x(t) s(t) 1 (a) Tín hiệu tương tự t 0 )(2 T T4 T6 T8 t (c) Mẫu (tín hiệu rời rạc thời gian) )(ˆ nx 0 2T 4T 6T 8T t Hình.1.15: Lấy mẫu bằng xung hẹp )(t x x(t) (a) Hình 1.16: Nguyên tắc lấy mẫu (a) Nhân (b) Công tắc s(t) x(t) (b) s(t) )()()(ˆ tstxtx  )(nTx 10 Nhìn hình 1.14 và 1.16 ta có thể hỏi tốc độ lấy mẫu nào là phù hợp nghĩa là tốc độ lấy mẫu nên quá xa, quá gần hoặc ở giữa. Đây là một câu hỏi lớn và được trả lời như sau. Ví dụ lấy mẫu một sóng sin x(t) có chu kỳ Tx và tần số Fx = 1/Tx tại tốc độ lấy mẫu sf (hình 1.17). Hình 1.17 thể hiện kết quả cùng một sóng sin nhưng khác tần số lấy mẫu sf . Trong trường hợp một fs = 8Fx,, mẫu gần và trình bày tốt tín hiệu (từ mẫu chúng ta có thể tái tạo lại tín hiệu). Trường hợp hai fs = 4Fx, những mẫu này vẫn trình bày tín hiệu (tưởng tượng chúng ta nối lại thành công những giá trị mẫu để lấy lại sóng tam giác khi xuyên qua một lọc tương tự thông thấp để làm trơn ngõ ra). Trường hợp cuối fs = 2Fx, tốc độ lấy mẫu bằng hai lần tần số tín hiệu. Đây là trường hợp tranh cãi: phu thuộc vào những điểm lấy mẫu sóng có thể hoặc không trình bày lại được tín hiệu. 1.3.2 Định lý lấy mẫu Chúng ta xét một tín hiệu liên tục thời gian x(t) trình bày thông tin chẳng hạn như âm thanh. Phổ tần số |)(ˆ| FX được giả sử như trong hình 1.18a, FM là tần số lớn nhất. (a) (b) (c) (d) X(F) -FM F FM 0  FXˆ  FXˆ  FXˆ 2fs 2fs 2fs fs+FM fs fs fs fs-FM -fs fs/2 fs/2 -fs/2 -fs/2 -fs/2 fs/2 -fs -fs -2fs -2fs -2fs F F -FM FM 0 0 0      Khoảng Nyquist Hình.1.17: Lấy mẫu sóng sin có tần số xx TF /1 tại những tốc độ lấy mẫu khác nhau sf (b) fs= 4Fx 0 (c) fs= 2Fx 0 T x T x (a) fs= 8Fx 0 T x F 11 Tín hiệu được lấy mẫu bằng một xung hẹp tuần tự biên độ 1 như trên, chuỗi Fourier (xem phần 3.1) của hàm lấy mẫu là       1 2cos2 m s xx tmf T t T t ts   (1.28) xT là chu kỳ cơ bản của tín hiệu )(tx . Vì vậy mẫu được cho bởi              1 2cos2ˆ m s xx tmftx T t tx T t tstxtx   (1.29) Điều này cho thấy phổ tần số )(FX  của tín hiệu được lấy mẫu bao gồm phổ tần số của tín hiệu tương tự (với một thừa số nhân t/Tx) và những họa tần 2fs, 3fs Phổ này cũng có thể lấy được bằng cách biến đổi Fourier (xem phần 3.2) thay vì chuỗi Fourier. Trong hình 1.18b giải phổ không trùng lắp vì vậy chúng ta có thể phục hồi tín hiệu tương tự bằng một lọc thông thấp lọc giải trung tâm, hoặc lọc thông dải lọc những dải băng khác. Tất cả những giải tấn số chứa cùng thông tin nhưng khác tần số. Hình 1.18d chúng ta không thể phục hồi tín hiệu tương tự. Vì vậy trường hợp hạn giới hạn là hình 1.18c. Từ sự quan sát này, định lý lấy mẫu được phát biểu như sau: Để những mẫu trình bày đúng tín hiệu tƣơng tự ban đầu, tần số lấy mẫu phải lớn hơn hai lần thành phần tần số lớn nhất của tín hiệu tƣơng tự: fs > 2FM (1.30) Tần số giới hạn 2FM được gọi là tốc độ Nyquist, và khoảng tần số trung tâm [-fs/2, fs/2] gọi là khoản Nyquist. Ví dụ nếu một sóng có tần số cơ bản 1 kHz và ọa tần thứ hai 2kHz, sau đó tốc độ lấy mẫu phải lớn hơn 2 x 2 kHz = 4 kHz, hay lớn hơn 5 kHz. Một ví dụ khác là âm thanh trong hệ thống điện thoại. Âm thanh bị hạn chế bởi một lọc thông cao tương tự FM = 3.4 kHz, sau đó tần số lấy mẫu phải lớn hơn 2 x 3.4 = 6.8 kHz, hay lớn hơn 8 kHz . Trường hợp trong hình1.18d, đây là hiện tượng aliasing sẽ được thảo luận kế tiếp. 1.3.3 Aliasing Ta muốn biết việc gì xảy ra khi tín hiệu được lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist., hay định lý lấy mẫu không thỏa mãn. Nhìn hình 1.19. Tín hiệu tần số thấp x1(t) được lấy mẫu 4 lần tại S1, S2, S3 và S4 trong một chu kỳ tín hiệu, vì vậy fs = 4Fx1. Từ những mẫu chúng ta có thể phục hồi lại x1(t). Cho tín hiệu tần số cao x2(t), ở đây cũng được lấy mẫu 4 lần S1, S2, S3 và S4 trong 9 chu kỳ của tín hiệu này. Vì vậy tần số lấy mẫu (4/9) 2xF , lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist. Từ những điểm mẫu của x2(t) ta sẽ phục hồi x1(t) mà không phải x2(t). Vì vậy tín hiệu tần số cao khi lấy mẫu dưới ngưỡng sẽ được phục hồi như tín hiệu tần số thấp. Hiện tượng này được gọi là aliasing, và tần số thấp được phục hồi lại được gọi là alias của tín hiệu tần số cao ban đầu. S1 S5 S2 S3 S4 x1(t) x2 (t) . . . . . t Hình.1.18: Phổ tần số hai bên (a) Tín hiệu tương tự, (b) lấy mẫu tín hiệu Ms Ff  , (c) Lấy mẫu tín hiệu Ms Ff 2 , (d) Lấy mẫu tín hiệu Ms Ff 2 12 Để tránh aliasing, ở đây có hai cách giải quyết: Một là nâng tần số lấy mẫu để thỏa định lý lấy mẫu, cách khác là lọc bỏ thành phần tần số cao không cần thiết từ tín hiệu liên tục thời gian. Chúng ta loại bỏ tần số tín hiệu bằng sự ảnh hưởng của một lọc thông thấp được gọi là tiền lọc chống aliasing, để giữ tần số cao nhất bằng hoặc ít hơn một nửa cường độ tốc độ lấy mẫu. Nếu lọc không hoàn hảo, chúng ta xem như thừa nhận. Ví dụ trong xử lý âm thanh, nếu lọc thông thấp cho phép những tần số trên 3,4 kHz đi qua dù biên độ nhỏ, tần số lấy mẫu phải 8kHz hoặc cao hơn. Hiện tượng aliasing có thể biểu diễn toán học. Xem một tín hiệu mũ phức có tần số F được lấy mẫu tại khoảng thời gian T, mẫu tín hiệu x(nT): Ftjetx  2)(  FnTj enTx 2 )(  Bây giờ xem một tín hiệu khác F  mfs , m = 0, 1, 2 , mà được lấy mẫu để có xm(nT): )(2 )( s mfFj m etx   nTmfFj m senTx )(2 )(  vì fsT = 1 and 1 22  mnjnTmfj ee s  do đó      nTxeeeenTx FnTjnTmFjfnTjmfFjm ss    2222 (1.31) Kết quả cho thấy hai tín hiệu xm(t) và x(t) tại tần số khác nhau có cùng tốc độ lấy mẫu. khi phục hồi tín hiệu từ những mẫu này, những tín hiệu thuộc khoảng Nyquist [-fs/2, fs/2] (Hình1.18b) sẽ được phục hồi, ngược lại những tín hiệu có tần số bên ngoài khoảng Nyquis có thể bị alise trong khoảng này. Tóm lại, với một tín hiệu tương tự có tần số F được lấy mẫu tại tốc độ fs , đầu tiên chúng ta phải cộng hoặc trừ tần số như sau: f0 = F  mfs , m= 0, 1, 2, . . . (1.32) và sau đó tìm tần số nằm trong khoảng Nyquist, đây là những tần số được phục hồi ví dụ 1.3.1 Một tín hiệu có tần số 50Hz được lấy mẫu 80Hz. Tần số phục hồi là bao nhiêu? Lặp lạ khi được lấy mẫu 120Hz. Giải Với F = 50 Hz, fs = 80 Hz, Tín hiệu được lấy mẫu dưới ngưỡng (không thỏa định lý lấy mẫu). Khoảng Nyquist [-40 Hz, 40 Hz]. Mẫu kh