Bài giảng chương 2: Biến ngẫu nhiên Các tham số dặc trưng của biến ngẫu nhiên

TRẦN AN HẢI
  TUẦN 3
HÀ NỘI - 2009 Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN …………. tiếp theo §3
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Trên thực tế, nhiều khi ta cần biết những thông tin cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng nhất của một bnn. Ví dụ: khi xét điểm thi đại học toàn quốc khối A, ta cần biết điểm tập trung vào con số nào và sự phân tán của điểm so với con số ấy. Những thông tin kiểu này được gọi là các tham s
đc trng ca bnn.  Mode • Mode của bnn X, ký hiệu là mod(X), là số x* được xác định như sau: ∗ Nếu X rời rạc, thì biến cố {X = x*} có xác suất lớn nhất, tức là P{X = x*} = { }ii xXP =max . ∗ Nếu X liên tục, thì x* là điểm cực đại của hàm mật độ. Ví dụ X 0 1 2 3 P 5/30 15/30 9/30 1/30 mod(X) = 1. Ví dụ Cho bnn X có hàm mật độ     ∉ ≤≤ = ];[ )( 300 30 81 4 3 xkhi xkhix xp . mod(X) = 3. Ví dụ Gọi X = thời điểm 1 đoàn tàu đến ga Hà Nội. Khi mod(X) càng sát với giờ quy định tàu đến ga thì tàu càng đúng giờ.  Median • Median của bnn X, ký hiệu là md, là số thỏa điều kiện: P{X md} ≤ 0,5. ∗ Nếu X rời rạc, thì điều kiện trên chính là 50,}{ ≤=∑ < i mx xXP di và 50,}{ ≤=∑ > i mx xXP di (xi thuộc tập giá trị của X). ∗ Nếu X liên tục, thì P{X< md} ≤ 0,5 ⇔ F(md) ≤ 0,5. P{X > md} ≤ 0,5 ⇔ 1 - P{X≤ md} ≤ 0,5 ⇔ 1 - F(md) ≤ 0,5 ⇔ F(md) ≥ 0,5 . Vì vậy P{X md} ≤ 0,5 ⇔ F(md) = 0,5. Ví dụ X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 md là số bất kỳ trong (3; 4].  md là giá trị chia đôi xác suất và có thể không duy nhất. Ví dụ Cho bnn X có hàm mật độ     ∉ ≤≤ = ];[ )( 300 30 81 4 3 xkhi xkhix xp . F(md) = 0,5 ⇔ ∫ ∞− = dm dxxp 50,)( ⇔ ∫ = dm dxx 0 3 5,0 81 4 ⇔ 5,0 81 4 = dm ⇔ md = 4/1 2 81       .  Kì vọng Ví dụ Xét bnn X có quy luật ppxs X -1 1 P 0,05 0,95 Ta muốn tìm một con số làm "trung tâm" cho các giá trị X có thể nhận. Nếu lấy số đó = 2 11+− = 0, thì số đó không phản ánh đúng thực tế là hầu như X nhận giá trị bằng 1. Sở dĩ như vậy là do trung bình cộng này chưa gắn quy luật ppxs của X. Ta đi tìm một con số khác tốt hơn. Giả sử trong n lần quan sát X thấy m1 lần X = -1, m2 lần X = 1. Gọi X là trung bình cộng của n giá trị của X đã quan sát được, thì n m n m n mmX 2121 )1()1()1()1( +−=⋅+⋅−= . n m1 = (tần suất X = -1), n m2 = (tần suất X = 1) Khi n→∞ n m1 → P{X = -1}, n m2→ P{X =1} nên }1{)1(}1{)1( =⋅+−=⋅−→ XPXPX = 0,9. Số 0,9 này gắn với quy luật ppxs của X và nó phản ánh đúng thực tế là X thiên về nhận giá trị bằng 1. Nói cách khác, 0,9 là trung tâm của các giá trị X có thể nhận. • Kì vng của bnn X, ký hiệu bởi E(X), là một con số được xác định như sau ∗ Nếu X là bnn rời rạc với P{X = xi} = pi thì E(X)= ∑ i iipx . ∗ Nếu X là bnn liên tục với hàm mật độ p(x) thì E(X)= ∫ ∞+ ∞− dxxxp )( . (E là viết tắt của expectation). Chú ý E(X) không phải bao giờ cũng tồn tại. Ý nghĩa của kì vọng trong kinh tế Trong kinh tế người ta tính lợi nhuận trung bình theo kiểu kì vọng, gọi là li nhun kì vng hay lãi kì vng. Đó là một tiêu chuẩn để làm căn cứ khi lựa chọn chiến lược kinh doanh. Ví dụ Viện thiết kế C lập dự án cho 2 công ty A và B.  Dự án này được A và B xét duyệt độc lập với xác suất chấp nhận tương ứng là 0,7 và 0,8.  Nếu A chấp nhận dự án thì trả C 4 triệu, còn ngược lại thì trả 1 triệu.  Nếu B chấp nhận dự án thì trả C 10 triệu, còn ngược lại thì trả 3 triệu.  Chi phí cho lập dự án là 10 triệu và thuế 10% doanh thu. C có nên nhận thiết kế hay không ? Giải X = số lãi (triệu đồng) của C sau khi trừ các chi phí. P{A và B không chấp nhận dự án} = P{X = (3 + 1)⋅0,9 - 10} = P{X = -6,4} = (1-0,7)(1-0,8) = 0,06 …………. X (triệu) -6,4 -3,7 -0,1 2,6 P 0,06 0,14 0,24 0,56 Số lãi kì vọng = EX = 0,53 > 0 ⇒ C có thể nhận thiết kế⋅ ☺ Tính chất • Nếu X = const thì E(X)= X • Với C = const thì E(CX) = CE(X) • E(X±Y) = E(X)± E(Y), nếu vế phải tồn tại. • E(XY) = E(X)⋅E(Y), nếu X và Y độc lập. • E[f(X)] = ∑ i ii pxf )( , nếu X là bnn rời rạc với P{X = xi} = pi. E[f(X)] = ∫ ∞+ ∞− dxxpxf )()( , nếu X là bnn liên tục với hàm mật độ là p(x). Ghi chú Các bnn X, Y được gọi là đ c lp nếu quy luật ppxs của bnn này không phụ thuộc gì vào bnn kia nhận giá trị bằng bao nhiêu.  Phương sai Vấn đề Đo mức độ phân tán của bnn X xung quanh trung tâm E(X). Giải quyết Độ lệch của X so với trung tâm = X – EX. Nếu lấy mức độ phân tán = trung bình tất cả các độ lệch = E[X – E(X)] thì được số 0. Không thể hiện được sự phân tán. Để khắc phục điều này, ta có thể dùng E|X – EX| hoặc E[X – E(X)]2 để đo mức độ phân tán. • Phơng sai của bnn X, ký hiệu bởi D(X), là D(X) = E[X – E(X)]2 ∗ Nếu X là bnn rời rạc với P{X = xi} = pi thì D(X)= ( ) i i i pXEx∑ − 2)( . ∗ Nếu X là bnn liên tục với hàm mật độ p(x) thì D(X) = ( )∫ ∞+ ∞− − dxxpXEx )()( 2 . Ý nghĩa của phương sai trong thực tiễn • Trong sản xuất phương sai biểu thị độ đồng đều của sản phẩm, biểu thị độ ổn định của năng suất. • Trong kinh tế phương sai biểu thị sự rủi ro của các quyết định. Ví dụ Một người cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và B trong 2 lĩnh vực độc lập nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm (tính bằng %) của 2 dự án này là các b.n.n X, Y tương ứng, có X 65 67 68 69 70 71 73 P 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 Y 66 68 69 70 71 P 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08 E(X) = 69,16 % D(X) = 3,0944 E(Y) = 68,72 % D(Y) = 1,8016 Nếu chọn phương án đầu tư sao cho tỉ lệ thu hồi vốn kỳ vọng cao hơn thì chọn A. Nếu chọn phương án đầu tư sao cho độ rủi ro của tỉ lệ thu hồi vốn thấp hơn thì chọn B. Chú ý • Phương sai của X còn được ký hiệu là V(X) (V viết tắt của variance) • Tính D(X) theo công thức sau đây thuận lợi hơn D(X) = E(X2) – [E(X)]2. • D(X) không phải bao giờ cũng tồn tại. Tính chất • Nếu X = const thì D(X) = 0 • Nếu C = const thì D(CX) = C2D(X) • Nếu X, Y độc lập và D(X), DY tồn tại thì D(X±Y) = D(X) + D(Y). Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của bnn. Vì vậy để đo độ phân tán của bnn theo đơn vị của nó người ta dùng độ lệch chuẩn. • Đ lch chu n của bnn X, ký hiệu bởi σX, là )(XD . §4
MỘT SỐ QUY LUẬT PPXS THÔNG DỤNG  Phân bố nhị thức Ví dụ Kiểm tra 100 sản phẩm của một nhà máy theo kiểu có hoàn lại. Ta thấy Có dãy 100 phép thử với kết quả của mỗi phép thử là A = “Chính phẩm”, A = “Phế phẩm” Chúng có xác suất không đổi qua mỗi lần kiểm tra. Kết quả của mỗi lần kiểm tra không ảnh hưởng đến các kết quả của những lần kiểm tra còn lại. Tổng quát hóa ta có định nghĩa Một dãy n phép thử được gọi là đ c lp nếu các kết quả của mỗi phép thử không ảnh hưởng đến kết quả của những phép thử còn lại. Một dãy n phép thử độc lập được gọi là một lc đ Bernoulli khi thỏa 2 điều kiện: ∗ Mỗi phép thử chỉ xét tới biến cố A và A. ∗ P(A) = p trong mỗi phép thử. Ta xét một lược đồ Bernoulli gồm n phép thử. Đặt X = số lần xuất hiện A trong n phép thử. X là một bnn có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n}. Ta tìm quy luật ppxs của X. Trường hợp n = 3 Ký hiệu Bi = “A xảy ra ở phép thử thứ i” P(Bi) = p, qpBP i =−= 1)( P{X = 0} = P( 321 BBB ) = P( 1B ) P( 2B )P( 3B ) = q3 = 3003 qpC P{X = 1} = P( 321 BBB ∪ 321 BBB ∪ 321 BBB ) = 3pq2 = 2113 qpC P{X = 2} = P( 321 BBB ∪ 321 BBB ∪ 321 BBB ) = 3p2q = 1223 qpC P{X = 3} = P( 321 BBB ) = p3 = 0333 qpC Trường hợp tổng quát Chứng minh tương tự trường hợp trên, ta có: Quy luật ppxs của X là P{X = i} = iniin qpC − (i = 0, 1, …, n). Ta nói X có phân b
nh thc với tham số n, p. Ta ký hiệu X ∼ B(n, p) (B viết tắt binomial). Đặc biệt, khi X ∼ B(1, p) ta nói X có phân bố không- m t với tham số p X 0 1 P q p Định lý Nếu X ∼ B(n, p), thì 1) E(X) = np 2) D(X) = npq 3) mod(X) = [(n+1)p] ( phần nguyên của (n+1)p) Ví dụ Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên Bush trong bầu cử tổng thống là 60%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho Bush trong 20 người đó. a) Tính số người bỏ phiếu có khả năng nhất và tính trung bình số người bỏ phiếu trong 20 người trên. b) Tính P{X ≤ 10}, P{X>12}, P{X = 11}. Giải X ∼ B(20; 0,6) a) số người bỏ phiếu có khả năng nhất = mod(X) = [21⋅0,6] = 12. b) P{X ≤ 10} = ∑ = − ⋅ 10 0 20 20 4,06,0 i iiiC = 0,245 (tra bảng). P{X > 12} = 1 - P{X≤12} = 1- ∑ = − ⋅ 12 0 20 20 4,06,0 i iiiC = 1- 0,584 = 0,416. P{X = 11} = 9111120 4,06,0 ⋅C Muốn tra bảng, ta dùng P{X = 11} = P{X ≤ 11} - P{X ≤ 10} = 0,404 – 0,245 = 0,159. ☺  Phân bố siêu bội Xét một tập gồm N đối tượng, trong đó có M đối tượng có tính chất T và N-M đối tượng không có tính chất T. Chọn ngẫu nhiên n (n ≤ M) đối tượng theo kiểu không hoàn lại. Ta có dãy n phép thử với kết quả của mỗi phép thử là A = “Đối tượng có tính chất T” và A Chúng có xác suất thay đổi qua mỗi phép thử. Trong dãy này kết quả của mỗi phép thử ảnh hưởng đến các kết quả của những phép thử khác nên dãy này không phải là lược đồ Bernoulli. Gọi X = số đối tượng được chọn có tính chất T. X có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n} với quy luật phân bố cho bởi P{X = i} = n N in MN i M C CC − − ⋅ . Ta nói X có phân b
siêu b i với các tham số (N, M, n). Định lý Nếu X có phân bố siêu bội với các tham số (N, M, n), thì E(X) = N M n ⋅ và D(X) = 1− − ⋅ − ⋅⋅ N nN N MN N M n . Ví dụ Trong 500 vé xổ số bán ra có 50 vé trúng thưởng. Một người mua 20 vé. Tính: 1) Xác suất để anh ta có đúng 3 vé trúng thưởng; 2) Trung bình của số vé trúng thưởng. Giải X = số vé trúng thưởng. X có phân bố siêu bội với tham số (500, 50, 20) P{X = 3} = 3 500 17 450 3 50 C CC ⋅ ≈ 0,194. EX = 2 500 5020 =⋅ . ☺ Chú ý Khi n là rất bé so với N thì ini i nn N in MN i M N M N MC C CC −− −       −      ≈ ⋅ 1 nên quy luật phân phối trong phương pháp lấy không hoàn và lấy có hoàn lại gần không khác nhau. Vì thế ta có thể tính toán như trong trường hợp có hoàn lại cho đơn giản. Ví dụ Một kho chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp A và B với tỉ lệ bằng nhau. Tỉ lệ chính phẩm của A, B lần lượt là 80% và 85%. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ kho có đúng một chính phẩm. Giải Kết quả của việc lấy 2 sản phẩm là H1 = “Cả 2 sản phẩm là của A” H2 = “Cả 2 sản phẩm là của B” H3 = “1 sản phẩm là của A, 1 sản phẩm là của B” K =“Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 chính phẩm” Hi (i =1, 2, 3) là nhóm đầy đủ P(H1) = 0,5⋅0,5= 0,25, P(H2) = 0,5⋅0,5= 0,25 P(H3) = 1 - P(H1) - P(H2) = 0,5. P(K/H1) = 12C 0,8⋅0,2 = 0,32 P(K/H2) = 12C 0,85⋅0,15 = 0,255 P(K/H3) = 0,8⋅0,15 + 0,2⋅0,85 = 0,29 Theo công thức xác suất đầy đủ P(A) = ∑ = 3 1i ii HKPHP )/()( = … ☺