Bài giảng Chương 2: hệ thống tuyến tính và bất biến

SIGNAL AND SYSTEMS Lecturer: M.Eng. P.T.A. Quang Chương 2: Hệ Thống Tuyến Tính và Bất Biến 1. Hệ thống LTI rời rạc: tổng chập 2. Hệ thống LTI liên tục: tích chập 3. Tính chất của hệ LTI 4. Hệ LTI nhân quả được biểu diễn theo pt vi phân và pt sai phân 5. Biểu diễn sơ đồ khối 6. Một số hàm đặc trưng Hệ thống LTI rời rạc: tổng chập  Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn theo tổng của các hàm xung đơn vị • Đáp ứng xung đơn vị và tổng chập t/c bất biến theo thời gian t/c tuyến tính     k knkxnx ][][][      k knhkxny ][][][ ][][][ nhnxny  h[n] x[n] y[n] Định nghĩa của đáp ứng xung Tổng chập Hệ thống LTI rời rạc: tổng chập  Ví dụ: tìm đầu ra của hệ thống có đáp ứng h[n] như sau ])[][(][ Nnunuenh n   ][][ nunx n 10  Hệ thống LTI liên tục: tích chập h(t) x(t) y(t) )()()( thtxty       dthxty )()()( Hệ thống LTI liên tục: tích chập  Ví dụ: cho hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t)=u(t) Tìm đầu ra của hệ thống khi đầu vào là x(t)=e-αtu(t), α>0 Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính giao hoán Hệ LTI liên tục Hệ LTI rời rạc Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất phân phối Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục ][][][][])[][(][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx  )()()()()]()([)( 2121 thtxthtxththtx  Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất kết hợp Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục ][])[][(])[][(][ 2121 nhnhnxnhnhnx  )()]()([)]()([)( 2121 ththtxththtx  Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất nhớ hoặc không nhớ Hệ LTI rời rạc không nhớ Hệ LTI liên tục không nhớ ][][ nKnh  ][][ tKth  Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất khả đảo Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục ][][][ 1 nnhnh  )()()( 1 tthth  h(t) h1(t) x(t) y(t) w(t)=x(t) x(t) x(t) )()()( 1 tthth  Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất nhân quả Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục 0,0][  nnh 0,0)(  tth     0 ][][][ k knxkhny  dtxhty )()()( 0    Hệ thống tuyến tính và bất biến  Tính chất của hệ LTI  Tính chất giao hoán  Tính chất phân phối  Tính chất kết hợp  Tính chất nhớ, không nhớ  Tính chất khả đảo  Tính chất nhân quả  Tính chất ổn định  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Tính chất của hệ LTI  Tính chất ổn định Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục     k kh |][|     dh |)(| Tính chất của hệ LTI  Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI theo hàm bước đơn vị Hệ LTI rời rạc Hệ LTI liên tục    n k khnhnuns ][][][][   t dhthtuts  )()()()( Mô tả hệ LTI nhân quả theo pt vi phân và sai phân  Biểu diễn hệ LTI liên tục theo pt vi phân:  Trong 1 số trường hợp mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào được biểu diễn bởi các pt vi phân PT vi phân trên thể hiện quan hệ giữa đầu vào và đầu ra hơn là thể hiện rõ ràng đầu ra của hệ thống là 1 hàm của đầu vào. 1 pt vi phân cho nghiệm là 1 họ các phương trình, phụ thuộc vào các giá trị ban đầu  mỗi giá trị đầu xác định 1 hệ thống cụ thể Mô tả hệ LTI nhân quả theo pt vi phân và sai phân  Tổng quát    M k k k k N k k k k dt txd b dt tyd a 00 )()(    M k k k k dt txd b a tyN 00 )(1 )(0 Phương trình vi phân mô tả hệ thống liên tục  Giải ptsp tuyến tính hsh Tìm nghiệm của ptvp thuần nhất yh(n) Tìm nghiệm riêng của ptvp yp(n) Nghiệm tổng quát của ptvp y(n)=yh(n)+yp(n) Giả sử αn là nghiệm của ptvp thuần nhất: Pt đặc trưng có dạng:    N k k k k dt tyd a 0 0 )( 0... 11 1 10    NN NN aaaa  Phương trình vi phân mô tả hệ thống liên tục  Nếu pt đặc trưng có các nghiệm đơn • Nếu pt đặc trưng có nghiệm bội r • Nghiệm riêng của ptsp thường có dạng giống với x(t) t N tt h NeAeAeAty    ...)( 21 21 t N ttr rh NeAeAetAtAAty     ...)...()( 21 2 1 )1(11110  Ví dụ: giải ptvp y’’(t)-4y’(t)+4y(t)=x(t), với n≥0, biết y(n)=0:n<0 và x(n)=e-3t Phương trình vi phân mô tả hệ thống liên tục Mô tả hệ LTI nhân quả theo pt vi phân và sai phân  Biểu diễn hệ LTI rời rạc theo hàm sai phân      N k M k kk knxbknya 0 0 ][][            M k N k kk knyaknxb a ny 0 10 ][][ 1 ][          M k k knx a b nyN 0 0 ][][0 Phương trình sai phân mô tả hệ thống rời rạc  Giải ptsp tuyến tính hsh Tìm nghiệm của ptsp thuần nhất yh(n) Tìm nghiệm riêng của ptsp yp(n) Nghiệm tổng quát của ptsp y(n)=yh(n)+yp(n) Giả sử αn là nghiệm của ptsp thuần nhất: Pt đặc trưng có dạng:    N k k knya 0 0)( 0... 11 1 10    NN NN aaaa  Phương trình sai phân mô tả hệ thống rời rạc  Nếu pt đặc trưng có các nghiệm đơn • Nếu pt đặc trưng có nghiệm bội • Nghiệm riêng của ptsp thường có dạng giống với x(n) n NN nn h AAAny   ...)( 2211 n NN nnr rh AAnAnAAny     ...)...()( 221 1 )1(11110 Phương trình sai phân mô tả hệ thống rời rạc  Ví dụ: giải ptsp y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n), với n≥0, biết y(n)=0:n<0 và x(n)=3n Sơ đồ khối của hệ thống bậc 1 được mô tả bằng pt vi phân và sai phân Bài tập 2.1 Cho hệ thống có đáp ứng xung ]1[2]1[2][  nnnh  Tín hiệu đầu vào là ]3[]1[2][][  nnnnx  Xác định và vẽ đầu ra của hệ thống 2.2 Cho hệ thống có đáp ứng xung h[n]=u[n+2] Tín hiệu đầu vào là ]2[ 2 1 ][ 2         nunx n Xác định và vẽ đầu ra của hệ thống Bài tập 2.3 Xét tính ổn định của các hệ thống có đáp ứng xung như sau )()( )21( tueth tj )()2cos()( tuteth t ][) 4 cos()( nunnnh   Bài tập 2.4 Xét một hệ thống LTI có đầu vào và đầu ra được cho bởi Hệ thống thỏa điều kiện đầu nghỉ x(t)=0, t<=0, y(t)=0, t<=0 a)Nếu đầu vào của hệ thống là x(t)=e(-1+3j)tu(t), xác định đầu ra b)Xác định đầu ra của hệ thống khi đầu vào là: x(t)=e-tcos(3t)u(t)