Bài giảng Chương 2: Phân tích trong miền thời gian

1 Chương 2: PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN Mô hình tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (DTSP), hoặc xử lý tín hiệu số (DSP), được mô tả như hình 2.1. Hệ thống áp tín hiệu vào và cho tín hiệu ra khác só với tín hiệu vào tại một số đặc điểm (biên độ, tần số, pha). Ngõ ra là đáp ứng của hệ thống. Một hệ thống có thể có nhiều hơn một đầu vào và một đầu ra. Hệ thống thường nói đến nhất là lọc số. Trong chương trước, một hệ thống được mô tả (hoặc trình bày) bởi phương trình tín hiệu vào ra. Trong chương này, chúng ta sẽ thấy hệ thống được mô tả ngắn gọn bằng đáp ứng xung của nó. Ngõ ra là kết quả nhân chập tín hiệu vào và đáp ứng xung. Đáp ứng chuyển tiếp cũng được nhắc đến một cách ngắn gọn. Phần kế tiếp sẽ nói đến lọc số và giải phương trình 2.1 ĐÁP ỨNG XUNG Ta tìm cách khác để mô tả ngắn gọn hệ thống rời rạc thời gian. Xét tín hiệu mẫu đơn vị (Hình.2.2)  (n) = 1 , n = 0 0 , n  0 Khi mẫu dịch chuyển đến thời điểm k trong tương lai (k > 0) tín hiệu là  (n-k) = 1 , n = k 0 , n  k Khi mẫu dịch chuyển về quá khứ tại thời điểm –k (k > 0), tín hiệu là  (n + k) = 1 , n = -k 0 , n  -k Bây giờ, xem sự diễn tả một tín hiệu theo xung mẫu đơn vị. Trong hình 2.3 giá trị của x(n) khi n = 1 và 3, ta có thể viết (1.6). x(n = 1) = x(1)  (n - 1) = 3 x 1 = 3 Hệ thống LTI (LSI) Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hình.2.1 : Mô hình tổng quát của hệ thống DTSP (hoặc DSP) x(n) y(n) (n)  1 n -2 0 2 (a) Xung tại n = 0 -1 3 1 n 0 2 1 -2 -1 -3 1 1 (n+k) (n-k) (b) Xung tại n = k và tại n = -k -k k   (2.1) Hình.2.2: Mẫu đơn vị 2 Giống như vậy khi n = 2 [ x(n = 2) = x(2)  (n – 2) = 2 x 1 = 2 Vì vậy, tín hiệu tổng quát x(n) có thể diễn tả như          k knkxnx (2.2) 2.1.1 Đáp ứng xung Đáp ứng xung của một tín hiệu định nghĩa như ngõ ra (đáp ứng), chú thích h(n), khi ngõ vào là mẫu đơn vị  (n). Đáp ứng xung có thể thực hoặc phức, nhưng thường là thực. Hình 2.4 là một ví dụ 2.1.2 Hệ thống FIR và IIR Khi kích một mẫu đơn vị  (n), đáp ứng xung h(n) của hệ thống có thể hiện hữu hữu hạn (hình 2.5a) hoặc vô hạn (hình 2.5b). Trường hợp đầu hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR), và trường hợp sau hệ thống có đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR). Hoặc, có thể phân loại hệ thống thành dạng đệ qui hoặc không đệ quy thay vì IIR hoặc FIR. Ta sẽ thảo luận sau. Nhân quả (Phần 1.6.2) của một hệ thống thể hiện trên đáp ứng xung của nó. Với hệ thống nhân quả h(n)= 0 khi n<0 (hoặc n  -1), ngược lại hệ thống là phi nhân quả. Cả hai hệ thống trong hình 2.5 là phi nhân quả. 2.1.3 Tính đáp ứng xung từ phƣơng trình tín hiệu vào Từ đinh nghĩa của đáp ứng xung ta có thể áp một mẫu đơn vị vào hệ thống và lấy tín hiệu ra, hoặc đáp ứng xung. Mặc khác, ta có thể tính nó từ phương trình tín hiệu như trình bày ở đây. Ở đây có nhiều cách khác nhau để tính đáp ứng xung. . . . . . . . . 1 2 1 3 4 3 3 2 1 0 n x(n) Hình.2.3 : Tín hiệu ví dụ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n 1  (n) 0 1 2 -1 -2 Hình.2.4 : Định nghĩa và ví dụ của đáp ứng xung Ra Vào Hệ thống S  x(n) = (n) y(n) = h(n) . . . . . . 0 1 2 -1 -2 n h(n) 3 Ví dụ 2.1.1 Tìm đáp ứng xung của hệ thống khi phương trình tín hiệu vào ra được cho bởi y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n) Giải Thay x(n) bằng )(n thì y(n) là h(n): h(n) = 0.8h(n – 1) + )(n Nhớ rằng )(n = 1 khi n = 0, và bằng 0 ở những giá trị khác, giả sử hệ thống nhân quả, có nghĩa h(n) = 0 với n < 0, ta có [ h(0) = 0.8h(-1) + )0( = 1 h(1) = 0.8h( 0) +  1 = 0.8 h(2) = 0.8h( 1) + )2( = 0.8 2 h(3) = 0.8h( 2) + )3( = 0.8 3 . . . h(n) = 0.8 )(nun Hệ thống là IIR và ổn định vì h(n) hội tụ (xem phần 2.4). Thường ta không lấy kết quả cuối cùng như trên (xem ví dụ 2.6.4). 2.1.4 Tìm phƣơng trình tín hiệu vào ra từ đáp ứng xung Khi biết đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tính phương trình tín hiệu vào ra, minh họa bằng ví dụ sau: Ví dụ 2.1.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuần hoàn với chu kỳ 3 mẫu. h(n) = [ 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 ... ] Tìm phương trình tín hiệu vào ra. Giải Sự trễ được cho bởi 3 mẫu. Hình.2.5: Ví dụ của hệ thống (a) FIR, (b) IIR ° ° ° ° ° ° ° 2 ° 3 3 4 h(n - 3) = [ 0, 0, 0; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 ] Tính sự khác nhau h(n) - h(n - 3) = [ 1, 2, 3; 0, 0, 0; 0, 0 ] = )2(3)1(2)(  nnn Thì )2(3)1(2)()3()(  nnnnhnh Phương trình tín hiệu vào ra là y(n) = y(n - 3) + x(n) + 2x(n - 1) + 3x(n - 2) 2.2 NHÂN CHẬP SỐ Trên là định nghĩa đáp ứng xung. Trong phần này ta sẽ thấy một cách ngắn gọn tầm quan trọng của đáp ứng xung và đây cũng là đặc điểm của hệ thống LTI (hoặc LSI). 2.2.1 Tổng nhân chập Với tín hiệu vào được diễn tả theo mẫu đơn vị trong công thức (2.2), ngõ ra của hệ thống S là y(n) = S[x(n)] = S          k knkx Với một hệ thống tuyến tính                     kk knSkxknkxSny (2.3) Kế đến, nếu hệ thống bất biến thời gian S[(n - k)] = h(n - k) (2.4) Thì ngõ ra là          k knhkxny (2.5) Đây là tổng nhân chập (hoặc tổng chập) trong DTSP (hoặc DSP), tương tự với tích chập trong hệ thống tương tự. Chú ý, dấu sao được sử dụng để chú thích cho nhân chập.              k knhkxnhnxny (2.6) Điều này có nghĩa nếu biết đáp ứng xung h(n) của một hệ thống, ta có thể tìm ngõ ra tín hiệu y(n) với bất kỳ tín hiệu vào x(n). Vì điều này, đáp ứng xung được xem là đặc tính thời gian (hoặc đặc điểm) của hệ thống. Tổng được lấy từ  đến  , nhưng trong thực tế thường là tổng hữu hạn, nên việc tính toán được thực hiện dễ dàng. 2.2.2 Cách tính tổng nhân chập Với hệ thống tương tư, nhân chập được tính bằng tích phân. Công việc này dễ hơn trong hệ thống số vì nhân chập được tính bằng cách lấy tổng. Nó là một ý kiến hay để bắt đầu tính bằng phương pháp giản đồ. Những bước gồm: 1. Đổi biến số n thành biến số k, viết x(k), h(k). Chọn x(k) cố định, h(k) dịch. 2. Lấy ảnh gương của h(k) tức tạo ảnh h(-k) đối xứng qua h(k) qua trục biên độ. Tạo ảnh gương còn gọi là gấp ảnh. Ở n=0, tính tổng nhân chập          k khkxy 0 . 3. Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trược n tức tạo h(n-k). Cho n=1, 2, 3, . Để h(n- k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi trị số của n tính tổng nhân chập. Tăng n lên cho đến khi thấy tổng chập tiếp tục bằng không (tức h(n-k) đã trượt qua khỏi x(k)). 5 4. Bây giờ đảo hướng dịch chuyển n= -1, -2, -3... để dịch h(n-k) về trái (về quá khứ), ở mỗi trị số của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục là không (tức h(n-k) đã trược qua khỏi x(k)). Quá trình tính tổng nhân chập có thể được tổng kết như sau: trộn-dịch-nhân-cộng Ví dụ 2.2.1 Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là: x(n) = [0, 1, 2, 3, 1, 0] h(n) = [0, 1, 2, 2, 0] Biểu tượng in đậm là mẫu tại gốc. Tìm ngõ ra tín hiệu y(n) = x(n)  h(n). Giải Xử lý qua những bước đã nêu bên trên k k x(k) h(k) 3 2 1 0 -1 -2 1 3 2 1 2 1 0 -1 -2 2 2 1 -3 3 4  k 9 k k x(k)h(1-k) h(1-k) 3 2 1 0 -1 -2 4 2 2 1 0 -1 -2 2 2 -3 3 1 3  k 11 k k x(k)h(2-k) h(2-k) 3 2 1 0 -1 -2 6 4 2 1 0 -1 -2 2 3 2 1 1 Tiếp tục, ta có  k 8, 2, 0. Kế đến, đảo ngược hướng dịch như bước 4. Tín hiệu ra cuối cùng là y(n) = [ ... 0, 1, 4, 9, 11, 8, 2, 0, ... ]  Phƣơng pháp chuỗi (Vector) Ở đây có những phương pháp khác tính nhân chập số. Phương pháp giản đồ là cơ bản và minh hoạ rõ. Một số tác giả thích phương pháp ma trận. Bên cạnh, phương pháp chuỗi (vector) ít tốn thời gian và là  k 4 k k x(k)h(-k) h(-k) 3 2 1 0 -1 -2 2 2 2 1 0 -1 -2 2 1 2 -3 3 Hình.2.6 : Ví dụ 2.2.1 (1) (2) n = 0 (3a) n = 1 (3b) n = 2 6 một lựa chọn tốt. Trong phương pháp này ta phải luôn viết những mẫu tại gốc cùng một cột. Với ví dụ trên, ta xử lý như sau: x(k) = [ ..., 0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0, 0, ... ] h(k) = [ ..., 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ] n = 0: h(-k) = [ ... , 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ... ] x(k) h(-k) = [ ..., 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ]  k  = 4 n = 1: h(1-k) = [ ... , 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, ... ] x(k) h(1-k) = [ ..., 0, 0, 0, 2, 4, 3, 0, 0, 0, ... ]  k  = 9 Trên là hai phương pháp tính có thể được lập trình bằng máy tính. Một quan sát quan trọng là khi ta nhân chập hai chuỗi rời rạc thời gian có chiều dài M và N, ta sẽ lấy được một chuỗi có chiều dài L = M + N – 1 (2.7) Ví dụ 2.2.2 Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là )()( nunx  )()( nuanh n , 1a Tìm tín hiệu ra Giải Để h(k) cố định và x(k) dịch. Điều này có thể giải thích trong phần 2.3.1 bên dưới. ta tính nhân chập như sau:     k knxkhnxnhny )()()()()( Ta đi qua những bước như đã nói để lấy được hình 2.7. Để tính ngõ ra y (n) tiếp theo ta dùng công thức chuỗi hình học hữu hạn sau: 1|x|, x1 1 x...xxx1 0n n32       (2.8) x = a, thì sự giới hạn là a1 1 .  2.3 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA NHÂN CHẬP SỐ Một vài đặc tính của nhân chập số cho phép cấu hình sự kết nối hệ thống khác nhau. 2.3.1 Tính hoán vị Đổi biến n - k = k’, hoặc k = n - k’ trong công thức nhân chập                ' '' kk khknxknhkxny Và thay biến số tạm k’ bằng k, ta có              nkxkhknxkhkhknxny kk       Có nghĩa, trật tự nhân chập bị đảo ngược. Vì vậy ta có hai công thức cho nhân chập: 7 k k x(k) 3 2 1 0 -1 -2 a 2 1 1 -1 -2 2   k 1 3 1 1 0 1 1 ... -3 h(k) a a 3 ... k k x(0-k) 3 2 1 0 -1 -2 1 1 -1 -2 2 3 1 1 0 1 1 ... -3 h(k)x(0-k) 0 0 0 0 0 0 0 0    k a 1 k k x(1-k) 3 2 1 0 -1 -2 1 1 -1 -2 2 3 0 1 ... h(k)x(1-k) 0 0 0 0 0 0 a Hình.2.7 : Ví dụ 2.2.2 n y(n) 1 -1 2 3 0 1 limit 4 -2 1+a 1+a+a 2 0 0 1 1  a 5     k 2 a a 1 k k x(2-k) 3 2 1 0 -1 -2 1 1 -1 2 3 0 1 h(k)x(2-k) 0 0 0 0 a a 2 (2.9a) (2.9b)     k knhkxnhnxny )()()(*)()( Và     k knxkhnxnhny )()()(*)()( Hình.2.8 : Hoán vị giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung với cùng ngõ ra. Hệ thố ng Vào Ra Bằ ng nhau x(n) h(n) y(n) = x(n)  h(n) y(n) = h(n)  x(n) h(n) x(n) 8 Trong sự tính toán nhân chập ta thường để chuỗi dài hơn cố định, và dịch chuyển chuỗi ngắn hơn. Đặc tính giao hoán của nhân chập có nghĩa ta có thể hóan đổi tín hiệu vào với đáp ứng xung của hệ thống mà không ảnh hưởng đến ngõ ra. Ý tưởng này được minh họa trong hình 2.8. 2.3.2 Tính kết hợp Có thể chứng minh [x(n)  h1(n)]  h2(n) = x(n)  [ h1(n)  h2(n)] (2.10) Hình 2.9 giải thích thuộc tính này. Nơi hai hệ thống trong chuỗi (mắc chồng) có thể được thay thế chỉ bằng một đáp ứng xung được nhân chập với hai đáp ứng xung. Ví dụ 2.3.1: Hai hệ thống mắc chồng có đáp ứng xung )()( )()( 2 1 nubnh nuanh n n   Tìm đáp ứng xung tương đương Giải Đầu tiên a và b nên nhỏ hơn 1 để đảm bảo chuỗi hội. Chú ý rằng cả đáp ứng xung là nhân quả. Đáp ứng xung tương đương là:     k knhkhnhnhnh )()()()()( 2121 Giới hạn thực tế của tổng là k = 0 và k = n (xem phần 2.3.4 sau), vì vậy     n k nkk nkukubanh 0 )()()(          n k k n b a b 0 Sử dụng chuỗi hình học       M 0k 1M kM2 x1 x1 xx...xx1 , 1x (2.11) Từ công thức này khi ta có công thức 2.8. Vì x = a/b nên ab ab b a b a bnh nn n n               11 1 1 1 )(  2.3.3 Tính phân phối Có thể chứng minh (n)hx(n)(n)hx(n)(n)]h(n)[hx(n) 2121  (2.12) h(n) = h1(n)  h2(n) x(n)  h1(n) [x(n)h1(n)]h2(n) x(n)[h1(n)h2(n)] h2(n) h1(n) x(n) x(n) Bằ ng nhau Hình.2.9 : Đáp ứng xung của hai hệ thống mắc chồng nhau 9 Ý nghĩa hệ thống được minh họa trong hình 2.10. Với hai hệ thống được kết nói song song có thể thay bằng một đáp ứng xung là tổng của hai. h 1 (n) h 2 (n) h(n) = h 1 (n)+h 2 (n) x(n) x(n) nhö nhau + 2.3.4 Đáp ứng xung của tín hiệu và hệ thống nhân quả. Vì đáp ứng xung là một đặc tính của hệ thống. Chẳng hạn, một hệ thống nhân quả sẽ phản ảnh bằng đáp ứng xung của nó. Từ sự nhân chập (2.9b) ngõ ra tại thời điểm 0n là:                1 0 0 00 kk knxkhknxkhny Để tín hiệu ra y(n0) không phụ thuộc vào những giá trị tương lai (n > n0) của tín hiệu vào x(n), thành phần thứ hai trong công thức trên phải bằng 0, điều này có nghĩa, h(k)=0 với k<0. Khi k giảm ta kết luận h(n) = 0 tại n < 0 Vì vậy, một hệ thống nhân quả ngụ ý rằng đáp ứng xung của nó là nhân quả và ngược lại. Ngõ ra tại thời điểm 0n là thành phần đầu của công thức.          0 00 k knxkhny Với bất kỳ thời điểm n          0k knxkhny (Tín hiệu nhân quả) (2.13a) Có nhân chập x(n) h(n) với kết quả         n k knhkxny (Tín hiệu nhân quả) (2.13b) Ở trên, chỉ hệ thống nhân quả thì được xét đến. Bây giờ, nếu tín hiệu vào cũng nhân quả thì kết quả:         n k knxkhny 0 (Cả hệ thống tín hiệu nhân quả) (2.14a) Và bằng         n k knhkxny 0 (Cả hệ thống tín hiệu nhân quả) (2.14b) Để ý lúc bấy giờ giới hạn của tổng nhân chập hai dạng giống nhau với giới hạn tăng theo thời gian n. Cũng cần nói rõ là khi tín hiệu ra y(n) ở n thì tổng nhân chập được tính đến n, còn trên n thì không ảnh hưởng gì. Ví dụ 2.3.2 : Như trong ví dụ 2.2.2, tín hiệu và đáp ứng xung tương ứng là x(n) = u(n) h(n) = a n u(n), a < 1 x(n)h1(n) x(n)h2(n) x(n)[h1(n)+x(n)h2(n)] x(n)[h1(n)]+h2(n)] Hình 2.10: Đáp ứng xung của hệ thống song song. Bằ ng nhau 10 Tìm ngõ ra bằng sự phân tích tính toán. Giải Chú ý rằng cả x(n) và h(n) là nhân quả và vô hạn. Điều kiện a < 1 để đảm bảo sự hội tụ của h(n). ta chọn để ước tính h(n)  x(n), sử dụng (2.14a)       k n k k knukuaknxkhnxnhny 0 )()()()()()()(    n k ka 0 Vì vậy kết quả là y(0) = 1 y(1) = 1 + a y(2) = 1 + a + a 2 ... y(n) = 1 + a + a 2 + ... + a n Tín hiểu ra y(n) không tiến tới  nhưng giả sử tiến tới giá trị hữu hạn của a1 1 (Xem ví dụ 2.2.2).  2.3.5 Hệ thống xác định và giải nhân chập Trong DSP thỉnh thoảng ta cần xác định một hệ thống, giả sử LTI (hoặc LSI), khi ta biết tín hiệu vào và tín hiệu ra. Hệ thống này được gọi là hệ thống xác định khi ta phải xác định đáp ứng xung của hệ thống, và sau đó là phương trình tín hiệu vào ra nếu cần thiết. Lọc thích nghi sử dụng lọc FIR thường được sử dụng để xác định những hệ thống DSP không biết. Trong lý thuyết điều khiển, xác định hệ thống là một vấn đề quen thuộc. Với hệ thống nhân quả, ngõ ra được dẫn ra từ sự nhân chập (2.14a) được lặp lại ở đây. 0 ( ) ( ) ( ) , 0 n k y n h k x n k n     Tại 0n  (0) (0) (0)y h x Lấy (0) (0) (0) y h x  Cho (0) 0x  . Tại 1n  , Ta có 1 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) n k y n h n x h k x n k      Lấy 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 (0) n k y n h k x n k h n n x        Ví dụ 2.3.3 Để xác định một hệ thống DSP chưa biết (phần cứng hoặc phần mềm) ta áp một tín hiệu x(n) và lấy ngõ ra y(n) như sau: 11 ( ) [ , 2, 1, 2,1, 2] ( ) [ ,1, 4, 3, 4, 3, 4, 4] x n y n       1 0 Xác định đáp ứng xung. Giải Chú ý rằng tín hiệu vào ra là nhân quả. Ta ước lượng đáp ứng xung như sau: (0) (0) 0 (0) y h x   (1) (0) (1) 1 0(2) (1) 1 (0) 1 y h x h x      (2) (0) (2) (1) (1) 4 0( 1) 1(2) (2) 2 (0) 1 y h x h x h x         (3) (0) (3) (1) (2) (2) (1) 3 0( 2) 1( 1) 2(2) (3) 0 (0) 1 y h x h x h x h x            Tiếp tục ta thấy rằng ( ) 0h n  với 3n  . Vì vậy đáp ứng xung là ( ) [ ,1, 2]h n  0 Hệ thống là nhân quả như mong đợi Một phương pháp khác là vấn đề biến đổi trong miền z (Chương 4) 2.4 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG Sự ổn định có lẽ là thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống thực tế. Khi một hệ thống không ổn định ngõ ra của nó thay đổi tự do và không có giới hạn, hoặc chương trình máy tính không đưa ra được kết quả. Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian ổn định khi với một tín hiệu vào có biên độ hữu hạn hệ thống cho tín hiệu ra có biên độ hữu hạn. Đây là tiêu chuẩn ổn định bounded input-bounded output (BIBO). Về mặt toán học: ( ) xx n M   ( ) yy n M  Bây giờ ta tính điều kiện của sự ổn định tác động trên đáp ứng xung. Bắt đầu từ tổng nhân chập              k knhnxnhnxny Lấy trị tuyệt đối giá trị hai bên:          k knhnxny               kk knhnxknhnx Để )n(y,)n(x là hữu hạn nếu      k kh Vì k là một biến giả ta thay nó bằng n và viết điều kiên như:   n h n ∞ =-∞ < ∞ (Điều kiện BIBO ổn định) (2.15) Nghĩa là, đáp ứng xung là hữu hạn. Hệ thống FIR là ổn định, ngược lại sự ổn định của hệ thống IIR đòi hỏi đáp ứng xung phân hủy đủ nhanh theo thời gian. Ví dụ 2.4.1 Một hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n) = a n , n  0 = b n , n < 0 12 Tìm điều kiện ổn định Giải Đáp ứng xung nói chung gồm phần nhân quả và không nhân quả. Điều kiện của sự ổn định là:           n n n nn banh 0 1 )( Đầu tiên     0 2 ...1 n n aaa Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.8) sẽ dẫn đến điều kiện 1a  . Bây giờ               ... 11 1 11 2 1 1 bbb b b n n n n b b 1 1 11   , 1 1  b Điều kiện là b 1 < 1 hoặc 1b  . Vì vậy điều kiện tổng quát 1a  và 1b  . Ví dụ 2.4.2 [Trích từ A. Antoniou, 2006] Kiểm tra tính ổn định của hệ thống nhân quả với đáp ứng xung được cho bởi: (a) (b) Giải (a) Điều kiện ổn định Từ chuỗi hình học (2.11) ta có tổng Yều cầu sự ổn định Vì vậy hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu |a| 1 giới hạn tiến tới vô cực và hệ thống không ổn định (b) Bây giờ tổng giá trị tuyệt đối của đáp ứng xung là Vì sin ta tách tổng này thành hai phần: Vì vậy hệ thống không ổn định.  2.5 ĐÁP ỨNG CHUYỂN TIẾP VÀ ĐÁP ỨNG BƢỚC Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được áp cho hệ thống rồi tắt đi. Phản ứng của hệ thống khi vừa áp tín hiệu hay vừa bị tắt đi được gọi là đáp ứng chuyển tiếp (quá độ, hay giao thời). Đáp ứng này thường khác với đáp ứng ổn định hay đáp ứng vững, là đáp ứng khi tín hiệu đã được áp hoặc tắt sau một thời gian dài. Đáp ứng chuyển tiếp là đặc biệt quan trọng của hệ thống, nó nói lên tính 13 chất và tốc độ phản ứng của hệ thống. Thường ta muốn hệ thống dạt đến sự ổn định càng nhanh càng tốt nhưng phải trơn tru. 2.5.1 Đáp ứng xung bậc Đáp ứng xung của hệ thống không cho ta biết trước tiếp đáp ứng chuyển tiếp của hệ thống. Khi ta áp tín hiệu bậc đơn vị x(n)=u(n) vào hệ thống thì tín hiệu ra y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc. Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi là tổng chạy của xung đơn vị        0k knnu (2.16) Đáp ứng bậc là tổng chạy của đáp ứng xung.        0k khns (2.17a) Ngược lại, đáp ứng xung có thể suy ra từ đáp ứng bậc như sau (2.17b) Ví dụ 2.5.1 Một hệ thống được miêu tả bởi phương trình vào ra y(n) = 0,8y(n - 1) + x(n) Tìm (a) Đáp ứng bậc (b) Đáp ứng bậc tương ứng với xung chữ nhật số gồm 5 mẫu biên độ 1 tại n=0 đến n=4 (hình 2.11a) Giải Đầu tiên ta tìm đáp ứng xung. Điều này đã được thực hiện trong ví dụ 2.1.1. Kết quả cho như trong hình 2.11b (a) Ta áp dụng công thức (2.17) với đáp ứng bậc s(0) = h(0) = 1 s(1) = h(0) + h(1) = 1 + 0.8 = 1.8 s(2) = s(1) + h(2)