Bài giảng chương 3: Điều khiển bền vững

Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến. Chú ý rằng, theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách liên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần số thấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần số cao (cho ổn định bền vững ).. Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống 3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏa mãn các yêu cầu thiết kế. n y u e r - + + + di d Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó là nhiễu đầu vào, d là nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo. Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này ta phân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là (= -K ở mô hình hồi tiếp dương) Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểu thức sau: y = u = = e = Định nghĩa các hàm nhạy, hàm bù nhạy và độ lợi vòng như sau: - Hàm nhạy : - Hàm bù nhạy : - Độ lợi vòng: Các đẳng thức trên được viết gọn lại: (3.156) (3.157) (3.158) (3.159) Từ (3.156) – (3.159), ta có thể rút ra các mục tiêu chất lượng của hệ thống vòng kín.Từ phương trình (3.156) ta thấy rằng: - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu ra d lên đầu ra y, hàm nhạy S cần phải nhỏ. - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo n lên đầu ra y, hàm bù nhạy T cần phải nhỏ. Tương tự, từ phương trình (3.158), để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu vào di, hàm nhạy S cần phải nhỏ. Nhưng từ định nghĩa ,hàm nhạy và hàm bù nhạy có quan hệ ràng buộc như sau: S + T = 1 (3.160) Do đó, S và T không thể đồng thời nhỏ. Để giải quyết mâu thuẫn này, người ta dựa vào đặc tính tần số của các tín hiệu nhiễu. Nhiễu tải d, di tập trung chủ yếu ở vùng tần số thấp, còn nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Như vậy, để hệ ít bị ảnh hưởng bởi d, thì và cần phải nhỏ trong vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Tương tự, điều kiện để hệ ít nhạy đối với nhiễu di là |S| và nhỏ trong vùng tần số mà di tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Ta có: Suy ra: , nếu ||>1 hay: ,nếu >1 Từ đó, ta thấy: >1 Hơn nữa, nếu >> 1, thì: Như vậy, đối với đầu ra y: - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, độ lợi vòng L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung; - Để giảm thiểu ảnh hưởng của di, biên độ bộ điều khiển phải đủ lớn trong vùng tần số mà di tập trung. Tương tự, đối với đầu vào (u) - Để giảm thiểu ảnh hưởng của di, L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà di tập trung. - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, biên độ đối tượng (không thay đổi được trong thiết kế điều khiển) phải đủ lớn (|G|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung. Tóm lại, một trong những mục tiêu thiết kế là độ lợi vòng (và cả độ lợi của bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và di tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp. Giả sử mô hình đối tượng có sai số nhân là (I + )G, với ổn định, và hệ thống kín ổn định danh định (ổn định khi =0). Hệ thống kín có sai số mô hình sẽ ổn định nếu: det)=det=det(1+)det(1+ không có nghiệm ở nửa phải mặt phẳng phức. Ta thấy rằng, điều này sẽ được thỏa nếu như đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà tập trung, cụ thể là vùng tần số cao. Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T| 1 và |S| 0. Do đó, từ (3.156) ta thấy nếu như lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ truyền qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là: y= (r - n) vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Hơn nữa, nếu độ lợi vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là >>1 trong khi <<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở cơ cấu chấp hành. Điều này có thể được lý giải từ (3.157) như sau: u= Phương trình trên cho thấy nhiễu tải và nhiễu đo sẽ được khuyếch đại lên khi mà vùng tần số mà nó tập trung vượt ra ngoài phạm vi băng thông của G, vì đối với dải tần số mà >1. Tương tự, biên độ của bộ điều khiển, ||, không được quá lớn trong vùng tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành. Vì lẽ khi độ lợi vòng nhỏ (<<1), thì u== Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là || không được lớn quá khi độ lợi vòng nhỏ. Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây: - Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số thấp (0,), hệ thống cần phải có: ,>>1 - Để đảm bảo tính bền vững và có khả năng triệt nhiễu đo tốt trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số cao (),hệ thống cần phải có : ,M trong đó M có trị số không quá lớn. log Những ý tưởng thiết kế này được minh họa trong hình 3.18. Những tần số được xác định tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể, và những thông tin về đặc tính của nhiễu tải, nhiễu đo, sai lệch mô hình. Hình 3.18: Độ lợi vòng và các ràng buộc tần số thấp và tần số cao. Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển: đó là nắn dạng vòng (loop shaping). Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình 3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững. 3.3.3 Thiết kế bền vững H¥ 3.3.3.1 Mô tả không gian H¥ và RH¥ Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H¥, là không gian các hàm phức G(s) của biến phức s (s ÎC) mà trong nửa hở mặt phẳng phức bên phải (miền có phần thực của biến s lớn hơn 0) thỏa mãn: - là hàm giải tích (phân tích được thành chuỗi lũy thừa), và - bị chặn, tức tồn tại giá trị M dương nào đó để có phần thực dương. Tập con đặc biệt của H¥ mà trong điều khiển bền vững rất được quan tâm là tập hợp gồm các hàm G(s) thực - hữu tỷ (real-rational) thuộc H¥, tức là các hàm hữu tỷ phức G(s)Î H¥ với các hệ số là những số thực dạng trong đó ai,bj Î R, ký hiệu là RH¥. Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷ G(s) bất kỳ sẽ thuộc RH¥ khi và chỉ khi - , hay bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và - G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải. Nói cách khác G(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậy gọi là hàm bền. Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳng phức bị chặn khi s mà còn thỏa mãn (khi m<n) Chuẩn H¥ của một hệ thống SISO G(s) Î RH¥ được định nghĩa như sau: (3.161) Như vậy, chuẩn vô cùng chính là khoảng cách lớn nhất từ tâm tọa độ mặt phẳng phức tới một điểm trên đường đặc tính tần biên – pha của G(jw). 3.3.3.2 Sai số mô hình phân tích coprime Phần này trình bày một số kết quả về phân tích coprime bên trái LCF (Left Coprime Factorization). Ta cũng có thể suy ra kết quả tương tự đối với phân tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu. Định nghĩa 1: Các ma trận hàm truyền đạt , Î RH¥ tạo thành một phân tích coprime bên trái của G nếu và chỉ nếu: a. vuông, và (3.162) b. (3.163) c.$ V, U Î RH¥ sao cho: (3.164) Định nghĩa 2: Nếu , là phân tích coprime bên trái của G đồng thời thỏa: (3.165) thì được gọi là phân tích coprime bên trái chuẩn. Một đối tượng G có thể có vô số phân tích coprime bên trái, nhưng chỉ có một phân tích coprime bên trái chuẩn Xác định phân tích coprime bên trái chuẩn Phân tích coprime bên trái chuẩn có thể được xác định từ mô hình trạng thái của G và nghiệm của phương trình Riccati. Giả sử A, B, C, D là mô hình trạng thái của G, ký hiệu là: (3.166) trong đó: . Để xác định phân tích coprime bên trái, trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau: (3.167) trong đó . Phương trình này có tên là Phương trình Riccati lọc tổng quát (GFARE – Generalized Filter Algebraic Riccati Equation). Sau đó áp dụng định lí 3.3 để tính , . Định lý 3.3: Cho . Phân tích coprime bên trái chuẩn của G được xác định như sau: ; (3.168) trong đó Z là nghiệm xác định dương duy nhất của GFARE, , và . Sai số mô hình phân tích coprime bên trái Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái. Giả sử G là mô hình đối tượng, (, ) là một phân tích coprime bên trái của G. Hệ có sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa như sau: (3.169) trong đó DN, DM Î RH¥ là các hàm truyền chưa biết thể hiện phần sai số trong mô hình danh định. Họ mô hình có sai số là một tập định nghĩa như sau: (3.170) DN + - + DM + + Hình 3.19: Biểu diễn sai số mô hình phân tích coprime bên trái Mục tiêu của điều khiển bền vững là tìm bộ điều khiển K ổn định hóa không chỉ mô hình danh định G, mà cả họ mô hình . Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai số cộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động của sai số mô hình 3.3.3.3 Bài toán ổn định bền vững H¥: Xét hệ hồi tiếp hình 3.20 K w u y d + + + + + + Hình 3.20: Sơ đồ phân tích ổn định bền vững với mô hình có sai số LCF Định lý 3.4: là mô hình danh định; là mô hình có sai số; (, ) là phân tích coprime bên trái của G; , , , Î RH¥. Hệ ổn định bền vững với mọi thỏa nếu và chỉ nếu: a.Hệ (G, K) ổn định nội, và b. (3.171) Định lý 3.4 có thể phát biểu một cách tương đương dưới dạng một bài toán tối ưu như sau: Định lý 3.5: Đối tượng , với , ổn định hóa bền vững được nếu và chỉ nếu: (3.172) trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định hóa G. Bài toán ổn định bền vững Cho trước giá trị g, tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G, và thỏa: (3.173) trong đó (, ) là phân tích coprime bên trái của G. Và theo định lý 3.4, nếu tìm được bộ điều khiển K, thì K sẽ ổn định hóa đối tượng có sai số GD, với . Nếu phát biểu dưới dạng một bài toán tối ưu H¥ (đối với hệ thống hình 3.20) thì ta có bài toán tối ưu H¥ như sau: Bài toán tối ưu H¥ Tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G và cực tiểu hóa chuẩn H¥ sau đây: (3.174) trong đó (, ) là phân tích coprime bên trái của G. Bài toán tối ưu H¥ phức tạp ở chỗ phải thực hiện cực tiểu hóa chuẩn (3.174) trong điều kiện tồn tại bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống. Để giải quyết vấn đề này, thông thường người ta giải bài toán ổn định bền vững với một giá trị g cho trước, rồi sau đó thực hiện quá trình lặp g để tìm giá trị gmin. Glover và McFarlane đã sử dụng bài toán mở rộng Nehari (Nehari extension problem), và dạng phân tích coprime chuẩn của mô hình đối tượng để tìm ra lời giải không gian trạng thái cho bài toán tối ưu H¥ mà không cần phải thực hiện quá trình lặp g để tìm gmin. Hơn nữa, từ cách tiếp cận này, tác giả có thể tính được độ dự trữ ổn định cực đại emax ( =) một cách chính xác. Phần sau đây chỉ trình bày một số kết quả chính mà Glover và McFarlane đã thực hiện. Định lý 3.6: Bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống và thỏa (3.175) nếu và chỉ nếu K có một phân tích coprime bên phải: với U, V Î RH¥ thỏa (3.176) Định lý 3.7: a. Lời giải tối ưu của bài toán ổn định bền vững đối với mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn cho kết quả: (3.177) trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển ổn định hóa hệ thống. b. Độ dự trữ ổn định cực đại là (3.178) c. Các bộ điều khiển tối ưu đều có dạng: , với U, V Î RH¥ thỏa (3.179) Các định lý trên cho ta những nhận xét sau: - Độ dự trữ ổn định cực đại có thể được tính trực tiếp từ công thức (3.178) - Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H¥ có thể được thực hiện thông qua bài toán mở rộng Nehari (Nehari extension). Bài toán tối ưu con Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của g, đó là gmin = 1/emax. Việc giải bài toán tối ưu H¥ với g > gmin cho kết quả là một tập các bộ điều khiển ổn định hóa K sao cho (3.180) Đây chính là bài toán tối ưu con (suboptimal problem). Lời giải dạng không gian trạng thái của bài toán này được xác định theo các bước như sau : Bước 1: Giải hai phương trình Riccati GCARE và GFARE. Phương trình GCARE (Generalized Control Algebraic Riccati Equation) có dạng: (3.181) trong đó:. Phương trình GFARE là phương trình trình bày ở trên. trong đó . Bước 2: Tính giá trị g nhỏ nhất có thể đạt được. trong đó là trị riêng lớn nhất, X và Z lần lượt là nghiệm của GCARE và GFARE. Bước 3: Chọn . Thông thường, chọn g lớn hơn gmin một chút; chẳng hạn, . Bước 4: Bộ điều khiển trung tâm có biểu diễn trạng thái được xác định như sau (3.182) trong đó X và Z là lần lượt là nghiệm của các phương trình GCARE và GFARE, , và . Công thức tính ở bước 2 được dẫn ra từ công thức (3.177) trong định lý 3.7. Nếu (, ) coprime bên trái chuẩn thì có thể được xác định từ nghiệm của hai phương trình Riccati GCARE và GFARE như sau: (3.183) Từ đó ta suy ra giá trị gmin: Đây chính là công thức tính ở bước 2. Ta thấy rằng đối với bài toán ổn định bền vững cho mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn, ta chỉ cần tìm nghiệm của các phương trình GFARE và GCARE là đủ để tính được giá trị mà không cần phải thực hiện thủ tục lặp g. Trong bước 3, ta chọn nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điều khiển có khả năng ổn định hóa hệ thống. Trong trường hợp bài toán tối ưu, , thì ma trận W1 trong (3.182) suy biến. Và do đó, (3.182) sẽ không áp dụng được. Tuy nhiên nếu ta chọn gần (ví dụ ) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối ưu sẽ khác nhau không đáng kể. 3.3.4 Nắn dạng vòng H¥ 3.3.4.1 Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng : (LSDP – Loop Shaping Design Procedure) Nắn dạng vòng (loop shaping) là một kỹ thuật thiết kế do McFarlane và Glover đề xuất năm 1988. Kỹ thuật thiết kế này kết hợp ý tưởng nắn dạng vòng (phần hàm nhạy và hàm bù nhạy) và bài toán ổn định bền vững . Nắn dạng vòng thực hiện sự thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và mục tiêu ổn định bền vững, trong khi bài toán tối ưu đảm bảo tính ổn định nội cho hệ vòng kín. Kỹ thuật thiết kế gồm hai phần chính: a. Nắn dạng vòng: chỉ định dạng hàm truyền hở của đối tượng danh định. b. Ổn định bền vững : giải bài toán ổn định bền vững dạng phân tích coprime cho đối tượng đã được nắn dạng ở trên. Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng (LSDP) Giả sử mô hình danh định của đối tượng G, bộ điều khiển cần tìm là K Bước 1: Chọn các hàm nắn dạng W1,W2. Tính Gs: Gs = W2GW1. (Lưu ý là chọn W1,W2 sao cho GS không chứa các chế độ ẩn (zero – cực không ổn định khử nhau)) Bước 2: Tìm nghiệm Xs,Zs của GCARE và GFARE ứng với GS. Tính , trong đó (.) là trị riêng lớn nhất Nếu quá lớn thì trở về bước 1. (Thông thường 1<<5 thì chấp nhận được) Bước 3: Chọn >, tổng hợp bộ điều khiển sao cho (Việc xác định đã được trình bày ở phần 3.3) Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức: K = W1W2 Thủ tục thiết kế được minh họa trong hình 3.21 Hình 3.21: Thủ tục thiết kế loop shaping Nhận xét: -Khác với phương pháp thiết kế nắn dạng vòng cổ điển (nắn dạng hàm S và T), ở đây ta không cần quan tâm đến tính ổn định vòng kín, cũng như thông tin về pha của đối tượng danh định, vì điều kiện ổn định nội đã được đảm bảo trong bài toán ổn định bền vững ở bước 3. - Thủ tục thiết kế sử dụng thích hợp cho các đối tượng ổn định, không ổn định, cực tiểu pha, không cực tiểu pha; đối tượng chỉ cần thỏa mãn yêu cầu tối thiểu cho mọi thiết kế là không có các chế độ ẩn. Cụ thể là nếu đối tượng không cực tiểu pha thì các hạn chế về chất lượng điều khiển vẫn thể hiện trong thủ tục thiết kế quả giá trị của . 3.3.4.2 Sơ đồ điều khiển: Trên đây ta chỉ quan tâm đến vòng điều khiển, không quan tâm đến vị trí tín hiệu đặt được đưa vào vòng điều khiển như thế nào. Thông thường, tín hiệu đặt đưa vào vòng điều khiển như hình 3.22 với hồi tiếp đơn vị. G K y r - + Hình 3.22: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị Nếu bộ điều khiển K đạt được từ thủ tục nắn dạng vòng , thì và các hàm nắn dạng W1, W2 có thể được tách ra riêng rẽ, và nhờ đó ta có thể có các sơ đồ điều khiển khác nhau. y W2 r - + W1 G Hình 3.23 là sơ đồ điều khiển với bộ điều khiển thiết kế theo thủ tục LSDP. Ta có thể thay đổi sơ đồ này một chút như hình 3.24, mà không làm thay đổi dạng vòng L. Hình 3.23: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị với bộ điều khiển đạt được từ LDSP r + y Hình 3.24: Sơ đồ điều khiển cải tiến với bộ điều khiển đạt được từ LDSP Khi tín hiệu đặt được đưa vào hệ thống tại vị trí giữa hai khối và W1, ta cần bổ sung một bộ tiền bổ chính để đảm bảo độ lợi tĩnh bằng 1 (hình 3.24). Hàm truyền vòng kín từ tín hiệu đặt r đến đầu ra y trở thành: y(s)= (3.184) trong đó: (3.185) Theo kinh nghiệm, điều khiển theo sơ đồ hình 3.24 sẽ cho đáp ứng quá độ tốt hơn; điều khiển theo sơ đồ hồi tiếp đơn vị như hình 3.23 thường cho đáp ứng quá độ, có độ vọt lố lớn. Nguyên nhân là trong sơ đồ 3.24 tín hiệu đặt không trực tiếp kích thích đặc tính động của . Theo thủ tục thiết kế LSDP, lại được xác định qua lại bài toán ổn định bền vững, trong đó ta không thể trực tiếp can thiệp vào vị trí điểm cực – zero được, mà mọi đặc tính mong muốn ta chỉ có thể đưa vào hệ thống thông qua các hàm nắn dạng W1 và W2. 3.3.4.3 Lựa chọn các hàm nắn dạng W1,W2: Việc lựa chọn các hàm nắn dạng trong thủ tục thiết kế LSDP nói chung là dựa vào kinh nghiệm của người thiết kế. Tuy nhiên, đối với từng đối tượng cụ thể, người ta thường đưa ra các hướng chọn hàm nắn dạng thích hợp. Thông thường, W2 được chọn có dạng ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo là các hằng số nhằm đặt trọng số lên các tín hiệu ra của đối tượng. W1 thường là tích của hai thành phần: WP và WA; trong đó, WA là bộ tách kênh (decoupler), WP có dạng đường chéo được chọn sao cho thỏa hiệp các mục tiêu chất lượng và ổn định bền vững của hệ thống, và thường có chứa khâu tích phân để đảm bảo sai số xác lập bằng 0. Đối với hệ SISO, việc lựa chọn các hàm nắn dạng đơn giản hơn: W2 thường được chọn bằng 1, và W1 được chọn sao cho thỏa hiệp được các mục tiêu chất lượng và ổn định bền vững của hệ thống. 3.4 Thiết kế tối ưu H2 3.4.1 Đặt vấn đề Xét hệ thống ổn định (3.186) Hệ thống có ma trận hàm truyền H(s) = C(sI-A)-1B. Giả sử rằng tín hiệu w là nhiễu trắng với hiệp phương sai .Ngõ ra y của hệ thống là một quá trình nhiễu tĩnh với ma trận mật độ phổ. (3.187) Do đó trị trung bình ngõ ra toàn phương : (3.188) Ở đây ta ký hiệu =HT(-) Ta có : (3.189) Gọi là chuẩn H2 của hệ thống .Nếu nhiễu trắng w có mật độ W = I thì trị trung bình của ngõ ra toàn phương tương đương với bình phương của chuẩn H2 của hệ thống 3.4.2 Tối ưu H2 Vấn đề tối ưu H2 được thể hiện dưới dạng ma trận chuyển đổi. Chúng ta giả sử rằng Q = I, và R = I, phiếm hàm chất lượng LQG là (3.190) Sự giả sử này không làm mất đi tính tổng quát bởi vì bằng cách biến đổi thang tỷ lệ các thông số z và u chỉ tiêu chất lượng luôn có thể chuyển thành hình thức này . Cho hệ thống vòng hở : (3.191) (3.192) (3.193) Có ma trận chuyển đổi (3.194) (3.195) Kết nối hệ thống như hình (3.25) với một bộ điều khiển Ce chúng ta có cân bằng của tín hiệu : G y v + + u w - z Hình 3.25 : Hệ thống hồi tiếp với ngõ vào và ngõ ra nhiễu loạn (3.196) Từ ta có : (3.197) Hay (3.198) Từ (3.198) theo ta có : (3.199) Vì vậy giải quyết vấn đề LQG là cực tiểu hoá chuẩn H2 của hệ thống vòng kín hình (3.25) với (w,v) như ngõ vào và (z,u) như ngõ ra. Cấu hình của hình (3.25) là trường hợp đặc biệt của cấu hình hình (3.26).Ở hình (3.26)v là ngõ vào mở rộng (w và v trong hình (3.25)).Tín hiệu z là tín hiệu sai số (lý tưởng bằng 0)(z và u trong hình (3.25)).Thêm vào đó u là ngõ vào điều khiển và y là ngõ ra quan sát .G là đối tượng tổng quát và Ce là bộ điều khiển . G z v y u Hình 3.26: Vấn đề chuẩn H2 3.4.3 Vấn đề chuẩn H2 và lời giải của nó Vấn đề tối ưu chuẩn H2 là lựa chọn bộ điều khiển K ở hình (3.26) để : a. Ổn định với hệ thống vòng kín và b. Cực tiểu hoá chuẩn H2 của hệ thống vòng kín (với v là vào, z là ngõ ra) Sơ đồ hình 3.26 được mô tả bởi hệ phương trình trang thái sau: (3.200) (