Bài giảng Chương 3: Không gian Rn

1Chương 3. Không gian Rn CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN Rn 1. Các khái niệm về không gian Rn 2. Độc lập tuyến tính- Phụ thuộc tuyến tính 3. Cơ sở của Rn 4. Tọa độ vector trong cơ sở 5. Ma trận chuyển cơ sở ---------------------------------------- 21.1. Định nghĩa • Với ℝ là tập các số thực, ta định nghĩa ( ){ }ℝ ℝ, | ,x x x x= ∈2 1 2 1 2 , ( ){ }ℝ ℝ, , | , ,x x x x x x= ∈3 1 2 3 1 2 3 , ( ){ }ℝ ℝ, ,..., | , ,...,n n nx x x x x x= ∈1 2 1 2 . Chương 3. Không gian Rn 1. Các khái niệm về không gian Rn 3• Trên tập ℝn , ta định nghĩa 2 phép toán:
Phép cộng: ( ) ( ) ( ),..., ,..., ,...,n n n nx x y y x y x y+ = + +1 1 1 1 .
Phép nhân vô hướng: ( ) ( ),..., ,...,n nx x x xλ λ λ=1 1 , ℝλ∈ . Chương 3. Không gian Rn 4• Trên tập ℝn , ta định nghĩa sự bằng nhau: ( ) ( ) , ,..., ,..., .......... . n n n n x y x x y y x y  == ⇔  = 1 1 1 1 Chương 3. Không gian Rn 51.2. Mệnh đề. Tập hợp ℝn cùng với các phép toán trên thỏa 8 tính chất sau:  x y y x+ = + .  ( ) ( )x y z x y z+ + = + + .  ℝ ℝ, :n nx x xθ θ∃ ∈ ∀ ∈ + = .  ℝ ℝ, :n nx x x x θ∀ ∈ ∃ ∈ + = .  ( )ℝ ℝ, , :nx y k k x y kx ky∀ ∈ ∀ ∈ + = + . Chương 3. Không gian Rn 6 ( )ℝ ℝ, , :nx k t k t x kx tx∀ ∈ ∀ ∈ + = + .  ( ) ( )ℝ ℝ, , :nx k t kt x k tx∀ ∈ ∀ ∈ = .  ℝ , . nx x x∀ ∈ =1 . Chương 3. Không gian Rn 7• Tập hợp ℝn cùng với các phép toán thỏa 8 tính chất như trên được gọi là một không gian vector. • Mỗi phần tử của ℝn được gọi là một vector. • θ được gọi là vector không, x được gọi là vector đối của vector x . Chương 3. Không gian Rn 8Chương 3. Không gian Rn 1.3. Định nghĩa (Không gian con) • Cho ℝ nW∅≠ ⊂ . Ta nói W là không gian con của ℝ n nếu: a) ( ),x y W x y W∀ ∈ ⇒ + ∈ ; b) ( )ℝ,x W x Wλ λ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ . 9VD 1. Chứng minh các tập sau là không gian con của ℝ 3: a) ( ){ }ℝ, , |W a a= ∈0 0 . b) ( ){ }, , |W x x x x x x= + + =1 2 3 1 2 3 0 . Chương 3. Không gian Rn 10 VD 2. Chứng minh tập hợp ( ){ }ℝ, , , |W a a= ∈1 1 1 không phải là không gian con của ℝ4 . Mệnh đề. Tập ℝnW ⊂ là không gian vector con của ℝ n nếu và chỉ nếu x y Wλ + ∈ , ,x y W∀ ∈ , ℝλ∀ ∈ . Chương 3. Không gian Rn 11 2. Độc lập tuyến tính- phụ thuộc tuyến tính • Trong ℝn , cho các vector , ,..., mu u u1 2 . Vector ... m mu u u uλ λ λ= + + +1 1 2 2 được gọi là một tổ hợp tuyến tính của , ,..., mu u u1 2 .  Bài toán: Trong ℝn , cho các vector , ,..., mu u u1 2 và vector u . Khi nào u là tổ hợp tuyến tính của , ,..., mu u u1 2 ? Chương 3. Không gian Rn 12 VD 3. Trong ℝ3 cho các vector: ( ), ,u= −2 3 3 , ( ), ,u = −1 1 2 3 , ( ), ,u = −2 0 1 3 . Hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của ,u u 1 2 không ? Chương 3. Không gian Rn 13 VD 4. Trong ℝ3 cho các vector: ( ), ,u m= 1 1 , ( ), ,u =1 1 1 0 , ( ), ,u =2 2 1 1 , ( ), ,u =3 3 2 1 . Tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của , ,u u u 1 2 3 ? Đáp số: m= 0. Chương 3. Không gian Rn 14 • Trong ℝn , cho tập { }, ,..., mS u u u= 1 2 . Ta nói S là tập độc lập tuyến tính nếu ... ...m m mu uλ λ θ λ λ λ+ + = ⇒ = = = =1 1 1 2 0. Ngược lại, ta nói S là tập phụ thuộc tuyến tính. Chương 3. Không gian Rn 15 VD 5. Trong ℝ3, hãy xét tính độc lập tuyến tính của hệ các vector sau: a) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,S u u u= = = =1 1 2 31 1 0 1 0 1 0 1 1 . b) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,S v v v= = − = − = −2 1 2 31 2 1 2 1 1 7 4 1 . Chương 3. Không gian Rn 16 Mệnh đề. Tập { }, ,..., mS u u u= 1 2 là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vector trong S là tổ hợp tuyến tính của ( )n−1 vector còn lại. Điều này có nghĩa là tồn tại một ju S∈ sao cho ... ...j j j j j m mu u u u uλ λ λ λ− − + += + + + + +1 1 1 1 1 1 . Chương 3. Không gian Rn 17 Hệ quả.  Hệ vector S có chứa vector không thì bao giờ cũng phụ thuộc tuyến tính.  Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính và F S⊂ thì F cũng phụ thuộc tuyến tính. Chương 3. Không gian Rn 18 • Trong ℝn , cho hệ vector { }, ,..., mS u u u= 1 2 , với ( ), ,..., , , ,...,i i i inu a a a i m= =1 2 1 2 . Ma trận ( )i j m nA a ×= được gọi là ma trận dòng của hệ các vector S . Chương 3. Không gian Rn 19 VD 6. Ma trận dòng của hệ vector ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,S u u u= = = =1 2 31 1 0 1 0 1 0 1 1 là A      =     1 1 0 1 0 1 0 1 1 . Chương 3. Không gian Rn 20 Mệnh đề. Cho hệ vector { }, ,..., mS u u u= 1 2 có ma trận dòng là A . Khi đó,  S độc lập tuyến tính ( )r A m⇔ = ;  S phụ thuộc tuyến tính ( )r A m⇔ < . Hệ quả. Cho hệ vector { } ℝ, ,..., nnS u u u= ⊂1 2 có ma trận dòng là A . Khi đó, S độc lập tuyến tính detA⇔ ≠ 0. Chương 3. Không gian Rn 21 VD 7. Trong ℝ3, hãy xét tính độc lập tuyến tính của các hệ vector: a) ( ) ( ){ }, , , , ,S u u= = = −1 1 21 2 3 3 7 4 . b) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,S v v v= = = =2 1 2 31 1 2 1 2 5 0 1 3 . Chương 3. Không gian Rn 22 VD 8. Tìm m để hệ vector dưới đây là một tập con độc lập tuyến tính của ℝ3: ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , , ,S u u m u m= = − = =1 2 31 1 1 2 3 1 3 . Chương 3. Không gian Rn 23 • Trong ℝn , cho hệ vector { }, ,..., mB u u u= 1 2 . Ta nói B là một cơ sở của ℝn nếu nó thỏa 2 điều kiện:
B là tập độc lập tuyến tính.
B là tập sinh của ℝn , nghĩa là mọi vector của ℝn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B , ℝ , ... . n m mu u u u uλ λ λ∀ ∈ = + + +1 1 2 2 3. Cơ sở của Rn Chương 3. Không gian Rn 24 VD 9. Chứng tỏ rằng hệ vector sau đây là một cơ sở của ℝ2 : ( ) ( ){ }, , ;B u u= = = −1 21 0 1 1 . Chương 3. Không gian Rn 25 VD 10. Trong ℝn , xét các vector ( ), ,...,e =1 1 0 0 , ( ), ,...,e =2 0 1 0 , ( ), ,...,ne = 0 0 1 . (nghĩa là vector ie có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại đều bằng 0) Khi đó, hệ { }, ,..., nE e e e= 1 2 là một cơ sở của ℝ n . Lưu ý. Cơ sở { }, ,..., nE e e e= 1 2 như trong ví dụ 10 còn được gọi là cơ sở chính tắc của ℝn . Chương 3. Không gian Rn 26 VD 11. Hệ vector dưới đây có là cơ sở của ℝ3 hay không ? ( ) ( ){ }, , , , ,B u u= = =1 21 0 0 0 1 0 . Chương 3. Không gian Rn 27 Mệnh đề. Cho hệ vector { } ℝ, ,..., nnB u u u= ⊂1 2 . Khi đó, B là một cơ sở của ℝn B⇔ là tập độc tuyến tính. VD 12. Chứng minh hệ vector ( ) ( ) ( ){ }= = = =1 2 31,1,1 , 1,1, 0 , 1,0,0B u u u là một cơ sở của ℝ3. Chương 3. Không gian Rn 28 VD 13. Tìm m để hệ vector sau là cơ sở của ℝ3: ( ) ( ) ( ){ }= − − − +1,2,2 , 2, 2, 5 , ,1, 1B m m m m . Chương 3. Không gian Rn 29 Mệnh đề. Cho { }, ,..., nB u u u= 1 2 là một cơ sở của ℝ n , và cho hệ vector { }, ,..., mB v v v′ = 1 2 . Khi đó  Nếu m n> thì B ′ không độc lập tuyến tính.  Nếu m n< thì B ′ không là tập sinh của ℝn . Chương 3. Không gian Rn 30 Hệ quả. Cho { }, ,..., nB u u u= 1 2 là một cơ sở của ℝ n . Khi đó, mọi cơ sở khác của ℝn cũng phải có đúng n vector. • Như vậy, số vector có trong một cơ sở bất kỳ của ℝ n luôn không đổi. Ta gọi đại lượng này là số chiều của ℝn và ký hiệu là ( )ℝdim n . Vậy ( )ℝdim n n= . Chương 3. Không gian Rn 31 4. Tọa độ vector theo cơ sở • Trong ℝn , cho cơ sở được sắp { }, ,..., nB u u u= 1 2 . Khi đó, với mọi vector ℝnu ∈ , tồn tại duy nhất ℝ, ,..., nλ λ λ ∈1 2 , sao cho ... n nu u u uλ λ λ= + + +1 21 2 . Chương 3. Không gian Rn 32 • Các số thực ℝ, ,..., nλ λ λ ∈1 2 thỏa đẳng thức trên được gọi là các tọa độ của vector u trong cơ sở B . Ta viết ... B n u λ λ λ         =          1 2 . Chương 3. Không gian Rn 33 Vậy từ định nghĩa, ta có ... ... n nB n u u u u u λ λ λ λ λ λ         = ⇔ = + + +         1 2 1 1 2 2 . Chương 3. Không gian Rn 34 VD 14. Tìm tọa độ của các vector trong các cơ sở tương ứng: a) ( );u= −3 5 , ( ) ( ){ }= = − =1 22; 1 , 1;1B u u . b) ( ); ;u= −1 2 1 , ( ) ( ) ( ){ }= 1;2;0 , 1;3;2 , 0;1;3B . c) ( ); ;u= 2 4 6 , ( ) ( ) ( ){ }= 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1B . Chương 3. Không gian Rn 35 Mệnh đề. Nếu ( ) ℝ, ,..., nnx x x x= ∈1 2 và E là cơ sở chính tắc của ℝn thì ... E n x x x x         =          1 2 . Chương 3. Không gian Rn 36 Mệnh đề. Cho ℝ, nu v∈ , ℝλ∈ , B là cơ sở của ℝn .  B B Bu v u v      ± = ±      .  B Bu uλ λ    =    . Chương 3. Không gian Rn 37 5. Ma trận chuyển cơ sở Mệnh đề. Trong ℝn , cho hai cơ sở được sắp { }, ,..., nB u u u= 1 2 , { }, ,..., nC v v v= 1 2 . Khi đó, với mọi vector ℝnu ∈ , ta có .B Cu P u   =    , với ( )... nB B BP v v v     =      1 2 . Chương 3. Không gian Rn 38 • Ma trận ( )... nB B BP v v v     =      1 2 được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang C . Ký hiệu: B CP → . • Vậy ta có ( )...B C nB B BP v v v→      =      1 2 . Chương 3. Không gian Rn 39 VD 14. Trong ℝ2 , cho hai cơ sở ( ) ( ){ }= = = −1 21;0 , 0; 1 ,B u u ( ) ( ){ }= = − =1 22; 1 , 1;1 .C v v Tìm ma trận B CP → và C BP → . Chương 3. Không gian Rn 40 Mệnh đề. Cho , ,B C D là ba cơ sở của ℝn . Khi đó  B B nP I→ = .  ( )B C C BP P − → →= 1 .  .B C B D D CP P P→ → →= . Mệnh đề. Cho ,B C là các cơ sở của ℝn . Khi đó ℝ. , n B CB Cu P u u→   = ∀ ∈    . Chương 3. Không gian Rn 41 VD 15. Trong ℝ3, cho cơ sở ( ) ( ) ( ){ }= = = =1 2 31,1, 0 , 1, 0,1 , 0,1,1B u u u . a) Tìm B EP → . b) Tìm B CP → , với cơ sở ( ) ( ) ( ){ }= = = =1 2 31,0,0 , 1,1, 0 , 1,1,1C v v v . Chương 3. Không gian Rn ------------------- Hết chương ------------------