Bài giảng Chương 4: Biến đổi z

1 Chương 4 BIẾN ĐỔI Z Chương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP (hoặc DTSP), giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự (hoặc liên tục thời gian). Phân tích Fourier được phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng cũng hữu ích cho tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian. Ta sẽ thấy biến đổi z và biến đổi Fourier liên hệ với nhau. Ta chọn để trình bày biến đổi z sau phân tích Fourieer như nhiều tác giả khác đã làm, nhưng theo trật tự ngược lại cũng thường thấy. Chủ đề chính là: định nghĩa biến đổi z, hữu ích đôi biến đổi, thuộc tính biến đổi, vẽ cực và không, vùng hội tụ, sự ổn định của hệ thống, biến đổi ngược, biến đổi z một bên, lọc bậc hai, đáp ứng chuyển tiếp và hệ thống với điều kiện đầu 4.1 BIẾN ĐỔI Z Phần mở đầu bao gồm nhiều khía cạnh khác nhau của biến đổi z. Giống như những biến đổi khác, biến đổi z áp dụng cho cả tín hiệu và hệ thống rời rạc. Ta biết rằng một hệ thống được đặc trưng bởi phương trình tín hiệu vào ra, hoặc đáp ứng xung của nó, hoặc đáp ứng tần số. Tóm lại ta sẽ thấy đặc tính thứ tư của hệ thống. 4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X(z) của một tín hiệu rời rạc thời gian x(n) được định nghĩa như X(z) = ( ) ∞ -n n=0 x n z (4.1) z là một biến phức của miền biến đổi và có thể xem như tần số phức (xem hình 4.5). Nhớ rằng chỉ số n có thể là thời gian, không gian hoặc một số thứ khác, nhưng thường là thời gian. Như định nghĩa trên, X(z) là chuỗi mũ nguyên của 1z tương ứng với những hệ số x(n). Khai triển X(z) để thấy điều này: X(z) = 0 ( ) n n x n z     = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . . . (4.2) Trong công thức (4.1) tổng được lấy từ n = 0 đến  , X(z) không liên hệ với thời gian quá khứ x(n). Đây là biến đổi z một bên. Biến đổi z một bên có thể có thể với điều kiện đầu của x(n) (phần 4.7). Nhìn chung, tín hiệu tồn tại tại mọi thời gian, và biến đổi z hai bên được định nghĩa như: X(z) =   ∞ -n n= -∞ zx n = x(-2)z 2 + x(-1)z + x(0) + x(1)z 1 + x(2)z 2 + (4.3) Vì X(z) là một chuỗi mũ vô hạn của 1z , biến đổi chỉ tồn tại những giá trị nơi chuỗi hội tụ (tiến tới không khi n   hoặc - ). Vì vậy biến đổi z liên hệ mật thiết với vùng hội tụ (ROC) nơi nó là hữu hạn (phần 4.4). Để phân biệt, ta chú thích )(zX  cho biến đổi z một bên. Ví dụ 4.1.1 Tìm biểu diễn toán học của tín hiệu trong hình 4.1, sau đó tìm biến đổi z. Giải (a) Chú ý tín hiệu là nhân quả và giảm đều , nó có giá trị n8.0 với n  0. Vì vậy ta viết x(n) = 0.8 n u(n) và sử dụng biến đổi (4.1) 2 X(z) =     0n nznx )( = 1 + 0.8z –1 + 0.64z –2 + 0.512z –3 + = 1 + (0.8z –1 ) + (0.8z –1 ) 2 + (0.8z –1 ) 3 + Ap dụng công thức chuỗi hình học vô hạn (2.8) 1 + x + x 2 + x 3 + = 0 n n x    = 1 1 x , x< 1 (4.4) Với 10.8x z ta có X(z) = 10.81 1  z = 80.z z  Kết quả có hình thức của cả hai bên. Điều kiện 1| 0.8 | 1z  nghĩa | | 0.8z  . (b) Tín hiệu thây đổi dương âm với giá trị tăng. Tín hiệu phân kỳ. Sau một vài lần thử, ta cso thể quyết định biểu diễn toán học của nó như: x(n) = (-1.2) n–1 u(n-1) (4.5) Với n).( 21 u(n) trễ một đơn vị. Sử dụng công thức (4.1) ta có X(z) =     0n nz)nx( = 0 + 1.0(z –1 ) – 1.2(z–1)2 + 1.44(z–1)3 – 1.718(z–1)4 + = z –1 [1 + (-1.2z –1 ) + (-1.2z –1 ) 2 + (-1.2z –1 ) 3 + ] = z –1 1z.  211 1 = 1 1 211    z. z = 21 1 .z   4.1.2 Biến đổi z đảo Tín hiệu x(n) và biến đổi của nó X(z) là một đôi biến đổi X(z)x(n) z  (4.6) n x(n) 1 0.8 0.64 0.512 1 -1 0 2 3 4 5 (a) 0 n -1 x(n) -1 1 2 3 4 5 1 -1.2 1.44 -1.728 Hình. 4.1:Ví dụ 4.1 (a) (b) 3 Một cách để tìm biến đổi ngược, bất kỳ khi nào có thể, là sử dụng định nghĩa biến đổi z. Phương pháp tổng quát của biến đổi z ngược sẽ được thảo luận trong phần 4.5 và 4.6 Ví dụ 4.1.2 Tìm biến đổi z ngược của những biểu thức sau (a) X(z) = 80.z z  (b) X(z) = 21 1 .z  Giải (a) Lấy khai triển X(z) sử dụng chuỗi hình hoc vô hạn: X(z) = 80.-z z = 1801 1 -z.- = 1 + (0.8z –1 ) + (0.8z –1 ) 2 + (0.8z –1 ) 3 + = 1 + 0.8z –1 + 0.64z –2 + 0.512z –3 + Bằng cách so sánh từ thành phần với từng thành phần trong công thức (4.2) ta có x(n) = [1 , 0.8 , 0.64 , 0.512 ; ] Hoặc x(n) = )u(8.0 nn (b) Biểu diễn được cho không giống như được biến đổi, vì vậy ta viết. X(z) = 1 1.2z  = 1 11 1.2 z z   = 1 1 1 1 1.2 z z   Kế đến, lấy khai triển X(z) : X(z) = z –1 [1 + (-1.2z –1 ) + (-1.2z –1 ) 2 + (-1.2z –1 ) 3 + ] = 0 + 1.0z –1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + Vì vậy x(n) = [0 ,1.0 , -1.2 , 1.44 , -1.728 , ] Mà có thể diễn tả trong hình thức đóng như sau x(n) = (–1.2) 1n u(n-1)  4.1.3 Đôi biến đổi z Bảng 4.1 đưa ra nhiều đôi biến đổi z hữu ích, nơi vòng tròng đơn vị là vòng tròn có bán kính 1tâm tại gốc. Tất cả tín hiệu là nhân quả (bên phải), ngoại trừ hai tín hiệu phi nhân quả (bên trái). Chú ý rằng một biến đổi có thể diễn tả tương đương như một hàm 1z hoặc z , ví dụ Bảng 4.1 : Đôi biến đổi z thông thường Tín hiệu x(n) Biến đổi X(z) Giảng đồ cực -không ROC -j j -1 1 Unit circle 0 4 Mẫu đơn vị (n) 1 Tất cả z Bậc đơn vị u(n) ) 1 ( 1 1 1     z z z z> 1 Dốc đơn vị r(n) = nu(n)           221 1 11 )(z z )z( z - - z> 1 Mũ thực a n u(n) 0 < a < 1          az z az -11 1 z > a Mũ thực (-a) n u(n) 0 < a < 1          az z az -11 1 z > a -a n u(-n-1) (phi nhân quả) 0 < a < 1          az z az -11 1 z < a -na n u(-n-1) (phi nhân quả) 0 < a < 1 21 1 1 )az( az    z < a Cosine (cosn 0) u(n) 2 0 1 0 1 cos21 ωcos1     zωz z z> 1 Sine (sinn 0) u(n) 2 0 1 0 1 ωcos21 ωsin    zz z z> 1 Cosine tắt dần (a n cosn 0) u(n) 22 0 1 0 1 ωcos21 ωcos1     zaaz az z > a Sine tắt dần (a n sinn 0) u(n) 22 0 1 0 1 ωcos21 ωsin    zaaz az z > a u(n)  X(z) = 11 1  z or 1z z (4.7a) double double 5 a n u(n)  X(z) = 11 1  az or az z  (4.7b) (cosn0)u(n) X(z) = 2 0 1 0 1 Ωcos21 Ωcos1     zz z or 1Ωcos2 Ωcos 0 2 0   zz )z(z (4.7c) Hình thức có nhiều sự phụ thuộc vào cái ta muốn làm với biến đổi (xem phần 4.1.6 , 4.3 và 4.6). 4.1.4 Biến đổi z cho hệ thống Biến đổi z áp dụng cho tín hiệu cũng như hệ thống vì hệ thống được trình bày bằng đáp ứng xung của nó. Mà nó là hàm có chỉ số n giống như tín hiệu. Vì thuộc tính này mà biến đổi z hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống vì tín hiệu và hệ thống tương tác nhau. Đặc biệt, biến đổi z của đáp ứng xung h(n) là H(z) =     0n nznh )( (Biến đổi 1 bên) (4.8) Hoặc H(z) =     n nzn)(h (Biến đổi hai bên) (4.9) Phụ thuộc hệ thống là nhân quả hoặc phi nhân quả. H(z) được gọi là hàm truyền hoặc hàm hệ thống Ví dụ 4.1.3 Một hệ thống có đáp ứng xung h(n) = [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] Tìm hàm truyền. Giải Hệ thống là một FIR phi nhân quả. Hàm truyền của nó được cho bởi công thức (4.9): H(z) =     n nzn)(h =   3 2 )(h n nzn = 32112 65432   zzzzz Ngược lại, nếu biết H(z) như trên ta có thể dễ dàng có h(n) .  4.1.5 Hàm riêng và trị riêng Ta biết nếu đáp ứng tần số của một hệ thống là H( ) thì với ngõ vào x(n) = jne , ngõ ra là y(n) = jne H() như trong (3.69b). Vì điều này , jne là hàm riêng, và H( ) là trị riêng của hệ thống. Bây giờ, với đầu vào x(n) = z n (4.10) ngõ ra hệ thống là y(n) = h(n)  x(n) =     0k kn(k)zh =           0k kn (k)zhz Trong ngoặc là H(z) , thì y(n) n = z H(z) (4.11) Vì vậy trong miền biến đổi z, nz là hàm riêng, và H(z) là trị riêng của hệ thống 4.1.6 Hàm truyền trong những thành phần của hệ số lọc Đầu tiên, với phương trình lọc tổng quát (công thức (2.21)) 6 y(n) = 1 ( ) N k k a y n k   + ( ) M k k M b x n k   (4.12) Với ka và kb là những hệ số lọc (hằng số). Bây giờ ta thay x(n) = z n và y(n) = z n H(z) để có z n H(z) =    M 1k kn k (z)Hza +    N Nk kn k zb Từ công thức này ta rút ra biểu diễn của H(z) cho lọc đệ qui, kết quả là H(z) = 1 1 M k k k M N k k k b z a z        (lọc đệ qui) (4.13a) Với lọc không đệ qui, mẫu bằng 1, vì vậy ( ) M k k k M H z b z    (lọc không đệ qui) (4.13b) Nó thì hầu như chú ý rằng hàm truyền bên trên có kết quả từ công thức lọc (4.12) . Một số tác gải viết công thức ở dạng khác (ví dụ, tất cả thành phần y ở bên trái của công thức), điều này dẫn đến sự biểu diễn khác của H(z) . Ý tưởng ở đây là khi công thức lọc được cho, ta thu thập những hệ số của nó để đặt vào sự biểu diễn của H(z) mà không cần lấy biến đổi z. Ngược lại, nếu biết H(z) thì ta biết những hệ số lọc. Ví dụ 4.1.4 Cho (a) H(z) = 8050 32 2 2 .z.z zz   (b) H(z) = 18510 520 23 2   z-z z zz- Tìm phương trình tín hiệu. Giải (a) Viết H(z) như hàm của z 1 bằng cách nhân tử số và mẫu số với z 2 : H(z) = )8050(1 32 80501 32 21 1 21 1         z.z. z z.z. z- Những hệ số là b 0 = 2 b 1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8 Vì vậy công thức lọc là y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1) (b) Nhân tử số và mẫu số với 0.1 3z để làm 10z 3 ở mẫu bằng 1 H(z) = 321 21 1.08.05.01 52     zzz zz Thu thập những hệ số: b1 = -2 b2 = 5 a1 = -0.5 a2 = 0.8 a3 = _0.1 Vì vậy công thức lọc là 7 y(n) = -0.5y(n-1) + 0.8y(n-2) + 0.1y(n-3) -2x(n-1) + 5x(n-2)  4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI Z Trong chương này nhiều thuộc tính (một số có thể xem như định lý) của biến đổi z hai bên được trình bày. - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời gian - Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) - Khác Không phải tất cả những thuộc tính trên được xem xét chi tiết . Về sau đôi biến đổi z được hiểu như x(n)  X(z). 4.2.1 Tuyến tính Tuyến tính có thể diễn tả như a1x1(n) + a2x2(n)  a1X1(z) + a2X2(z) (4.14) Với 1a , 2a là hằng số. Hình thức giống nhau áp dụng cho nhiều tín hiệu. Vì vậy tuyến tính nghĩa kết nối tuyến tính của ngõ vào đưa ra kết nối tuyến tính ngõ ra. Với biến đổi z và nhiều biến đổi khác tuyến tính là thuộc tính cơ bản và quan trọng. Nó cho phép ta tìm biến đổi và biến đổi ngược khi ở đây là sự kết nối của nhiều thành phần. Ví dụ 4.2.1 Tìm biến đổi z của tín hiệu cosin nhân quả x(n) = (cosn 0 ) u(n) Giải Biểu diễn x(n) ở dạng những thành phần của mũ phức: x(n) = (cosn 0 ) u(n) = 0 2 1 jnω e u(n) + 0 2 1 jnω e  u(n) thì X(z) = )]([ 2 1 0 nueZ jnω + 0 1 [ ( )] 2 jn Z e u n  Biến đổi từng thành phần )(nue 0 jn  101 1  ze jω )(nue 0 jn  101 1  ze jω Vì vậy 1jω1jω ze1 1 2 1 ze1 1 2 1 )z(X 00      2 0 1 0 1 z ωcosz21 ωcosz1       4.2.2 Dịch thời gian Đầu tiên xem biến đổi z của mẫu đơn vị (cũng là xung đơn vị) (n) và xung trễ của nó (n-n0): 8 X(z) =     0n n(n)zδ =   0 znz = 1 X(z) =     0n n 0 znn )δ( =   0nz nz   = 0 n z  Vì trễ của n 0 mẫu tương ứng với thừa số 0nz  của biểu diễn biến đổi. Bằng sự biểu diễn tín hiệu x(n) vào những thành phần của mẫu đơn vị và áp dụng tính tuyến tính ta có kết quả tổng quát x(n – n0)  X(z) 0nz  (trễ thời gian) (4.15a) x(n + n0)  X(z) 0nz  (Trước thời gian) (4.15b) Vì điều này, ta sử dụng chú thích 1z cho trễ đơn vị và z cho tới trước đơn vị trong giảng đồ khối của hệ thống (phần 1.4.2). Ví dụ 4.2.2: Mẫu đơn vị là sự trừ nó với mẫu chậm một đơn vị u(n) – u(n-1) = (n) Tìm biến đổi z (a) Bậc đơn vị nhân quả x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị phi nhân quả x(n) = -u(-n-1) Nhớ rằng u(n) cũng được gọi là tín hiệu bên phải, và -u(-n-1) hoặc u(-n-1) tín hiệu bên trái, trong khi đó một tín hiệu tồn tại cả hai bên âm và dương được gọi là tín hiệu hai bên (1.62). Giải (a) Ta viết x(n) – x(n-1) = u(n) – u(n-1) = (n) Lấy biến đổi z hai bên, sử dụng thuộc tính dịch thời gian X(z) – z–1 X(z) = 1 Hoặc X(z) = 11 1  z = 1z z (b) Với tín hiệu phi nhân quả ta viết -u(-n -1) 1 -3 -2 -1 ° ° . . . 0 -1 n Hình. 4.2: Ví dụ 4.2.2 . . . n 1 u(n) 0 2 3 -1 -2 1 2 ° ° 9 x(n) – x(n-1) = -u(-n-1) + u[-(n-1) – 1] = u(-n) – u(-n-1) = (-n) Nhớ rằng (-n) là (n) (xem 1.4.1), vì vậy biến đổi hai bên cho bởi X(z) – z–1 X(z) = 1 Hoặc X(z) = 11 1  z = 1z z Chú ý rằng hai tín hiệu (a) và (b) có biểu diễn khác nhau trong miền thời gian cũng như trong miền tần số nhưng chúng giống nhau trong biến đổi z. Tuy nhiên hai biến đổi có vùng hội tụ khác nhau (xem 4.4). Ví dụ 4.2.3 Tìm biến đổi z của xung chữ nhật nhân quả có N mẫu p(n) = 1 , 0 n  N-1 0 , khác Giải Ta có thể áp dụng trực tiếp định nghĩa (4.1) để tìm biến đổi, Mặc khác ta viết xung chữ nhật dưới dạng p(n) = u(n) – u(n – N) Lấy biến đổi, sử dụng thuộc tính trễ: P(z) = Z[u(n)] – Z[u(n–N)] = Z[u(n)] – z–NZ[u(n)] = (1 – z–N) Z[u(n)] = 11 1     z z N  4.2.3 Nhân chập thời gian Như biến đổi Fourier, thuộc tính mạnh và quan trọng nhất (định lý) của biến đổi z cho khía cạnh ứng dụng là nhân chập thời gian, được phát biểu như: Nhân chập của hai hàm thời gian tương ứng với nhân thường trong miền biến đổi z. x1(n)  x2(n)  X1(z) X2(z) (4.16) Như thông thường, nhân chập là kết quả ngõ ra khi nhân chập tín hiệu vào x(n) với đáp ứng xung của hệ thống h(n). x(n)  h(n)  X(z) H(z) (4.17) Với H(z) là hàm truyền. Sự hội tụ này được minh họa trong hình 4.4. Tín hiệu ngõ ra trong miền thời gian được cho bởi 1 -2 1 2 3 -1 0 N - 1 N N + 1 n p(n) Hình. 4.3:Ví dụ 4.2.3 10 Hình. 4.4: Sơ đồ chuyển miền thời gian sang miền z và thuộc tính nhân chập thời gian. y(n) = x(n)  h(n) và miền z bằng Y(z) = X(z) H(z) Từ điều này H(z) = )( )( zX zY (4.18) Vì vậy hàm truyền (hoặc hàm hệ thống) của một hệ thống là tỉ số của biến đổi z của ngõ ra với biến đổi z ngõ vào. Điểm này cho ta quyết định hàm hệ thống và biến đổi ngược, đáp ứng xung. Chứng minh: Thuộc tính nhân chập được minh họa như sau: Đầu tiên ta viết x(n) = x1(n)  x2(n) =     k k)(n(k)xx 21 Lấy biến đổi z X(z) =     n n(z)zx =               n n k zk)(n(k)xx 21 Thay đổi trật tự của tổng và sử dụng thuộc tính trễ thời gian: X(z) =               k n nzknxkx )()( 21 = X2(z)     k kzkx )(1 = X2(z) X1(z) = X1(z) X2(z) Ví dụ 4.2.4 Áp một chuỗi đầu vào x(n) = [1 , 2 , -1 , -2 , 1 , 2] đến hệ thống có đáp ứng xung là h(n) = [0 , 1 , 2] Tìm tín hiệu ngõ ra. Giải Lấy biến đổi z của x(n) và h(n) : X(z) = 1 + 2z –1 - z –2 - 2z –3 + z –4 + 2z –5 H(z) = 0 + z –1 + 2z –2 Biến đổi ngõ ra là Y(z) = H(z) X(z) Hệ thống Miền thời gian: x(n)  z Miền z : X(z) Tín hiệu vào y(n) = x(n)  h(n)  Z  (Nhân chập) Y(z) = X(z) H(z) Tín hiệu ra h(n)  Z H(z) 11 = z –1 + 4z –2 + 3z –3 - 4z –4 - 3z –5 + 4z –6 + 4z –7 Những hệ thống X(z) cấu thành tín hiệu y(n) y(n) = [0 , 1 , 4 , 3 , - 4 , -3 , 4 , 4] Nếu ta nhân chập x(n) với h(n), e.g. bằng phương pháp hình học (phần 2.2.2), ta có cùng kết quả.  Ví dụ 4.2.5 Để định nghĩa một hệ thống DSP chưa biết (gồm phần cứng và phần mềm), ta áp một tín hiệu x(n) và lấy ngõ ra y(n) như sau: ( ) [ , 2, 1, 2,1, 2] ( ) [ ,1, 4, 3, 4, 3, 4, 4] x n y n       1 0 Tìm đáp ứng xung. Đây là vấn đề về định nghĩa hệ thống Giải Ví dụ này giống như ví dụ 2.3.5 nhưng ta tính nó trong miền thời gian. Ở đây sử dụng biến đổi z, ta có 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 ( ) 1 2 2 2 ( ) 4 4 3 4 4 X z z z z z z Y z z z z z z z z                          Vì vậy hàm truyền là 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 4 4 3 4 4 ( ) 1 2 2 2 z z z z z z z H z z z z z z                         Mà có thể đơn giản 1 2( ) 2H z z z   Hệ thống ổn định (xem phần 4.4). Đáp ứng xung là biến đổi ngược ( ) [ ,1, 2]h n  0  4.2.4 Một số thuộc tính khác Ở đây có nhiều thuộc tính của biến đổi z, sau đây là một số thuộc tính. (a) Đảo thời gian x(-n)  X(z–1) (4.19) Chứng minh: Z[x(-n)] =     n nznx )( =     k k)zkx 1)(( = X(z–1) Ví dụ u(n)  11 1  z  u(-n)  z1 1 (b) Tỉ lệ với mũ rời rạc a n x(n)  X(a–1z) (4.20) Chứng minh: Z[a n x(n)] =     n nn znxa )( =     n nzanx )( )( 1 = X(a–1z) Ví dụ biết biến đổi của (cos 0n)u(n) có thể dễ dàng tìm biến đổi a n (cos 0n) u(n) (bảng 4.1). (c) Nhân thời gian 12 Ta có thuộc tính này với biến đổi Fourier nhưng diễn tả trong miền z là tích phân so với nhân chập: x1(n) x2(n)    C 1 21 dνν ν z XνX j )()( π2 1 (4.21) Với C là tích phân vòng quanh gốc và nằm bên trong vùng hội tụ của X1 và X2 . (d) Vi phân trong miền z nx(n)  dz dX(z) z (4.22) Chứng minh: Lấy vi phân cả hai bên của định nghĩa (4.3), ta có     n nx dz zdX )( )( (-n)z 1n = -z 1 n n znnx     )]([ = )]([1 nnxZz  Là hình thức khác của thuộc tính được nói ở trên. Ví dụ tìm biến đổi z của tín hiệu X(n) = na n u(n) Ta gọi x 1 (n) = a n u(n) Biến đổi z của x 1 (n) (bảng 4.1) là X 1 (z) = 11 1  az Vì vậy X(z) = dz zdX z )(1 = 21 1 )1(    az az (e) Liên hiệp phức * x (n) ↔ ** zX ))(( (4.23) (f) Giá trị đầu x(0) = z limX(z) (4.24) Ý nghĩa của thuộc tính này là nếu ta biết X(z) và muốn tìm x(0) thì ta không cần lấy biến đổi z ngược. (g) Giá trị cuối n limx(n) = ))(1)(( zXzlim 1z   (4.25a) Ý nghĩa của thuộc tính này thì giống như trên nhưng trường hợp này ta biết giá trị cuối của x(n). Một ứng dụng của thuộc tính này là tìm đáp ứng trạng thái ổn định (phần .) của hệ thống với đầu vào là một bậc đơn vị. Biến đổi z của bậc đơn vị (bảng 4.1) được cho bởi Vì vậy đáp ứng trạng thái ổn định của hệ thống H(z) ứng với một bậc đơn vị ở ngõ vào được cho bởi (4.25b) 13 Khi thay z bằng trong H(z) ta sẽ có đáp ứng tần số H(ω). Vì vậy z = 1 ứng với ω = 0, và đáp ứng H(ω) là đáp ứng tần số tại không (DC). Trong ví dụ, phương trình hệ thống là y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n) và đáp ứng bậc tìm được có dạng Với 5.0 là giá trị ổn định cuối cùng. Không đi từ phương trình tín hiệu cho trên, hàm truyền của nó có thể được tìm thấy Vì vậy giá trị cuối của đáp ứng bậc từ (4.25b) là Như mong muốn Chú ý giới hạn (4.25b) chỉ tôn tại nếu ROC của (z - 1)H(z) bao gồm đường tròn đơn vị circle. 4.2.5 Liên hệ với biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) Tương ứng với tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z liên hệ với biến đổi Fourier cùng cách như biến đổi Laplace liên hệ với biến đổi Fourier với hệ thống và tín hiệu liên tục. Để làm điều này ta thay z = e j (4.26) vào định nghĩa (4.3) của biến đổi z và có X() =     n nj(n)ex (tín hiệu) H() =     -n jn(n)eh (hệ thống) Với biến đổi Fourier ta biết (3.39) và (3.60)). Nhớ rằng cả X( ) và H( ) là tuần hoàn với chu kỳ 2 . Ta kết luận H() =     jωz =eH z (4.27) Sự liên hệ giữa X() và X(z) là giống nhau Biên độ và pha của z tương ứng với  là Hình.4.5: Dọc theo đường tròn đơn vị, biến đổi z là biến đổi Fourier 0 -