Bài giảng Chương 6: Thiết kế lọc iir

1 Chương 6 THIẾT KẾ LỌC IIR Một lọc IIR (đáp ứng xung lâu vô hạn) có đáp ứng xung tồn tại mãi mãi trong quá khứ, hiện tại và tương lai. Về mặt cấu trúc, một lọc IIR là một hệ thống đệ qui, ở đây có một số kết nối từ ngõ ra đến một điểm bên trong hệ thống để ngõ ra phụ thuộc vào ngõ vào và ngõ ra trước nó. Thật ra, lọc IIR có thể là đệ qui hoặc không đệ qui (phần 2.6.2), và một lọc đệ qui có thể là loại IIR hoặc FIR. Khi ta nói một lọc IIR hoặc lọc đệ qui thường có nghĩa như nhau. Phương trình tín hiệu vào ra của lọc IIR nhân quả (2.21) lặp lại ở đây: y(n) =   N 1k ka y(n – k) +   M 0k kb x (n – k) Với ak , bk là những hệ số lọc. Theo lý thuyết, N, M có thể là vô hạn. Lọc IIR thì hiệu quả hơn lọc FIR trong độ nhạy, đó là một lọc IIR với ít hệ số hơn có thể cho đáp ứng biên độ tần số bằng với một lọc FIR với nhiều hệ số hơn. Tuy nhiên lọc IIR có hai mặt nhược điểm.  Chúng có thể không ổn định nếu những hệ số của nó chọn không thích hợp.  Chúng có thể có pha không tuyến tính (phần 5.2) và vì vậy nó không phù hợp cho một số ứng dụng lọc. Xét pha tuyến tính ta nên biết rằng hàm truyền H(z) của lọc pha tuyến tính phải thỏa mãn sự liên hệ H(z) =  z–N H(z–1) Với z-N trình bày một sự trễ của N mẫu. Sự liên hệ này ngụ ý rằng ở đây có một cực ảo bên ngoài đường tròn đơn vị với mỗi cực bên trong, ngược lại điều kiện để lọc là ổn định và nhân quả là tất cả các cực của nó phải nằm bên trong đƣờng tròn đơn vị (phần 4.4.2). Điều này có nghĩa rằng lọc ổn định và nhân quả không thể có pha tuyến tính. Nếu không yêu cầu nhân quả, lọc IIR có thể có pha tuyến tính nhưng trong trường hợp này lọc FIR thì thuận lợi hơn Trong khi thiết kê lọc FIR không có lợi cho bất kỳ phương pháp thiết kế tương tự, thì lọc IIR là phù hợp từ mặt phẳng tương tự s đến mặt phẳng số z. Vì vậy, phương pháp thiết kế IIR thì giống như nguyên mẫu tương tự chẳng hạn: Butterworth, Chebyshev, hoặc lọc elliptic. Hai phương pháp thiết kế là xung bất biến và biến đổi đôi tuyến tính. Bên cạnh đó, IIR có thể được thiết kế bằng phương pháp đặt cực không như lọc FIR (phần 4.8), hoặc cũng bằng phương pháp bình phương tối thiểu trong miền số. , 6.1 Một tóm tắt ngắn về lọc Butterworth, Chebyshev và Elliptic. Với mục đích của việc thiết kế lọc số, sau đây là một tóm tắt ngắn về kiến thức lọc tương tự thông thấp là cần thiết. Đầu tiên, ta nhìn lại những thông số khác nhau của lọc số (hình 5.9, 5.10, 5.28). Những thông số này được áp dụng vào lọc tương tự và được ký hiệu lại như p, c, s . Đáp ứng biên độ có thể diễn tả ở dạng tuyến tính hoặc thang dB với |)(|log20|)(| 10  adBa HH . Ví dụ đáp ứng được chuẩn hóa biên độ là 1 tương ứng với 0 dB, 2/1 ứng với -3 dB. Ta gọi p là tần số cạnh dải qua, s là tần số cạnh dải dừng, c là tần số cắt (hoặc tần số -3 dB ). Độ gợn sóng dải qua p , và độ gợn sóng dải dừng s được liên hệ với sự suy giảm dải qua và dải dừng ở thang dB như (6.1) (6.2) 6.1.1 Lọc Butterworth Lọc Butterworth là lọc tương tự phổ biến nhất. Nó có độ bằng phẳng lớn nhất tại tần số ( = 0) và tăng đều trong dải qua và dải dừng. Nó không có độ gợn sóng, băng rộng chuyển tiếp thì ngắn (giữa dải qua và dải dừng) và đáp ứng pha không tuyến tính (Chebyshev và elliptic cũng có đáp ứng pha không tuyến tính). Hình 6.1 chỉ đáp ứng biên độ tần số được chuẩn hóa của lọc Butterworth. Bậc lọc cao hơn gần với đáp ứng lý tưởng. 2 Biểu thức tổng quát của hàm truyền với bậc N của lọc lọc Butterworth là Ha(s) = )p)...(sp)(sp(s 1 )p(s 1 a2a1aai1i N N     (6.3) Hàm có N cực và không có không. Với một lọc thông thấp có hai đối số lọc để thiết kế: Bậc N và tần số cắt (hoặc -3 dB) c . Bình phương biên độ hàm truyền là  2Nc 2 a s/jΩ1 1 (s)H   (6.4) Bình phương của đáp ứng biên độ tần số có được bằng cách thay s bằng j, mà cho  2Nc a Ω/Ω1 1 H   2 )( (6.5) Chú ý thành phần  2NcΩ/Ω trong tử để chắc chắn rằng Những tác giả khác xem đáp ứng tần số )(H thay vì bình phương 2 )(H . . Điều này đúng cho trường hợp của lọc Chebyshev và elliptic sẽ được nói đến sau. Lọc Butterworth có độ phẳng lớn nhất vì đáp ứng biên độ của nó bằng không tại tần số )0(  . Vì lọc Butterworth không có độ gợn sóng, đối số và được xem là sự suy giảm. Những cực của đáp ứng bình phương hàm truyền được cho bởi 1 + N c 2 j s        = 0  s = (–1)1/2N jc Ta diễn tả -1 và j như thành phần phức: –1 = ej(2i - 1) i = 1, 2, 3, j = e j/2 Vì vậy, những cực là pai = c e j(2i + N - 1)/2N , i = 1, 2, 3, , 2N (6.6a) Hình .6.1: Đáp ứng biên độ được chuẩn hóa của lọc Butterworth thông thấp filters 3 Chú ý rằng độ lớn của tất cả các cực là c và gốc pha là (6.6b) Kết quả này chỉ rằng cực được phân bố đều trên một đường tròn có tầm tại gốc và bán kính là tần số cắt c trong mặt phẳng s (hình. 6.2). Với lọc có bậc N = 5, số cực là 2N = 10. Cực đầu tiên (i= 1) là pa1 = c e j(2x1 + 5 - 1)/2x5 = c e j3/5 = c  108 O Cực thứ hai (i = 2) là pa2 = c e j(2x2 + 5 - 1)/2x5 = c e j4/5 = c  144 O Cực thứ 10 được tách ra bằng 360O/10 = 36O (Hình. 6.2). Để lọc ổn định ta chọn M cực nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, như ví dụ trên là pa1 đến pa5 . Chú ý rằng những cực gồm thực (pa1) hoặc xuất hiện như đôi liên hiệp phức (pa1 và pa5; pa2 và pa4). Vì vậy, lọc Butterworth với bậc N có N cực trên mặt phẳng bên trái được cho bởi pai = c e j(2i + M - 1)/2M i = 1, 2, N (6.7) Ví dụ, những cực của lọc bậc ba là pa1 = c e j2/3 = (–0,5 + j0,866)c pa2 = c e j = –1c pa3 = c e j4/3 = (–0,5 - j0,866)c Vì vậy, với tần số cắt sradc /1 hàm truyền là Ha(s) =     1s2s2s 1 866,0j5,0s1s866,0j5,0s 1 23    Một lọc thông thấp có tần số cắt sradc /1 (or HzFc 2/1 ) được gọi là lọc thông thấp chuẩn hóa hình 6.3 chỉ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa với tần số cạnh dải qua p , tần số cạnh dải dừng s , tần số cắt c , bình phương độ gợn sóng (sự suy giảm) 2)1( p và bình phương độ gợn sóng dải dừng (sự suy giảm) 2 s . Từ bình phương đáp ứng biên độ (6.5) ta có thể tìm bậc lọc N để những đặc tính được gặp nhau. Tạ cạnh dải qua ta có 0 j  s - plane c pa1 pa2 pa3 pa4 pa5 pa6 pa7 pa8 pa9 pa10 Hình. 6.2: Cực của 2|)(| sH a với N = 5. Cực của lọc Butterworth ổn định với bậc N = 5 có 5 trong nửa mặt phẳng. 4 2 2 )1( )/(1 1 pN cp   or 1 )1( 1 2 2             p M c p  (6.8a) Giống như vậy, tại cạnh dải dừng ta có 1 1 2 2         sc s  (6.8b) Từ hai biểu thức trước bậc lọc có được   s p 2 s 2 p Ω Ω δ 1 )δ(1 1 2 1 log 11]/[log N    (6.9) Ta lấy N như làm tròn đến một giá trị nguyên gần nhất. Vì vậy đảm bảo rằng dải qua và dải dừng sẽ quá ngưỡng (tốt hơn yêu cầu) Để phù hợp những ràng buộc dải qua một cách chính xác ta giải(6.9a) với tần số cắt được cho N p p c 2 1 2 ]1[ )1( 1     (6.10) Trong trường hợp này rằng buộc dải dừng sẽ vượt quá và độ gợn sóng dải dừng s sẽ nhỏ hơn. Tần số cắt được cho bởi kết quả trên sẽ lớn hơn giá trị thực có được từ đồ thì của đáp ứng tần số. Một cách thay thế, giả (6.9b) với tần số cắt c để phù hợp chính xác ràng buộc dải dừng ngược lại điều kiện dải qua sẽ vượt quá. Kết quả này sẽ khác từ (6.11). Nếu ta muốn vượt quá cả điều kiện dải qua và dải dừng ta sẽ lấy tần số cắt như trung bình của hai tần số cắt được đề cập. Với những cực được chọn nằm ở nửa bên phải mặt phẳng lọc Butterworth sẽ ổn định. Hàm truyền của lọc thông thấp bậc N với tần số cắt là Hàm truyền lọc Butterworth có thể được thiết kế sử dụng (6.6) và (6.11a). Một cách khác ta sử dụng bẳng những hệ số được tính trước như sau. Chú ý là hàm truyền của lọc thông thấp bậc N được chuẩn hóa : Hình 6.3: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc Butterworth. p 0 2 s )3(5.0 dB 2)1( p )0(1 dB s 2|)(| aH c  5 Những hệ số của đa tức mẫu với lọc bậc 5 được cho trong bảng 6.1 Bảng 6.1: Những hệ số mẫu của lọc Butterworth thông thấp được chuẩn hóa. N a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4 1 2.613126 3.414214 2.613126 1 0 0 5 1 3.236068 5.236068 5.236068 3.236068 1 0 Bây giờ, Nếu thực tần số cắt 3-dB, hàm truyền có được bằng cách thay s vào công thức trên bằng s/ . Đây là sự biến đổi phổ, phần này sẽ được nói đến trong phần 6.4. Vì vậy hàm truyền lọc Butterworth thông thấp bậc N là Ví dụ, lọc thông thấp bậc 3 với tần số cắt (nghĩa là , Fc = 10Hz) hàm truyền là 6.1.2 Lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev (cũng gọi là lọc Cauer) có một độ chuyển tiếp hẹp so với Butterworth có cùng bậc lọc, và nó gợn sóng (độ gợn sóng giống nhau từ đỉnh này sang đỉnh khac) trong cùng dải qua hoặc dải dừng (Chebyshev loại 2). Bình phương của hàm truyền và đáp ứng biên độ tần số của Chebyshev-1 bậc N là      * cNcN 2 2 a s/jΩCs/jΩC 1 1 (s)H   (6.12)  c 2 N 2 2 a Ω/ΩC 1 1 )Ω(H   (6.13) Với CN(x), cx  / , là đa thức Chebyshev-1 của loại đầu tiên của bậc N, c là tần số cắt  đối số độ gợn sóng. Hàm truyền của lọc Chebyshev bậc N cũng có N cực, nhưng không nằm trên đường trong mặt phẳng s như trong trường hợp của Butterworth nhưng nằm trên ellipse, Biểu thức của đa thức Chebyshev-1 có bậc không và cao hơn là CO (x) = 1 C1 (x) = x C2 (x) = 2x 2 – 1 C3 (x) = 4x 3 – 3x C4 (x) = 8x 4 – 8x2 + 1 C5 (x) = 16x 5 – 20x3 + 5x  CN (x) = 2xCN– 1(x) – CN – 2(x) (6.14) (6.14) là công thức đệ qui của đa thức. Hình 6.4 vẽ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa của lọc Chebyshev-1 của bậc lẻ. Như ta thấy, nó gợn sóng trong dải qua và đều trong dải dừng. Tại tần số bằng 0 ( 0 ) biên độ chuẩn hóa là 1. Với lọc Chebyshev-1 có bậc chẵn giá trị này là )1/(1 2 . Số độ gợn sóng bằng nhau với bậc 6 của lọc. Độ gợn sóng xuất hiện giữa mức cao 1 và mức thấp )1/(1 2 . Khoảng cách giữa hai mức là bình phương dải thông độ gợn sóng đỉnh đến đỉnh 2)1( p . Từ (6.13), tại cạnh dải qua đáp ứng là 2 22 )1( )/(1 1 p cpNc     (6.15a) Và tại cạnh dải dừng đáp ứng là 2 22 )/(1 1 s cpNc     (6.15b) Khi ta dẫn ra hai biểu thức trên tần số cắt c không hủy như trong trường hợp của lọc Butterworth. Để dễ dàng, thường lấy c như p . Với sự thay thế này (6.15a) đưa sự kết nối giữa đối số độ gợn sóng  và độ gợn sóng dải qua p : 1 )1( 1 2    p  (6.16a) Hoặc 2 2 )1( 1 1 p    (6.16b) Hoặc (6.15b) cho bậc lọc như )/(cosh )1(cosh 1 11 2 ps s N        (6.17) Với  và N tìm thấy ta có thể xử lý thiết kế và vẽ đáp ứng tần số. Hàm truyền của lọc Chebyshev-1 chỉ có cực nằm bên trái của một ellipse có tâm tại gốc, trục chính dọc theo trục ảo j, và trục ảo dọc theo trục thực  . Kích thức của ellipse phụ thuộc đối số độ gợn sóng. Độ gợn sóng càng nhỏ độ chuyển tiếp càng rộng. Với độ gợn sóng zero, lọc Chebyshev trở thành lọc Butterworth Lọc Chebyshev loại 2 (Chebyshev-2) hàm truyền có cả cực và không. Đáp ứng biên độ bắt đầu tại 1 và giảm đều trong dải qua, và gợn sóng trong dải dừng. Bình phươg đáp ứng biên độ được cho bởi biểu thức. Hình 6.4: Chebyshev loại 1 có bậc lẻ (trong trường hợp này N = 5). Với bậc chẵn, đáp ứng bắt đầu tại mức thấp )1/(1 2 nhưng sau một vài dao động, sẽ đạt đến mức cao 1 trước khi rơi nhanh. 2 s Butterworth filter 2 a )(H  Chebyshev filter  (rad/s) R c 2 2 1 1 )1(   p 1 0,5 (–3 dB) 0 (0 dB) s 7 )ΩΩ(C1 )ΩΩ(C |(ΩH| s 2 N 2 c 2 N 2 2 a    (6.18) Hình 6.5 vẽ đáp ứng. Kết nói giữa hai đối số độ gợn sóng và s là 21 s s     (6.19a) Hoặc 2 2 2 1 s   (6.19b) 6.1.3 Lọc Elliptic Lọc Chebyshev có một độ chuyển tiếp ngắn hơn lọc Butterworth vì nó cho phép độ gợn sóng trong cả dải qua và dải dừng (hình 6.6). và vì vậy có độ chuyển tiếp nhỏ nhất giữa các lọai lọc có cùng bậc lọc. Biểu thức của hàm truyền và đáp ứng tần số của lọc elliptic thì giống với lọc Chebyshev:   pNU   /1 1 )(H 2 2 a (6.20) Với những đối số độ gợn sóng  có cùng nghĩa như trong trường hợp Chebyshev, và )(xU N là hàm Jacobian elliptic function có bậc N. Thiết kế của lọc elliptic thì phức tạp hơn lọc Chebyshev. 6.1.4 Lọc Bessel Nó đáng giá để đề cập một ít về lọc Bessel. Hàm truyền của nó chỉ có cực như trong trường hợp của Butterworth và Chebyshev loại 1: (s)B 1 (s)H M a  (6.21) Với BM(s) là đa thức Bessel có bậc M. Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dài hơn lọc Butterworth, nhưng ngược lại có đáp ứng pha tuyến tính trong dải qua. Tuy nhiên đặc tính pha thích hợp này sẽ bị hủy trong sự biến đổi đôi tuyến tính (phần 6.3). Bởi lý do này, lọc Besel không sử dụng cho thiết kế lọc số. p c s  Hình 6.5: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc thông thấp Chebyshev-2. 0 2 2 2 1   s 5.0 2)1( p 2|)(| aH 1 8 6.2 PHƢƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG XUNG BẤT BIẾN Lọc tương tự có một lịch sử phát triển và sử dụng khá lâu đời (hơn 50 năm). Đặc biệt, phương pháp lý thuyết và thiết kế của lọc tương tự được xây dựng khá tốt, điều này sẽ khai thác để thiết kế xấp xỉ của lọc IIR số. Ta xét phương pháp bất biến xung. 6.2.1 Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Với hệ thống tuyến tính và tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace là một công cụ toán học rất hiệu quả cho thiết kế và phân tích. Hàm tuyền Ha(s) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI hoặc LSI) có cùng hình thức như hàm truyền H(z) của hệ thống DSP (4.28) Ha(s) = D(s) N(s) = )...p)(sp)(sp(s )...z)(sz)(sz(sG 3a2a1a 3a2a1a   (6.22) Với s là biến phức. công thức lọc tương tự tổng quát là y(t) = k k 0k kk k 1k k dx x(t)d β dt y(t)d α    MN (6.23) Nó cũng rất giống với công thức lọc số tương ứng (6.1). Hàm truyền của lọc tương tự có thể diễn tả trong những thành phần của những hệ số như trường hợp của lọc số (công thức 4.13a). Ha(s) =      N M 1 k k k 0k k k sα1 sβ (6.24) Tuy nhiên ở đây có một vài sự khác nhau quan trọng (hình 6.7). - Trong biến đổi Laplace, đáp ứng tần số )(aH có được bằng cách thay  js vào hàm truyền Ha(s), i.e Ha(s) dọc theo trục ảo j là đáp ứng tần số )(aH , ngược lại trong biến đổi z đáp ứng tần số )(H là hàm truyền H(z) dọc theo vòng tròn đơn vị. - Tần số tương tự  (đơn vị radian/s) khác nhau dọc theo một đường thẳng với những giá trị từ 0 đến  , ngược lại tần số số  (đơn vị radian/sample) khác nhau xung quanh đường tròn với những giá trị từ 0 đến 2 (hoặc từ  to ) và tuần hoàn; - Để lọc tương tự ổn định (và nhân quả), những cực của Ha(s) phải nằm trong nửa mặt phẳng bên trái cảu mặt phẳng s, ngược lại lọc số ổn định và nhân quả, những cực phải nằm bên trong đường tròn đơn vị Hình 6.6: Lọc Elliptic với bậc lẻ (Trong trường hợp này N = 5). Với bậc chẵn bắt đầu tại mức thấp )1/(1 2 nhưng kết thúc tại mức 1 trước khi rơi nhanh. 1  2 s 2 2 1 1 )1(     p Ha() 2 0.5 0 p c c s c 9 Một cách toán học, chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z là z = e sT (6.25) Với T là chu kỳ lấy mẫu hoặc khoảng lấy mẫu (T = 1/fs, fs là tần số lấy mẫu). Thay s =  + j và z = re j ta có re j = e T e jT Vì vậy r = e T T (6.26) Điều này có nghĩa 0 tương ứng với 10  r , và 0 to 1r , và 0 to 1r . Vì vậy nửa mặt phẳng bên trái của s chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z (và nửa mặt phẳng bên phải sang bên ngoài) và trục j thành đường kính của đường tròn đơn vị như nói ở trên (hình 6.8). Vấn đề là sự chuyển cuối cùng không phải một sang một bởi vị sự biến đổi T nghĩa là khoảng TT //   được chuyển thành khoảng   , và khoảng –(2k – 1)/T    (2k – 1)/T , với k nguyên, và cũng chuyển cùng khoảng   . Điều này là kết quả của lấy mẫu tín hiệu. Dải T/2 của nửa mặt phẳng bên trái s được chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị, kết quả những dải giống nhau thì cũng được chuyển vào bên trong. 6.2.2 Phƣơng pháp thiết kế 0 Imaginary z Real z Hình. 6.8: Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z thì không phải một sang một z-plane j Unit circle 0 s-plane  0 /T –/T T  Hình. 6.7: Chuyển tổng quát từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Unit Circle j Imaginary z 0 Real z z-plane s-plane 0 10 Nhìn vào hình.6.9. Từ đáp ứng biên độ tần số được yêu cầu |)(| H trong khoảng  0 , ta xét đáp ứng biên độ tần số của một lọc tương tự )(aH có cùng hình dạng (nhưng mở rộng đến  ). Kế đến, từ )(aH ta tìm đáp ứng xung tương tự ha(t), ví dụ bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của Ha(s). Sau đó ta lấy mẫu ha(t) để có đáp ứng xung h(n) của lọc IIR được thiết kế. Lấy mẫu phải thỏa định lý lấy mẫu (phần 1.3.2) nhưng vấn đề là đáp ứng tần số tương tự tồn tại đến vô cực và vì vậy, ta không thể thỏa định lý lấy mẫu, và xuất hiện biệt danh, kết quả làm tăng một phần tần số cao của lọc số. Vì lý do này, phương pháp bất biến xung chỉ phù hợp với lọc thông thấp. Một điểm khác là tìm biến đổi Laplace ngược thì không thuận tiện. Vì vậy ta phải phát triển một phương pháp thiết kế, ta có thể đi từ hàm truyền tương tự Ha(s) trực tiếp đến hà truyền lọc số H(z). Bắt đầu từ hàm truyền tương tự Ha(s) công thức (6.3) và giả sử nó là một hàm tỉ số phù hợp, tất cả các cực là thực và đơn để nó có thể khai triển thành những phân số thành phần với hình thức. Ha(s) = 1a 1 ps G  + 2a 2 ps G  + ia i ps G  + (6.27) Vì vậy ta phải phân giải lọc tương tự bậc cao thành một vài lọc bậc một trong dạng song song (hình 6.10). Xét một lục như sau: Hai(s) = ai i ps G  (6.28) Đáp ứng xung, i.e. biến đổi ngược Laplace của Hai(s), là hai(t) = taip ieG t  0 (6.29) 0 , t< 0 Chú ý rằng cực pai phải âm,i.e. nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, để lọc ổn định. Đáp ứng xung nhân quả của lọc IIR tương ứng là (a ) 0  Ha( ) Analog filter /T1 /T2 0 t ha(t) (b) T1 h(n) 0 (c) T2 h(n) 0 n (e) Digital filter H() 0  2  3  4   (f) /2 Digital filter  2 H() 0  (d) n 2 1 3 4 Hình. 6.9: Đáp ứng xung và tần số của lọc tương tự tương ứng với lọc số tại hai chu kỳ lấy mẫu khác nhau T1 và T2 . 11 hi(n) = hai(nT) = nTp i aieG ; n  0 (6.30) 0 , n < 0 Đây là hàm truyền được biến đổi z Hi(z) = nnTp 0n i zeG ai     =   n 1Tp 0n i zeG ai     Sử dụng công thức của chuỗi hình học vô hạn (2.8), (4.4), ta có Hi(z) = 1Tp i ze1 G ai  = Tp i ai ez zG  (6.31) Vì vậy cực s pai được chuyển thành cực z pai TPaie (6.32) Chú ý rằng tử và mẫu của hàm truyền (6.22) có cùng bậc, vì vậy lọc có đáp ứng ngay lập tức (phần 4.3.3). Nhìn chung hàm truyền của lọc IIR là H(z) = 1Tp 1 ze1 G a 1  + 1Tp 2 ze1 G a 2  + 1Tp i ze1 G a i  + (6.33) Vì vậy mục tiêu đã đạt được, nghĩa là ta có thể phát triển lọc tương tự một cách trực tiếp sang lọc số tương ứng. Tuy nhiên hình thức song song trên không phù hợp để tính toán đáp ứng tần số vf thường phải chuyển sang hình thức chuỗi. Hình.6.10 chỉ sự biến đổi. Fig. 6.11 vẽ cực-không cảu lọc bậc một và lọc số bậc một tương ứng. Từ hàm truyền ta có thể dẫn ra phương trình tín hiệu + y(t) x(t) + y(n) x(n) Hình. 6.10: Biến đổi lọc tương tự sang lọc số tương ứng 1a 1 ps G  2 2 aps G  3 3 aps G  1Tp 1 ze1 G 1a  1Tp ze1 G a  2 2 1Tp ze1 G a  3 3 Hình. 6.11: Cực-không của lọc tương tự bậc một và lọc số tương ứng z-plane s-plane 0 Tpaie  j 0 pai Imaginary Real 12 Ví dụ 6.2.1 Lọc tương tự bậc một