Bài giảng Cơ học Kết cấu - Phần 1: Cơ sở của phương pháp

Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi BÀI GIẢNG 2 (cơ sở của phương pháp - phần 1/2) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng Ngày 15 tháng 8 năm 2013 Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi NỘI DUNG CHÍNH 1 Cơ bản về ten-sơ Sơ lược Quy ước viết Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes Các giá trị chính và phương chính Tính toán với ten-sơ 2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi Phương trình cân bằng Navier-Cauchy Phương trình biến dạng - chuyển vị Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Cơ học chất điểm và cơ học vật thể rắn: véc-tơ OK!! Cơ học vật thể đàn hồi: ma trận OK!! Cơ học môi trường liên tục: các đại lượng vật lý : phức tạp → véc-tơ / ma trận : dùng không thuận tiện Các đại lượng vật lý này là độc lập với bất kỳ một hệ tọa độ cụ thể Đồng thời, chúng lại thường được biểu diễn một cách rất thuận tiện trong một hệ tọa độ thích hợp nào đó Ten-sơ: tổng quát hóa của véc-tơ / ma trận Ten-sơ: thích hợp khi dùng để biểu diễn các đại lượng, quy luật vật lý phức tạp. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian 𝑁 chiều. Một ten-sơ bậc 𝑝 có 𝑁𝑝 thành phần. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian 𝑁 chiều. Một ten-sơ bậc 𝑝 có 𝑁𝑝 thành phần. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian 𝑁 chiều. Một ten-sơ bậc 𝑝 có 𝑁𝑝 thành phần. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian 𝑁 chiều. Một ten-sơ bậc 𝑝 có 𝑁𝑝 thành phần. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Ten-sơ tồn tại độc lập với bất kỳ một hệ quy chiếu nào Nhưng lại có thể được biểu diễn thuận tiện qua việc xác định các thành phần của nó trong một hệ quy chiếu thích hợp nào đó. Hệ quả: Nếu biết các thành phần của một ten-sơ trong một hệ tọa độ, có thể xác định các thành phần của nó trong một hệ tọa độ khác bất kỳ thông qua quy tắc biến đổi ten-sơ. Ưu điểm: gọn, phù hợp với ngôn ngữ máy tính Hạng của ten-sơ (tensor rank) là số các thành phần của một ten-sơ cho trước có trong một không gian 𝑁 chiều. Một ten-sơ bậc 𝑝 có 𝑁𝑝 thành phần. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3𝑝. Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (𝑅, 𝜃, 𝑧), hệ tọa độ cầu (𝑅, 𝜃, 𝜑). Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3𝑝. Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (𝑅, 𝜃, 𝑧), hệ tọa độ cầu (𝑅, 𝜃, 𝜑). Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3𝑝. Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (𝑅, 𝜃, 𝑧), hệ tọa độ cầu (𝑅, 𝜃, 𝜑). Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3𝑝. Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (𝑅, 𝜃, 𝑧), hệ tọa độ cầu (𝑅, 𝜃, 𝜑). Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Sơ lược Các đặc trưng của ten-sơ Trong không gian Euclid ba chiều, số thành phần của một ten-sơ là 3𝑝. Cụ thể: Một ten-sơ bậc không, có 30 = 1 thành phần và được gọi là một vô hướng. Đại lượng được xác định chỉ qua giá trị độ lớn của nó. Chữ cái viết thường. Ten-sơ bậc một, có 31 = 3 thành phần và được gọi là một véc-tơ. Một đoạn thẳng có mũi tên chỉ hướng và tuân theo "cộng véc-tơ". Chữ cái viết đậm. Ten-sơ bậc hai, có 32 = 9 thành phần và thường được biểu diễn bằng một ma trận. Chữ cái viết hoa, đậm. Ten-sơ Descartes: Khi chỉ có các biến đổi từ một hệ tọa độ đồng nhất (ví dụ: hệ tọa độ Descartes) sang một hệ tọa độ đồng nhất khác. Hệ tọa độ Descartes có thể là hệ tọa độ thẳng vuông góc (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), hoặc hệ tọa độ cong, như hệ tọa độ trụ (𝑅, 𝜃, 𝑧), hệ tọa độ cầu (𝑅, 𝜃, 𝜑). Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 𝑥𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 Viết 𝑦𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 𝑥𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 Viết 𝑦𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 𝑥𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 Viết 𝑦𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 𝑥𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 Viết 𝑦𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Viết 𝑥𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 Viết 𝑦𝑖, 𝑖 = 1..𝑛 thay cho 𝑛 biến số độc lập 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 Sự lặp lại của một chỉ số (trên hoặc dưới) trong một số hạng thể hiện phép lấy tổng theo chỉ số đó trong miền xác định của chỉ số. Phép tổng được lấy theo chỉ số nào thì chỉ số đó được gọi là chỉ số giả (dummy index) Mặc định, coi miền xác định của các chỉ số giả là các giá trị nguyên từ 1 đến 3. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 𝐴𝑖𝑗 được 𝐴𝑘𝑘 (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 𝐵𝑖𝑗𝑘 được 𝐵𝑖𝑙𝑙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 được 𝐶𝑖𝑗𝑚𝑚 (là một ten-sơ bậc hai) Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 𝐴𝑖𝑗 được 𝐴𝑘𝑘 (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 𝐵𝑖𝑗𝑘 được 𝐵𝑖𝑙𝑙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 được 𝐶𝑖𝑗𝑚𝑚 (là một ten-sơ bậc hai) Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 𝐴𝑖𝑗 được 𝐴𝑘𝑘 (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 𝐵𝑖𝑗𝑘 được 𝐵𝑖𝑙𝑙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 được 𝐶𝑖𝑗𝑚𝑚 (là một ten-sơ bậc hai) Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 𝐴𝑖𝑗 được 𝐴𝑘𝑘 (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 𝐵𝑖𝑗𝑘 được 𝐵𝑖𝑙𝑙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 được 𝐶𝑖𝑗𝑚𝑚 (là một ten-sơ bậc hai) Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Phép thu gọn (contraction) chỉ số của ten-sơ Phép thu gọn là việc lấy tổng theo một cặp hai chỉ số giống nhau. Điều này làm giảm bậc của ten-sơ đi hai bậc. Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc hai 𝐴𝑖𝑗 được 𝐴𝑘𝑘 (là một ten-sơ bậc không) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc ba 𝐵𝑖𝑗𝑘 được 𝐵𝑖𝑙𝑙 (là một ten-sơ bậc nhất) Thu gọn chỉ số của ten-sơ bậc bốn 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 được 𝐶𝑖𝑗𝑚𝑚 (là một ten-sơ bậc hai) Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 𝑖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 𝑥𝑖: 𝜑,𝑚= 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑚 ; 𝑎𝑖,𝑗 = 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝑥𝑗 ; 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑙 = 𝜕2𝐶𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑙 Nếu 𝑖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 𝐴𝑗,𝑖 = 𝜕𝐴𝑗 𝜕𝑥𝑖 Nếu 𝑖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 𝑉𝑚,𝑚 = 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑥𝑚 = 𝜕𝑉1 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑉2 𝜕𝑥2 + · · ·+ 𝜕𝑉𝑛 𝜕𝑥𝑛 Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 𝑖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 𝑥𝑖: 𝜑,𝑚= 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑚 ; 𝑎𝑖,𝑗 = 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝑥𝑗 ; 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑙 = 𝜕2𝐶𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑙 Nếu 𝑖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 𝐴𝑗,𝑖 = 𝜕𝐴𝑗 𝜕𝑥𝑖 Nếu 𝑖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 𝑉𝑚,𝑚 = 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑥𝑚 = 𝜕𝑉1 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑉2 𝜕𝑥2 + · · ·+ 𝜕𝑉𝑛 𝜕𝑥𝑛 Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Quy ước viết đạo hàm với dấu phẩy Một dấu phẩy viết ở dưới được theo sau bởi một chỉ số dưới 𝑖 thể hiện phép lấy đạo hàm riêng theo biến/tọa độ 𝑥𝑖: 𝜑,𝑚= 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑚 ; 𝑎𝑖,𝑗 = 𝜕𝑎𝑖 𝜕𝑥𝑗 ; 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑙 = 𝜕2𝐶𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑙 Nếu 𝑖 vẫn còn là chỉ số tự do, bậc của ten-sơ kết quả sẽ cao hơn một bậc. 𝐴𝑗,𝑖 = 𝜕𝐴𝑗 𝜕𝑥𝑖 Nếu 𝑖 là chỉ số giả, bậc của ten-sơ kết quả sẽ thấp hơn một bậc. 𝑉𝑚,𝑚 = 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑥𝑚 = 𝜕𝑉1 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑉2 𝜕𝑥2 + · · ·+ 𝜕𝑉𝑛 𝜕𝑥𝑛 Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ Viết 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 𝑝 tương đương với việc viết 𝑎1𝑥 1 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥 3 = 𝑝 là phương trình của một mặt phẳng trong không gian 3 chiều 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. Véc-tơ đơn vị ν trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes x,y, z có các cô-sin chỉ phương được định nghĩa như sau: α1 = cos (ν,x),α2 = cos (ν,y),α3 = cos (ν, z) với (ν,x) là góc giữa véc-tơ ν và trục x, v.v. Khi đó: α𝑖α𝑖 = 1. Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi Quy ước viết Ví dụ Viết 𝑎𝑖𝑥𝑖 = 𝑝 tương đương với việc viết 𝑎1𝑥 1 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥 3 = 𝑝 là phương trình của một mặt phẳng trong không gian 3 chiều 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. Véc-tơ đơn vị ν trong không gian Euclid ba chiều với hệ tọa độ Descartes x,y, z có các cô-sin chỉ phương được định nghĩa như sau: α1 = cos (ν,x),α2 = cos (ν,y),α3 = cos (ν, z) v