Bài giảng Cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm

TS. Nguyen Van Khiem Email: nvkhiem2002@yahoo.com HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬQuantum Mechanics Taì liệu tham khảo 1. G.T. VẬT LÍ LÍ THUYẾT A.X. KOMPANHEETX. 2. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ A.X. ÐAVƯÐOV. 3. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ A.N. NATVEEV. 4. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ PHẠM QÚY TƯ 5. 6. 7. 8. Giáo trình cơ học lượng tử (ĐH Cần Thơ) ...... 9. Cơ học lượng tử (Nguyễn Văn Khiêm, Trần Văn Trung, Lê Văn Hồng và Nguyễn Xuân Phúc) MỞ ÐẦU  1. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 2. TÍNH CHẤT HẠT CỦA BỨC XẠ 2.1. Bức xạ của vật đen 2.2. Giả thuyết của Planck 2.3. Hiệu ứng quang điện-foton 3. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT DE BROGLIE 4. LÝ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR 5. HÀM LƯỢNG SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT I. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Vật lí học cổ điển là phần vật lí không kể đến thuyết tương đối của Einstein và thuyết lượng tử của Planck, nó dựa trên hai hệ thống lí thuyết cơ bản là cơ học của Newton và thuyết điện từ của Maxwell. Lí thuyết Newton là cơ sở cho cơ học và nhiệt học. Lí thuyết Maxwell là cơ sở cho điện từ học và quang học. Vật lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm đối với các hiện tượng vật lí mà người ta đã biết đến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ trong phạm vi ứng dụng cuả nó. Nhưng cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta thấy có những hiện tượng vật lí không thể giải thích được bằng các lí thuyết của vật lí học cổ điển, như tính bền của nguyên tử, bức xạ của vật đen.v.v. và từ đó đã dẫn đên khái niệm mới - bước đầu của việc phát triển môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ. Cơ học lượng tử là lí thuyết của những hệ nguyên tử và hạt nhân, chúng có kích thước cỡ . Những hạt có kích thước như vậy được gọi là những hạt vi mô. Cỡ Nano met Mọi sự quan sát cũng như diễn biến vật lý không thông thường như Cơ học cổ điển Ðối với các hạt vi mô, các quy luật của vật lí học cổ điển không áp dụng được nữa, khi nghiên cứu chúng, ta phải thay các quy luật cổ điển bằng các quy luật lượng tử.Các quy luật lượng tử thì tổng quát hơn, nó bao gồm cả các quy luật cổ điển, coi các quy luật cổ điển chỉ là các trường hợp riêng mà thôi Hạt? Không phải hạt .....hay mô tả bằng cách nào?......... II. TÍNH CHẤT HẠT CỦA BỨC XẠ: Theo cổ điển thì các loại bức xạ như tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rontgen, tia gamma đều là sóng điện từ lan truyền trong không gian. Năng lượng của sóng thì tỉ lệ vơiï bình phương biên độ nên chúng có thể có giá trị biến đổi liên tục. Nghiã là một vật có thể phát ra hay thu vào (dưới dạng bức xạ) những lượng năng lượng tùy ý. Do đó giá trị năng lượng của một vật là tùy ý (các giá trị đó là lấp đầy trục số - hay gọi là liên tục). Quan niệm này không thể chấp nhận được trong vật lí hiện đại, nó không thể giải thích được một số hiện tượng vật lí mà ta đã gặp. Sau đây là một ví dụ. Để minh hoạ, ta xét ví dụ sau: Xét một điện tích q chuyển động trong điện trường (tại một vùng không gian nào đó). Tại điểm M, điện tích chịu tác dụng một lực Trừ những trường hợp giới hạn, thông thường ta có thể coi là hữu hạn là hữu hạn Điều này kéo theo tính hữu hạn của gia tốc của điện tích, tức là kéo theo tính liên tục của vận tốc. Do đó, động năng của hạt cũng thay đổi liên tục Hơn thế, bằng cách thay đổi chính các đặc trưng của điện tích q, ta có thể làm cho số gia động năng của nó (sau một khoảng thời gian t cố định) bằng bao nhiêu tuỳ ý. Nói tóm lại, năng lượng mà điện tích và trường có thể được hoặc mất khi tương tác là đại lượng liên tục. Điều đó hiển nhiên cũng áp dụng cho cả trường hợp tổng quát hơn, đó là điện – từ trường SAI ???? Kết quả bất thường của việc giải bài toán về bức xạ của vật đen tuyệt đối (năng lượng bức xạ là vô hạn) đã buộc M. Planck vào năm 1900 phải đi đến một kết luận là các vật đều bức xạ hoặc hấp thụ năng lượng điện từ theo từng “lượng tử”. Tại sao lại sai? Và đúng đến đâu? Và sai đến đâu? Thí nghiệm về sự bức xạ của vật đen tuyệt đối Bức xạ của vật đen tuyệt đối Xét một vật đen phát ra bức xạ điện từ đồng thời hấp thụ năng lượng của những bức xạ chiếu tới. Nếu thực hiện được bức xạ cân bằng, nhiệt độ T của vật giữ không đổi. Năng lượng của bức xạ cân bằng có tần số góc biến đổi từ  đến  + d, chứa trong một đơn vị thể tích không gian bằng: (,T)d (1.1a) Đối với các bức xạ tần số lớn (vùng tử ngoại). Tích phân (1.1a) ta được năng lượng toàn phần  của bức xạ chứa trong một đơn vị thể tích không gian bằng vô cùng Không có ý nghĩa Vật lý Để giải quuyết vấn đề này Planck đã mô hình hoá vật đen tuyệt đối gồm một số hữu hạn các hạt là các dao động tử và giả thiết năng lượng của các dao dộng tử chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn, bằng một số nguyên lần lượng tử năng lượng nhỏ nhất E = n.  (n  N)) trong đó  tỷ lệ với tần số của dao động với là hằng số Planck thu gọn = 1,0545. 10-27 ec.s, và h là hằng số Planck h = 2 = 6,6256. 10-27 ec.s. Dùng phương pháp vật lý thống kê và giả thuyết Planck trên người ta đã thiết lập được công thức cho mật độ năng lượng bức xạ Như vậy mỗi nguyên tử trong vật thể bức xạ chỉ có thể bức xạ nang lượng gián đoạn, mỗi bức xạ tần số  có tính chất như một chùm hạt (photon) có nang lượng . Cụ thể, nếu sóng điện từ có tần số là  thì một hệ vật lý chỉ có thể hấp thụ năng lượng của sóng này theo từng lượng , trong đó n là số nguyên dương, h là hằng số Planck, bằng khoảng 6,63.10-34 Js. Lượng năng lượng gọi là lượng tử năng lượng (ứng với từ mà M. Planck đưa ra là “quantum” có nghĩa là “lượng nhỏ” hay “phần nhỏ”). Tư tưởng táo bạo này của M. Planck đã được A. Einstein áp dụng và phát triển để giải thích hiện tượng quang điện vào năm 1905 trong công trình về hiện tượng quang điện (công trình đoạt giải thưởng Nobel năm 1922), A. Einstein cho rằng, sóng điện từ không phải chỉ được phát ra (bức xạ) và thu vào (hấp thụ) theo từng lượng tử, mà còn tồn tại ở dạng các lượng tử. A. Einstein gọi các lượng tử đó là photon Hiệu ứng quang điện-foton: Ta hãy dùng giả thuyết Planck để giải thích hiệu ứng quang điện sau đây: Sơ đồ thí nghiệm được bố trí như hình vẽ. Chiếu ánh sáng đơn sắc vào catot (K) thì có thể làm bật electron ra khỏi kim loại và có dòng điện trong mạch, đó là dòng quang điện.Thí nghiệm cho biết đối với một kim loại làm catot thì III. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT  DE BROGLIE Theo giả thuyết về foton thì sóng điện từ có tính chất hạt. Ta có thể xem vấn đề ngược lại rằng: các hạt vi mô (có khối lượng nghỉ khác không) có tính chất sóng được không? Tính chất HẠT Tính chất SÓNG Sóng điện từ Hạt vi mô (Electron) Tư tưởng táo bạo (1905) M. Planck A. Einstein Ðể giải quyết vấn đề này, năm 1924 De Broglie đã đưa ra giả thuyết rằng Tính chất HẠT Tính chất SÓNG Foton Hạt vi mô  = pc E2= p2c2 + mo2c4. Hàm sóng của một điện tử của nguyên tử hydrogen có các mức năng lượng xác định (tăng dần từ trên xuống: n = 1, 2, 3,...) và mô men xung lượng (tăng dần từ trái sang: s, p, d,...). Vùng sáng màu tương ứng với vùng có mật độ xác suất tìm thấy điện tử cao, vùng sẫm màu tương ứng với vùng có mật độ xác suất thấp. Mô men xung lượng và năng lượng bị lượng tử hóa nên chỉ có các giá trị rời rạc như thấy trong hình. Ngày nay không còn ai nghi ngờ quan điểm lượng tử của M. Planck và A. Einstein nữa. Tuy nhiên, có một số điều cần nhấn mạnh để tránh gây ra hiểu nhầm. Lượng tử Sóng  Hạt Thứ nhất, Như trên đã nói, mỗi sóng điện từ với tần số cho trước ứng với một loại hạt photon. Điều này thể hiện “lưỡng tính sóng – hạt” của trường điện từ. Tuy nhiên, nhất thiết không được hiểu photon là các hạt dao động trên sóng, vì nếu như vậy thì năng lượng sóng có thể nằm ngoài photon, trong khi trên thực tế thì photon chính là “lượng năng lượng điện – từ”. Câu nói: “photon có năng lượng là ” là vô nghĩa, bởi vì photon chính là năng lượng . Photon  là năng lượng Từng lượng năng lượng (phần tử năng lượng  là photon Thứ hai, cái gọi là photon không phải là một vật thể nhỏ; nó không có tính cá thể và do đó ta không thể làm cái việc “đánh số các photon”, phân biệt “photon này” với “photon kia”. Điều này cũng giống hệt như tình huống sau: nếu cho hai vật lạnh vào một nơi có nhiệt độ cao hơn thì mỗi vật sẽ nhận được một lượng nhiệt. Hai lượng nhiệt được truyền cho hai vật, bản thân chúng không phải là hai vật, và nếu hai lượng nhiệt này bằng nhau thì việc phân biệt chúng với nhau là vô nghĩa. Chúng không phải là hai đối tượng vật lý khác nhau. Đối với trường điện – từ, việc ta nói rằng nó có tính hạt chỉ đơn giản có nghĩa là: năng lượng mà trường đó có thể cho hoặc nhận phải có tính lượng tử. Đối với sóng điện từ có tần số  thì lượng tử năng lượng là h. Mọi phát biểu về lượng tử năng lượng như một vật thể nhỏ đều hoàn toàn vô nghĩa. Tất cả những điều trên là khó hiểu. Vì vậy mà lý thuyết lượng tử đã được chấp nhận dần một cách RẤT KHÓ KHĂN. Tuy nhiên, không cần hiểu ngay và toàn bộ. Việc hiểu là kết quả của một sự nghiền ngẫm hàng năm, thậm chí hàng chục năm . Và rất may là trong khi còn hiểu khá mơ hồ, bạn vẫn có thể thao tác với công cụ toán học để giải quyết vấn đề này hoặc vấn đề khác. IV. Ý tưởng “trường hoá” vật chất nặng Theo quan điểm cổ điển, vật chất bao gồm hai dạng hoàn toàn khác nhau: “trường” và “các chất” (vật chất nặng). Các chất thì có cấu tạo từ các hạt có khối lượng nghỉ khác không. Trường thì không cấu tạo từ các hạt, đó là thứ vật chất vô hình, có tính liên tục, “thấm” vào mọi điểm của một vùng không gian. TRƯỜNG CÁC CHẤT Hạt có khối lượng nghỉ KHÁC 0 Hạt có khối lượng nghỉ BẰNG 0 Tuy nhiên, như đã nói ở trên, trường phải có tính lượng tử, tức là một nghĩa nào đó có tính hạt. Điều này đã gợi cho L. de Broglie một ý tưởng vừa giống vừa ngược với ý tưởng về lượng tử ánh sáng của M. Planck: phải chăng các thứ mà ta gọi là các hạt (electron, proton ....) lại cũng có tính chất sóng hay tính chất trường ? Từ ý tưởng như vậy, L. de Broglie đi đến một khẳng định mang tính chất tiên đề L . de Broglie (Hạt ?????) M. Planck (trường) PHẢI CHĂNG CÁC THỨ MÀ TA GỌI LÀ CÁC HẠT (ELECTRON, PROTON ....) LẠI CŨNG CÓ TÍNH CHẤT SÓNG HAY TÍNH CHẤT TRƯỜNG ? sự tương ứng “sóng - hạt” hay “trường – lượng tử” là liên hoàn. Nó mang tính chất của một luật “toàn vũ trụ”. Việc chấp nhận “trường hoá” một loại hạt đồng nghĩa với việc từ bỏ quan niệm về “CÁC HẠT NHƯ NHỮNG CÁ THỂ” hay như những vật thể nhỏ. Thay cho cụm từ “các hạt” nên nói đến “các lượng tử của trường”. Ví dụ, electron là lượng tử của “trường electron”. Việc phân biệt “hạt này” với “hạt kia” trở nên vô nghĩa. Việc một máy đếm hạt “bắt ” được một electron, chẳng hạn, chỉ có nghĩa là trong máy đó điện tích đã tăng thêm một lượng bằng e, và khối lượng tăng thêm một lượng là me. V. Bài toán cơ bản của Cơ học lượng tử CƠ HỌC NÓI CHUNG có nhiệm vụ là nghiên cứu nguyên nhân và diễn biến của chuyển động cơ học, tức là sự thay đổi vị trí và sự biến đổi của các đại lượng cơ học của các vật thể (lớn hoặc nhỏ). Vì vậy, nói một cách thực sự nghiêm túc thì trong VẬT LÝ LƯỢNG TỬ không thể có cơ học theo đúng nghĩa cổ điển cuả nó, DO TÍNH PHI CÁ THỂ VÀ DO SỰ VÔ NGHĨA CỦA CÁC KHÁI NIỆM CỔ ĐIỂN NHƯ VỊ TRÍ, QUỸ ĐẠO ..... Tuy nhiên, trong một số trường hợp, trường lượng tử có số các lượng tử (tạm gọi là số hạt) hoàn toàn xác định và không tăng – giảm trong suốt quá trình mà ta khảo sát. Đơn giản nhất là trường hợp trường có đúng một hạt. Bằng một số suy luận rất chung, người ta đưa ra các định nghĩa hợp lý cho các đại lượng như xung lượng, năng lượng,... của trường. Trong trường hợp trường có một hạt thì xung lượng của trường chẳng hạn được coi như xung lượng của chính hạt đó. là nghiên cứu quy luật biến đổi của trường với số hạt hoàn toàn xác định trong hoặc ngoài tương tác với các trường khác, và do tương ứng sóng - hạt, vấn đề trung tâm sẽ là nghiên cứu quy luật biến đổi của hàm sóng hay hàm trường, tức là hàm mô tả trạng thái của trường (ví dụ như hàm (1.1)). Trong trường hợp số hạt hoàn toàn xác định thì hàm trường còn được gọi là hàm trạng thái của hệ hạt. BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ???? (1.1) Chuyên đề 1: Tìm hiểu về điện tử: quan niệm cổ điển, lượng tử, hàm sóng của điện tử tự do Chuyên đề 2: Tìm hiểu về đại lượng vật lý: cách mô tả các đại lượng vật lý - thực nghiệm và lý thuyết (mô tả bằng toán học) theo quan niệm cổ điển, lượng tử Chuyên đề 3: Tìm hiểu về năng lượng - hạt (khối lượng nghỉ, khối lượng động) - sóng: theo quan niệm cổ điển, lượng tử Câu hỏi 1: Tại sao ta lại chuẩn hoá hàm sóng, ý nghĩa và cách chuẩn hoá hàm sóng