Bài giảng Cơ học vật bay

1 MỤC LỤC CHƯƠNG1: NHỮNG TÍNH CHẤT VẬT LÍ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG VÀ CHẤT KHÍ 1 1.1. Tính chất chung của chất lỏng và chất khí 1 1.2. Các đại lượng vật lí 2 1.3. Các phương trình cơ bản 9 1.4. Lực cản 12 CHƯƠNG 2: CÁC CHẾ ĐỘ BAY KHÁC NHAU. 15 2.1. Các trục tọa độ. 15 2.2. Chế độ bay ngang đều 18 2.3. Chế độ bay lên đều 19 2.4. Chế độ chuyển động bay xuống đều 21 2.5. Chế độ cất cánh 23 2.6. Chế độ hạ cánh 26 2.6.1. Hệ số tải trọng 26 2.6.2. Chế độ bay liệng chuẩn ( Virage ). 26 2.7. Đồ thị tọa độ cực và các điểm bay đặc biệt 28 2.7.1. Đường lực nâng và đường đặc tính cực (Polaire) của máy bay 28 2.7.2. Đường đặc tính “Máy bay” 29 2.7.3. Đường đặc tính động cơ 30 2.7.4. Đường đặc tính tổng hợp động cơ_ máy bay 33 CHƯƠNG 3: ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN MÁY BAY 40 3.1. Các hệ trục toạ độ 40 3.1.1. Hệ toạ độ cố định Oxyz gắn cố định với mặt đất. 40 3.1.2. Hệ trục chuyển động tịnh tiến cùng máy bay 40 3.1.3. Hệ trục gắn cố định với máy bay 40 3.1.4. Hệ tọa độ không tốc 40 3.1.5. Hệ tọa độ địa tốc hay hệ toạ độ quỹ đạo 40 3.2 Ổn định tĩnh trong chuyển động dọc của máy bay 43 3.2.1. Mômen khí động tác dụng lên cánh trong chuyển động dọc trục 43 3.2.2. Mômen khí động tác dụng lên đuôi ngang của máy bay trong chuyển động dọc 45 3.3.3. Momen khí động tác dụng lên thân máy bay trong chuyển động dọc 48 3.3.4. Momen do lực đẩy của động cơ 48 3.2.5. Sự ổn định dọc tĩnh của máy bay 49 3.2.6. Điểm trung hoà 51 3.3 Sự điều khiển chuyển động dọc của máy bay 52 3.3.1. Các mặt điều khiển 52 3.3.2. Điều khiển chuyển động dọc băng đuôi lái ngang 52 3.3.3. Góc của đuôi lái ngang lúc bay ổn định 54 3.3.4. Sự ổn định hướng của máy bay 54 3.3.5. Sự điều khiển hướng máy bay 56 3.3.6. Sự ổn định nghiêng 57 3.3.7. Sự điều khiển độ nghiêng 59 3.4. Các phương trình chuyển động cơ bản 60 3.4.1. Các phương trình cơ bản 60 3.4.2. Phương pháp tuyến tính hoá để giải các phương trình động lực học bay 62 3.4.3. Tính toán hệ số đạo hàm khí động 66 2 3.4.4. Phương trình chuyển động dưới dạng ma trận 71 CHƯƠNG 4: ỔN ĐỊNH ĐỘNG HỌC MÁY BAY 78 4.1. Một số khái niêm cơ bản 78 4.1.1. Biên độ phức của hàm điều hoà 78 4.1.2. Biên độ phức của hàm bất kỳ. Phép biến đổi Fourier 78 4.1.3. Phép biến đổi Laplace 79 4.2. Tính chuyển động dọc của máy bay 80 4.2.1. Ma trận hàm truyền và ma trận độ cứng khí động của máy bay trong chuyển động dọc trục 80 4.2.2. Tính chuyển động dọc của máy bay dưới tác động của không khí bị nhiễu động 82 4.2.3. Tính dao động dọc tự do của máy bay lúc không có điều khiển 83 4.2.4. Dao động dọc trục của máy bay khi có điều khiển đuôi lái ngang δe 85 4.2.5. Tiêu chuẩn đánh giá tính chất lượng máy bay 86 ÁP DỤNG KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH ĐỘNG HỌC MÁY BAY 91 1. Các thông số của máy bay 91 2. Phân tích chất lượng máy bay 93 3 CHƯƠNG1: NHỮNG TÍNH CHẤT VẬT LÍ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG VÀ CHẤT KHÍ Lực khí động và mô men tác động vào vật thể bay phụ thuộc vào kích thước hình học của vật bay, vận tốc cũng như tính chất xung quanh vật bay. Khi nghiên cứu Cơ học vật bay, chúng ta phải quan tâm tới tính chất vật lí của chất khí như áp suất, nhiệt độ, khối lượng riêng, độ nhớt, vận tốc âm thanh ở độ cao mà vật bay chuyển động. 1.1. Tính chất chung của chất lỏng và chất khí Chất lỏng là một dạng vật chất được đặc trưng bởi hai đặc điểm, đó là nó có thể tích và không có hình dạng nhất định. Chất lỏng có khả năng chống nén tương đối lớn, nghĩa là nó thay đổi thể tích rất ít, khi thay đổi áp suất và nhiệt độ. Mặt khác, do lực liên kết giữa các phần tử không lớn lắm nên nó chống lại rất yếu các biến dạng trượt. Tính chất này làm nó không có hình dạng riêng của mình, mà luôn mang hình dạng của vật chứa nó. Điều này làm cho chất lỏng có tính chất giống như chất khí. Chất lỏng khác chất khí ở chỗ, nó còn phần nào chống lại lực kéo dãn. Trong khi đó chất khí hoàn toàn không có khả năng này. Điều này có thể giải thích là do lực tác dụng tương hỗ giữa các phẩn tử khí nhỏ hơn rất nhiều so với trong chất lỏng. Chính vì vậy chất khí không chỉ có khả năng điền đầy bất cứ khoảng không nào chứa nó, mà còn có thể thu nhỏ đáng kể thể tích của mình khi chịu áp suất lớn. Ở những điều kiện nhiệt độ cao và áp suất thấp thì các tính chất của chất lỏng và chất khí hoàn toàn giống nhau. Khoảng cách giữa các phần tử chất khí thường rất lớn so với kích thước phân tử của chất khí. Do vậy khí nghiên cứu chất khí người ta thường bỏ qua thể tích của các phân tử và lực tác dụng tương hỗ giữa chúng. Mô hình khí như vậy được gọi là khí lí tưỏng. Mặc dầu trong thực tế không có khí lí tưởng, tuy nhiên khi nhiết độ cao và áp suất thấp thí các chất khí thực rất giống khí lí tưởng. Trong khí động học, mọi tính toán đều được thực hiện trên mô hình lí tưởng và kết quả thu được vẫn hoàn toàn phù hợp với thực tế. Mặc dù môi trường khí là môi trường rời rạc. Nhưng khi nghiên cứu chuyển động của chất khí và sự tác dụng tương hỗ giữa chất khí và vật thể chuyển đông, trong đó người ta vẫn coi chất khí là môi trường liên tục. Đây là giả thiết về tính liên tục của môi trường khí do Đalămbe đưa ra vào năm 1744 và Ơle đưa ra vào năm 1753. Nhờ các giả thiết liên tục này mà người ta có thể coi các đặc trưng của dòng khí là những hàm liên tục của toạ độ không gian và thời gian. Do đó có thuận lợi trong việc sử dụng các công cụ toán học. Đối với không khí loãng, khi mà quãng đường tự do của các phân tử khí tương đương với kích thước của vật chảy bao. Giả thiết liên tục này không còn đúng nữa. 4 1.2. Các đại lượng vật lí 1- Áp suất : áp suất là áp lực tác dụng vuông góc lên một đơn vị diện tích. Áp suất trung bình được tính theo công thức sau : F Ap  (1.1) F : lực theo phương pháp tuyến (n) A : diện tích (m2) Quan hệ giữa áp suất p, khối lượng riêng  và nhiệt độ T được thể hiện trong phương trình trạng thái p = rT (1.2) Trong đó r là hằng số chất khí. Đối với không khí r = 287 J/kg.K 2- Nhiệt độ : Nhiệt độ của không khí là một thông số quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến các tính chất vật lí của không khí như khối lượng riêng và độ nhớt. Khi nhiệt độ tăng đối với chất khí, chuyển động của các phân tử mạnh lên, do đó độ nhớt cũng tăng lên. Còn đối với chất lỏng như nước hoặc dầu, khi nhiệt độ tăng lên, lực liên kết giữa các phân tử giảm, dẫn tới độ nhớt giảm. Điều đó có nghĩa khi máy bay chuyển động với vận tốc lớn, ma sát giữa dòng khí với vật rắn sinh nhiệt lớn, làm cho hệ số nhớt tăng. Lúc này mô hình chất khí không nhớt sẽ không còn chính xác nữa và việc khảo sát chất khí nhớt coi là bắt buộc. Để đo nhiệt độ người ta dùng thang độ Kelvin (oC) hay Rankine (oK). Quan hệ giữa hai thang độ đó là : T0K = T0C + 273 (1.3) Trong tầng đối lưu nhiệt độ trung bình giảm 6,5 độ khi độ cao tăng 1000 m. Bề dầy tầng đối lưu được xác định từ mặt đất đến chỗ kết thúc quá trình giảm nhiệt độ. Bề dầy này thay đổi theo vĩ độ và theo mùa. Cụ thể ở vùng nhiệt đới bề dầy này vào khoảng 17-18 km, còn lại ở hai cực của Trái đất bề dầy của tầng đối lưu là 8 km. Người ta thường lấy trung bình bề dầy tầng đối lưu là 11 km và vì thế nhiệt độ ở mặt trên tầng đối lưu là khoảng 216 OK ( tức là - 56 OC ) Những quy luật thay đổi các thông số trong Khí quyển chuẩn thường được thiết lập trên cơ sở các số liệu thống kê thực tế. Chúng có dạng : - Đối với tầng đối lưu : T = TO - 0,0065.Z ( km) 11000 6340 11000 6340 11 11 Z Z p p e e        (1.4) - Đối với tầng bình lưu T11 = 216,5OK = const (1.5) Trong đó T11, P11 và 11 là các thông số ứng với độ cao 11 km 5 Hình 1.1: Nhiệt độ thay đổi theo độ cao trong lớp khí quyển 3- Khối lương riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng - Khối lượng riêng  là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng ( z là chỉ số chỉ độ cao, M là khối lượng (kg), V là thể tích của chất lỏng ( m3). 28 11 22 216. Hình 1.2 : Nhiệt độ thay đổi đến độ cao 22km Z km T(K) 1km 6.5o 6 3[ ] KgM Z V m    (1.6) z là độ cao (km). Với t=150 và z=0 => - Trọng lượng riêng  là trọng lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng: 3[ ] Mg N Z V m    (1.7) -Tỷ trọng là tỷ số  giữa khối lượng ( trọng lượng) của không khí ở độ cao z và khối lượng ( trọng lượng) của không khí ở mặt đất z= 0 km. (1.8) z là độ cao đo bằng km. 4- Tính nén của chất lỏng : là khả năng thay đổi khối lương riêng  thí dụ khi áp suất thay đổi. Để biểu diễn độ nén ta dùng tỷ số Thứ nguyên của tỷ số 1 2 3 2 2dp ML T d ML L T      (1.9) có thứ nguyên là vận tóc bình phương và đó chính là vận tốc âm bình phương => vận tốc âm. (1.10) Nếu giả thiết không có sự trao đổi nhiệt bên ngoài và không có tổn hao, ta có thể sử dụng định luật Poisson trong trường hợp này: (1.11) Cho chất lỏng là không khí. Cp: Nhiệt dung riêng đẳng áp ( Cho không khí Cp = 1000) Cv: Nhiệt dung riêng đẳng tích ( Cho không khí Cv = 713) r = (Cp – Cv): Hằng số chất khí ( Cho không khí: r=1000-713=287) a (m/s): Vận tốc âm cho không khí được tính như sau : (1.12) 7 - Số Mach (M): Tỷ số giữ vận tốc dòng khí và vận tốc truyền âm 0 < M < 0.5 : dòng chảy dưới âm chất lỏng không nén được 0.5 < M < 0.8 : dòng chảy dưới âm chất lỏng nén được 0.8 < M < 1.2 : dòng chảy cận âm 1.2 < M < 5 : dòng chảy trên âm M > 5 : dòng chảy siêu âm 5- Tính nhớt - số Reynolds và lớp biên : - Tính nhớt là khả năng của chất lỏng có thể chống lại lực trượt, nói cách khác nó đặc trưng cho mức độ di động của chất lỏng. Khi chất lỏng chuyển động, nó chảy thành từng lớp với vận tốc khác nhau, do đó trượt lên nhau. Giữa chúng xuất hiện lực ma sát gọi là nội ma sát hay ma sát trong. Đặc tính của chất lỏng gây ra lực ma sát trong gọi là tính nhớt và lực ma sát gọi là lực nhớt. Theo Newtơn ứng suất nhớt được xác định bởi biểu biểu toán học sau: 2[ / ]duTS dn N m   (1.13) Trong đó: T là lực nhớt, du/dn là gradient vận tốc theo phương n vuông góc với hướng dòng chảy,  là hệ số nhớt động lực (hệ số  được đo bằng Poazơ (P), 1P = 10- 1Ns/m2). Giả thiết cho hai dòng khí chuyển động gần nhau có khoảng cách dn với các vận tốc u và u+du, ta sẽ xét một thành phần diện tích tiếp xúc dS. Nếu dòng là lý tưởng thì sẽ không có lực nhớt, nhưng trong thực tế với dòng chẩy thực thì sẽ xuất hiện một thành phần lực nhớt: n udSdF    .. (1.14) Ta thấy lực nhớt này tỉ lệ với diện tích tiếp xúc, gradien vận tốc và hệ số nhớt ,. Độ nhớt của một chất khí phụ thuộc vào nhiệt độ tính theo công thức gần đúng sau : 76,0 00        T T   cho không khí với  được tính bằng Poazơ (Poiseulle) hoặc Pa.s Với chất khí: 60 10.15,17  Poazơ ở nhiệt độ T0= 273 0K 8 610.89,17  Poazơ ở nhiệt độ T0= 273+150K - Chú ý rằng độ nhớt của chất khí giảm theo nhiệt độ do vậy sẽ giảm theo chiều cao. Như vậy cho độ cao kmZ 11 , T= (288-56)0K và 610.21,14  . - Nếu mỗi chất khí được đặc trưng bởi 0 của nó, công thức này sẽ không đúng đối với chất lỏng như nước hoặc dầu. Đối với chất lỏng này, độ nhớt sẽ giảm khi nhiệt độ tăng (dầu của động cơ vào mùa đông sẽ tốt hơn trong mùa hè). - Số Reynolds là số không thứ nguyên diễn tả tỷ số giữ lực của áp suất động lực học và lực nhớt  LV e .  V : vận tốc của máy bay hoặc của điểm cần xét (m/s) L : độ dài dây cung hay toạ độ điểm cần xét đến (m).     : độ nhớt động học (m2/s). Độ lớn của số Reynold trong chuyển động bay của máy bay khoảng 104 dến 107. - Số Reynolds cục bộ: khi thay L = x là toạ độ của điểm cần xét. Như vậy mỗi điểm của đường dòng chảy bao cánh có một số Reynolds khác nhau. Ví dụ: tại A: .e 0 tại B:  b e xV .  Với profil :  c e xV .  Với một hình cầu :    .V e cũng giống với một ống có đường kính . - Lớp biên Ta biết rằng, khi chất lỏng thực bao quanh một vật đứng yên, do tính nhớt nên các lớp sát thành dính vào bề mặt vật. Vì vậy, vận tốc của dòng chảy trên mặt vật bằng không. Khi ra xa vật theo phương phấp tuyến với bề mặt, vận tốc sẽ tăng dần và tại khoảng cách nào đó, kí hiệu là  , nó sẽ gần bằng vận tốc của dòng bên ngoài  ~0,995u u  . Lớp chất lỏng có chiều dày  đó được gọi là lớp biên. Độ dày  phụ thuộc vào vị trí điểm xét đến ở trên mặt vật. Độ dày lớp biên sẽ phát triển từ thượng lưu (khoảng vài mm) đến hạ lưu ( khoảng vài cm) của mặt vật. 9 Ảnh hưởng của nhớt chỉ tồn tại ở lớp mỏng sát với thành vật. Đối với dòng ở bên ngoài lớp biên, dòng không chịu ảnh hưởng của lực nhớt. Phân bố vận tốc của lớp biên chảy tầng và chảy rối cũng khác nhau. Năng lượng của lớp biên rối lớn hơn nhiều so với lớp biên chảy tầng. - Dòng chảy tầng và chảy rối:  Với cùng vận tốc, Gradien vận tốc n V   trong trường hợp chảy rối lớn hơn do vậy gần thành mỏng => ứng suất tiếp sẽ lớn hơn.  Ở cùng vận tốc : lamiturb   .  Trong trường hợp chảy rối, ở rất gần thành vật sẽ xuất hiện một lớp chảy tầng rất mỏng dưới nó có chiều dày  turbLL % 1 . - Đặc tính cơ bản của lớp biên: constVP  2 . 2 V  giảm chiều dày lớp biên. P được bảo toàn trên chiều dài cơ bản. - Dòng chảy trên tấm phẳng: V và P là không đổi trên chiều dài tấm tại góc tới bằng 0. Với số Re nhỏ, ta có dòng chảy tầng. Ta có dạng độ dày lớp biên: x e .92,4   10  biến bậc hai của x  .  với x cho trước:  nếu V . - Lớp biên trên mặt cong: Khi dòng chảy bao quanh mặt cong thường xảy ra hiện tượng khá quan trọng : xuất hiện điểm rời của lớp biên. Ta khảo sát dòng bao quanh mặt cong AB (hình vẽ): hình 1.6. Giả sử áp suất của dòng ngoài dọc AB lúc đầu giảm, đạt giá trị cực tiểu ở M rồi sau đó tăng. Miền dòng ngoài mà tại đó građien áp suất âm ( 0   x p ) gọi là điểm thu hẹp dần. Miền chuyển động sau điểm M có građien áp suất dương ( 0   x p ) gọi là điểm mở rộng dần. Tại miền thu hẹp dần dòng ngoài sẽ tăng tốc, còn ở miền rộng dần dòng sẽ bị hãm. Vì trong lớp biên, 0   x p , nên có thể kết luận là phân bố áp suất cũng sẽ tương tự như thế trong bất kỳ khoảng cách y -  trong lớp biên trên đoạn AB. Trong phạm vi lớp biên, vận tốc điểm M sẽ tăng, còn sau M thì giảm. Đến mặt cắt S nào đó, các phần tử chất lỏng ở sát bề mặt AB không thể thắng ảnh hưởng hãm của dòng ngoài và chúng bị dừng lại. Tại S sẽ có: 0 0         yy u 11 Sau điểm S, dưới tác dụng của độ chênh áp suất ngược chiều dòng chảy, các phần tử ở sát bề mặt AB sẽ bắt đầu chuyển động ngược, gọi là dòng thứ cấp. Gặp dòng chính, dòng thứ cấp sẽ bị đẩy ra khỏi bề mặt AB, dẫn đến hiện tượng tách rời lớp biên. Điểm S được gọi là điểm rời của lớp biên. 1.3. Các phương trình cơ bản 1. Phương trình liên tục dạng tổng quát 0)(    Vdiv t    (1.15) 2. Phương trình bảo toàn động lượng )(. pgradVVgrad t V Dt VD             (1.16) 3. Phương trình Becnulli cho chất lỏng lí tưởng (1.17) 4. Phương trình Saint-Venant (1.18) 5.Phương trình Hugoniot (1885) (1.19) Hình 1.7 : Dòng chảy qua ống phun cte g vpz  2 2  2 2pt VC T const  2( 1)dS dVM S V   12 M 0:   V dV A dA V dV A dA M > 1: 1 – M2 < 0:   V dV A dA V dV A dA M = 1: 1 – M2 = 0: 00  V dV A dA 6. Quan hệ giữa nhiệt độ và vận tốc Nhiệt độ toàn phần Tt ( hoặc Ti) Nhiệt độ tĩnh T (có thể kí hiệu làTo hay Ts) Theo công thức Saint-Venant ta có : 2 0 0 2p p i VC T C T  (1.20) 2 2 oV C pT i T o  (1.21) Cho không khí, ta có Cp = 1000 2 2 0 0 0 oVT i T o  (1.22) Thành lập hàm nhiệt độ theo số Mach TC V T T p t 2 1 2  a2 = rT constK p   ; rT ppKp              11 2 22 2 2 2 11 22 1 2 1 a VV C CC a r C V T T p vp p t     1 111                    p v p vp C C C CC . Ta có M = V/a, do vậy ta có )( 2 11 1 2 MM T T t           (1.23) Cho  = 1,4, công thức (1.31) có thể viết dưới dạng : Tt = Ts (1 + 0,2M2) (1.24) 13 7. Quan hệ giữa các thông số của dòng khí một chiều đoạn nhiệt    t t tt pp T T p p  ; 0           ttp p trong đó: 1                       t t t t tt p p T T 1 1 1 1211 2t t T M T                  (1.25) 1211 2t t p M p                 (1.26) Các thông số gắn với chỉ số c gọi là các giỏ trị tới hạn (critique- những giỏ trị tại M = 1) Ta được: 1 2   t c a a ; 1 2   t c T T ; 1 1 1 2             t c ; 1 1 2            t c p p Lưu lượng cho bởi G = VA = cVcAc = cacVc, với: V a a a a a V a A A t t ct t ccc c        Do đó ta được: )( 2 11 1 21 )1(2 1 2 )1(2 1 MfM MA A c                         (1.27) Hình 1. 8 : Quan hệ mặt cắt thiết diện ngang của ông phun với số M 14 1.4 Lực cản Phương pháp thông thường là ta tách riêng từng loại lực cản ra để tính rồi sau đó kết hợp chúng lại. Việc này thường gây sai số khí tính lực cản. Do ảnh hưởng của tính nhớt mà các lớp biên trên các bộ phận tác động lẫn nhau tạo ra các lực cản khác nữa và được gọi là lực cản giao thoa. Trên thực tế, khoảng cách giữa các bộ phận, cường độ rối, độ nhám trên bề mặt... cũng ảnh hướng tới lực cản. Ta có thể viết phương trình lực cản của máy bay như sau: D=k(DCánh+Dthân+Dvỏ động cơ +...) trong đó, k là hệ số giao thoa lực cản. Lực cản trên cánh là: 21¸ 2c nh L ND C V S trong đó, SN là diện tích cánh, phần cánh chôn trong thân không tính đến ở đây. Lực cản của các thành phần khác cũng được tính tương tự, chia cho SV221  ta được hệ số lực cản:        ... S S C S SC S SCkC codéngvácodéngváDthanthanDNcanhD Trong đó, CDthân là hệ số lực cản của thân máy bay trên diện tích cánh Sthân, ... Lực cản thân phụ thuộc diện tích ướt, càng máy bay... Dưới đây là một sơ đồ phân tích lực cản trên máy bay: hình 1.9. Hình 1.9 : Các thành phần lực cản Khi xét lực cản biên dạng cánh ba chiều trong dòng chảy thực ta phải tính đến lực cản cảm ứng. Do xải cánh là hữu hạn nên nó gây ra xoáy đầu cánh, ta có lực cản xoáy đầu cánh hay lực cản cảm ứng. Trong một dòng chảy có độ nhớt, việc xuất hiện lớp biên làm thay đổi đường dòng do đó nó gây ra lực cản, nó còn được gọi là lực cản áp suất vuông góc với bề mặt biên dạng profil cánh tuy nhiên tên thường gọi là lực cản biên dạng; với loại máy bay vận tốc thấp, tổng hợp lực ma sát bề mặt và lực cản biên dạng gọi chung là lực cản profil. Ảnh hưởng của lớp biên cũng làm giảm đường cong lực nâng của cánh do đó bề mặt của nó nghiêng hơn theo hướng chuyển động, ta có lực cản nhớt phụ thuộc lực nâng. Nếu vận tốc máy bay đủ lớn để xuất hiện sóng va thì xuất hiện một lực cản áp suất. Tại lực nâng bằng không, nó có tên gọi là lực cản sóng 15 do chiều dày, hiệu ứng góc tấn làm biến đổi sóng va gây nên một lực cản, lực cản sóng do lực nâng. Hình 1.10: Sự biến thiên của hệ số cản ma sát trên mặt phẳng theo số Reynolds Vẫn có một số loại lực cản không có trên hình vẽ. Đầu tiên là lực cản do chảy tràn, lực cản này sinh ra do tác động của dòng khí đi ra khỏi động cơ chảy bao quanh các thành phần khác của máy bay; nó là loại lực cản chỉ quan trọng trong trường hợp bay trên âm. Thứ hai, lực cản gây ra do điều khiển các thành phần khí động máy bay như các cánh tà, tấm cản lưng, cánh lái,... Lực ma sát bề mặt trên cánh cũng được tính như trên các