Bài giảng Cơ sở của mô hình hóa hình học

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 2 CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. 2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG. Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện. 2.1.1 Biểu diễn đường cong. Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng: - Phương trình ẩn. - Phương trình tường minh. - Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình: 01),( 22 =−+= yxyxf : Phương trình ẩn (2.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là: 2/1)1()( xxgy −== : Phương trình tường minh (2.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có: θθ cos)( == xx ; θθ sin)( == yy : Phương trình tham số (2.3) Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì )1/( +== xytgt α Kết hợp với phương trình (2.1) ta có: )1/()1()( 22 tttxx +−== ; )1/(2)( 2tttyy +== (2.4) Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá. Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số: )(txx = ; )(tyy = ; )(tzz = hay dưới dạng vectơ: )](),(),([)( tztytxtr = y x y P(x,y) o θ y x y P(x,y) o α Q Hình 2.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong. 2.1.2 Đặc tính của đường cong. Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc: )](),(),([)( tztytxtrr == Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm: a. Độ chảy của đường cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong. 1. Độ chảy: Độ lớn của vectơ đạo hàm )(tr& được gọi là độ chảy của đường cong: )()( trts && = (2.5) Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá. 2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho: dttrs ∫= θ 0 )(& Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: dsdrT /= (2.6) hay dưới dạng vi phân: )(/)( trtrT &&= (2.7) 3. Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: dsdTdsdTdtdtdtdTN //)/(//)/( ≡= (2.8) Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2). Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: B = TxN T N Đường tròn mật tiếp Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 4. Độ cong và bán kính cong: Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: dsdTk /= (2.9) hay dưới dạng vi phân: 3r rr k & &&&×= (2.10) trong đó: dtrdrdttdrr /;/)( &&&& ≡≡ . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y = y(x), phương trình trên có dạng: 2/32 )1/( yyk &&& += trong đó: dxdyy /≡& ; dxydy /&&& ≡ Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: k/1=ρ (2.11) 5. Độ xoắn của đường cong: Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: NdsdB )./(−=τ trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet: ;/ Tdsdr = kNdsdT =/ kTBdsdN −=τ/ ; 1/ −−= NdsdB τ (2.12) 2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG. 2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn. Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt cầu thoả bất đẳng thức: 01222 <−++ zyx và phương trình: 01222 =−++ zyx (2.13) biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0. 2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: )],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvur = (2.14) trong đó: u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: )sin,sincos,cos(cos),( vuvuvvur = (2.15) C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH với: π20 ≤≤ u và 2/2/ ππ ≤≤− v Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte ),( yvxu ≡≡ , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số: )),(,,(),( vuzvuvur = hay ),( yxzz = (2.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh: 2/122 )1( yxz −−= với 1)( 22 ≤+ yx (2.17) 2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) (Hình 2.4): Ttvtutq )](),([)( = (2.18) Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho: r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19) Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 2.3. Ta thường gọi phần mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp. u (u=0,v=0) v điểm gốc đường biên (u=1,v=1) đường sinh phương v đường sinh phương u mặt lưới · · · Hình 2.3 : Hình học mặt cong q(t) v u ru r(u,v) r(t) rv r& u v Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến Trường hợp đặc biệt của (2.19) là đường cong đẳng tham số: ttvuu ttuvv == == )(, )(, * * C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Vectơ tiếp tuyến. Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau: urru ∂∂= / ; vrrv ∂∂= / ; vurruv ∂∂∂= /2 (2.20) Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có: vrur dt dv v r dt du u r dt drr vu &&& +=∂ ∂+∂ ∂== (2.21) trong đó: r& là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của đường cong đẳng tham số u = u* , v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r& , ru, rv xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4). Vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi: vuvu rrrrn ××= /)( (2.22) Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. Ma trận cơ sở thứ nhất. Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: qvrurr vu &&&& Λ=+= (2.23) trong đó: vu rr ,=Λ ; Tvudtdvdtdudttdqq ][)/,/(/)( &&& === . Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau: qGqqqrrr TTTT &&&&&&& =ΛΛ== )()(2 (2.24) trong đó: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=ΛΛ= vvvu vuuuT rrrr rrrr G .. .. : Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25) Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau: 2/1)/()(/ qGqqrrT T &&&&& Λ== (2.26) Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau: dudvGdudvrrS vu 2/1∫∫∫∫ =×= (2.27) 2.2.3 Độ cong. Ma trận cơ sở thứ hai. Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau: vuvvvuuvuu rvrurvvrurvruur &&&&&&&&&&&& +++++= )()( (2.28) Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có: qDqnrvnrvunrunr Tvvuvuu &&&&&&&& =++= .)(.2.)(. 22 (2.29a) trong đó: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= v u q & && ; và ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= nrnr nrnr D vvuv uvuu .. .. : ma trận cơ sở thứ hai. C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Độ cong pháp tuyến. Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau: )()( kNssTsTsTs dt Tsd dt rdr &&&&&&&&&&&& +=+=== Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0: nkNsnr .)(. 2&&& = (2.29b) Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng rs && = , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công thức sau: qGq qDq s qDq s nrnkNk T TT n && && & && & && ===≡ 22 )()( .. (2.30) Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q& . Độ cong chính. Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q& : qGq qDqqk T T n && &&& =)( Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức: 022 =−=∂ ∂ qGkqD q k n n &&& (2.31) Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác định từ (2.30) như sau: a acbbkn 2/12 1 )( −+= ; a acbbkn 2/12 2 )( −−= (2.32) trong đó: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== 2 1 gh hg Ga ; ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== 2 1 de ed Dc ; ehdgdgb −+= 2 1221 Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D. Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong. C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ. Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s (sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35) Phép biến đổi đồng nhất. Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ: x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36) trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng. Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M: P’h = PhM (2.37) trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1) x ty P(x,y) y P’(x’,y’) tx o a) x P(x,y) y P’(x’,y’) o b) x r P(x,y) y P’(x’,y’) α o c) r θ Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 010 001 yx tt T ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 00 00 y x s s S ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 100 0cossin 0sincos θθ θθ R 2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (2.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S): P’h = PhT (2.40a) P’h = PhS (2.40b) trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0100 0010 0001 zyx ttt T ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1000 000 000 000 z y x s s s S Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1). Bảng 2.1 Phép quay cơ bản X’ Y’ Z’ quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ quanh trục z ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ): ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −= 1000 00 00 0001 ),( CS SC xR θ ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − = 1000 00 0010 00 ),( CS SC yR θ ; S 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 0 0 0 1 C S C R z C θ ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.41) C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau: (x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42) trong đó: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 1 0 0 0 333231 232221 131211 t R ttt rrr rrr rrr H zyx hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43) Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa các vectơ hàng của R: n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (2.44) thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả điều kiện: n x o = a; o x a = n; a x n = o và 1=== aon (2.45) 2.3.3 Phép ánh xạ. Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ. Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ. C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện: P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H trong đó: P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z) P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’) H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’). 2.3.4 Khung toạ độ. Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ toạ độ. Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6). Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu: ih = (1 0 0 1) ; jh = (0 1 0 1) ; kh = (0 0 1 1) (2.46) Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất: i’h = ih H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a) j’h = jhH = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b) k’h= khH = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c) Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42). Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự: P’h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (2.48) Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ. Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố định). r’ = rH i z y n a o H t j k Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động r’ P r Viết lại biểu thức (2.42) ta có: P’h = Ph H hay: Ph = P’h H-1 C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH trong đó: Ph = (r 1) = (x y z 1) P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1) r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc. r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống). ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 zyx zyx zyx zx ttt aaa ooo nnn H y ; ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −−− =− 1... 0 0 0 1 tatotn aon aon aon H zyz yyy xxx n = (nx ny nz) ; o = (ox oy oz) ; a = (ax ay az) ; t = (tx ty tz) Tóm lại: Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình. Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận: Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm riêng ru, rv của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường cong đẳng tham số của mặt cong.