Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và dt a gr .
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt lượng Q2δ dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử khí có nhiệt độT1> T2, cách dS một đoạn x bằng quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong thời gian τ d , như hình H2.
22 trang |
Chia sẻ: haohao89 | Lượt xem: 5158 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Dẫn nhiệt ổn định, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
6
CHƯƠNG 2
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH
2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT
2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt
Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn
nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và dtagr .
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt
lượng Q2δ dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử
khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng
quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong
thời gian τd , như hình H2.
Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω
của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:
τω= dSdn
6
ind 0
2
Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là
τω== dSdn
6
1kT
2
indEEd 01
2
11
2 và
τω== dSdn
6
1kT
2
1ndEEd 02
2
22
2 ,
trong đó K/J10.3806,1
02217,6
8314
N
R
k 23
A
−µ === là hằng số Boltzmann, NA là số
phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí.
Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:
τω−=−=δ dSdn
6
1)TT(k
2
ind)EE(Q 021
2
21
2
Vì x2
x
TTT 21 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−=− và
Hình 2. Để tìm dòng nhiệt q
7
v
A
0
A
00 C3
1R
2
i
N
n
3
1
N
R
n
6
ikn
6
i ρ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
µ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ µ== µµ nên có:
τ∂
∂⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ωρ−=δ dSd
x
TxC
3
1Q v
2 , ddawtj xC
3
1
vωρ=λ thì có x
Tq
Ss
Q
x
2
∂
∂λ−==τδ
δ .
Đây là dòng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua
dS là dTagr
z
Tk
y
Tj
x
Tiq λ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂λ−=
2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier
Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ
gradien nhiệt độ.
Biểu thức dạng vectơ là dtagrq λ−= , dạng vô hướng là
)M(tgradtq nλ−=λ−= . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau.
Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được
công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức dS.gradtQ
S∫∫ λ−= và tìm
được lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức
τλ−= ∫∫∫ ττ dtdSdgraQ S0 , [J].
2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt
Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier:
n
t
q
gradt
q
∂∂
==λ , [W/mK]
Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu.
Với chất khí, theo chứng minh trên, có
m
Tk
Rd3
C2
pd2
kT
m
kT8C
RT
p
3
1xC
3
1
3
2
2
v
2vv π=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ππ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ωρ=λ
8
Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi
tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí, µ=
µRR , tăng
đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí.
Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm
và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị
trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2.
Vật liệu λ[W/mK] Vật liệu λ[W/mK]
Bạc
Đồng
Vàng
Nhôm
Thép Cacbon
Yhép CrNi
419
390
313
209
45
17
Thuỷ tinh
Gạch khô
Nhựa PVC
Bông thuỷ tinh
Polyurethan
Không khí
0,74
0,70
0,13
0,055
0,035
0,026
Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN
PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt
cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên
trong vật V dẫn nhiệt.
PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm
trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính
phương trình này.
2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN
Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV
bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,
có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv
, dòng nhiệt qua M là q .
Hình 3. Cân bằng nhiệt cho dV
9
Định luật bảo toàn năng lượng cho dV phát biểu rằng:
[Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh ra
trong dV].
Trong thời gian 1 giây, phương trình này có dạng :
dVqdV.qdivtdVC vp +−=τ∂
∂ρ hay
)qdivq(
C
1t
v
p
−ρ=τ∂
∂
Theo định luật Fourier dtagrq λ−= , khi λ = const ta có
t
z
t
zy
t
yx
t
x
)dtagr(divqdiv 2∇λ−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂λ−=λ−=
với
),(r, cáöu âäü toaû trong,
z),(r, truûâäü toaûTrong
(xyz) goïc vuängâäü taûo
2
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
θϕϕ∂θ
∂+θ∂
∂
θ
θ+θ∂
∂+∂
∂+∂
∂
ϕ∂
∂+ϕ∂
∂+∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂+∂
∂
=∇
222
2
222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sinr
tt
sinr
cos
r
t
r
t
r
2
r
t
z
t
r
t
r
t
r
1
r
t
)Trong(
z
t
y
t
x
t
t
gọi là toán tử Laplace của hàm t(M)
PTVPDN là phương trình kết hợp 2 định luật nói trên, có dạng:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∇+λ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∇+λρ
λ=τ∂
∂ tqatq
C
t 2v2v
p
, với
pC
a ρ
λ= [m2/s] gọi là hệ số khuếch
tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật.
2.2.3. Các dạng đặc biệt của PTVPDN
Phuơng trình VPDN tổng quát [ ])dtagr(divq
c
1T
V
P
λ−−ρ=τ∂
∂ sẽ có dạng đơn
giản hơn, khi cần đáp ứng đủ các điều kiện đặc biệt sau đây:
1) Vật V không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì ( )dtagrdivC1t p λρ=τ∂∂
2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, thì tat 2∇=τ∂
∂
10
3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V, 0t =τ∂
∂ ∀M∈V, thì 0t2 =∇
4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :
t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo 0
dx
td
2
2
=
t(r) trong toạ độ trụ tìm theo 0
dr
dt
r
1
dr
td
2
2
=+
t(r) trong tạo độ cầu tìm theo 0
dr
dt
r
2
dr
td
2
2
=+
2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn
là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân
phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất
nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các
điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác
định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình.
2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị
Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau
1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình
dạng, kích thước vị trí của hệ vật V.
2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M
∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t).
3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại
mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại
mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm khảo sát. Nếu ký hiệu dòng
nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là )M(t
n
tq nλ−=∂
∂λ−=λ thì mô tả toán học của
các điều kiện biên có dạng:
11
xeït. q
hoàûc
τ∆∈τ∀
∈∈∀
⎭⎬
⎫
τ=λ−=
τ=
λ
VWM
))M(t,,M(q)M(t
),M(tt
n
w
Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước
trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có
chứa biến thời gian τ.
2.3.2. Các loại điều kiện biên.
Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi
trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các
trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ.
Bảng 3. Các loại điều kiện biên.
Loại
ĐKB
Ý nghĩa vật lý
hay thông số
cho trước
Mô tả toán học
hay pt CBN
mô tả hình học hay
đồ thị (t-x)
Trường hợp
đặc biệt
1
Cho nhiệt độ
tW1 tại
∀M1∈W1∈V
tw1 = t(M1, τ)
tw1 = tf khi W1
tiếp xúc chất
lỏng có α lớn
2
Cho dòng
nhiệt q qua
∀M2 ∈W2∈V
-λtn(M2) = q(M2,
τ)
q = const
↔γ=const
q=0 ↔W2 là
mặt đối xứng
hoặc cách
nhiệt
12
3
Cho mặt W3
toả nhiệt ra
chất lỏng nhiệt
độ tf với hệ số
α
-λtn(M3)=
α(t(M3),tf)
α = 0 ↔ W3 là
cách nhiệt
hoặc đối xứng
α = ∞ ↔t(M3)
=tf W3 biến
thành W1. Khi
(λ,α,tf) = const
↔ R cố định
4
Cho W4 tiếp
xúc vật V2
đứng yên, có
λ2 , t2
=λ− )M(t 4n -
λ2t2n(M4)
t2 = const↔W4
biến thành W1
(λ1, λ2
)=const↔gó c
γ=const
5
Cho W5 hoá
rắn từ pha
lỏng có thông
số (ρ, rc, λf, tf)
=λ− )M(t 5n
)M(t
x
r 5fnf
5
c λ−τ∂
∂ρ
W5 di động với
tốc độ hoá rắn
bằng τ∂
∂ 5x
6
cho W6 tiếp
xúc chân
không
-λTn(M6)=
εδ0T4(M6)
Mặt bao chân
không có nhiệt
độ Tc. –
λTn(M6) =
εδ0[T2(M6)-
Tc2]
13
7
Cho W7 tiếp
xúc chất khí
có thông số
(Tk, ε)
-λTn(M7)=α
[T(M7)- Tk]+
εδ0[T4(M7) - T4k ]
Quy ra trao đổi
nhiệt phức hợp
-λTn(M7)=αph
[t(M7)- Tk]
Mô tẳ toán học cho mỗi loại điều kiện biên là phương trình cân bằng các dòng nhiệt
ra vào điểm M bất kỳ trên biên. Phương trình mô tả các điều kiện biên loại 2, 3, 4, 5
là các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với t và tn . Phương trình mô tả điều
kiện biên loại 6 và 7 là những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết.
2.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt
Ở dạng tổng quát, bài toán dẫn nhiệt có thể
được mô tả bởi hệ phương trình vi phân (t) gồm
phương trình vi phân dẫn nhiệt và các phương trình
mô tả các điều kiện đơn trị như đã nêu tại mục 2.3.,
có dạng
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∈∀−εδ+−α=λ−
∈∀εδ=λ−
∈∀τρ+λ−=λ−
∈∀λ−=λ−
∈∀−α=λ−
∈∀τ=λ−
∈∀τ=
∈∀
∈∀⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
λ+∇=τ∂
∂
77
4
k7
4
0k77n
666
4
06n
55
5
c5nn5n
4442n24n
33f33n
2222n
111
v2
WM],T)M(T[]t)M(t[)M(t
WM),M(T)M(t
WM,
d
dx
r)M(t)M(t
WM),M(t)M(t
WM],t)M(t[)M(t
WM),,M(q)M(t
WM),,M(t
VM,
q
tat
W1t
VM cuía lyï váût säú thängâënh vaì xaïcMiãön
Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mãn
mọi phương trình của hệ (t) nói trên. Việc này gồm có 2 bước chính là tích phân
phương trình vi phân dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quát, sau đó xác định các hằng
số theo các phương trình mô tả các điều kiện đơn trị.
Hình 4. Mô hình tổng quát
bài toán dẫn nhiệt t(x,y,z,τ)
14
2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt.
Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại
sau đây.
2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3
2.4.1.1. Phát biểu bài toán
Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn,
làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt
λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất
lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số
toả nhiệt vào ra vách là α1, α2.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách
và dòng nhiệt q(x) qua vách.
Theo toán học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ]
như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây.
(t)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−δα=δλ−
λ−=−α
=
)3(]t)(t[)(t
)2()0(t)]0(tt[
)1(0
dx
td
2f2x
x1f1
2
2
2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x).
1) Tìm nghiệm tổng quát bằng cách tích phân phương trình (1), ta có :
∫∫ +== 212 CxCdx)x(t
2) Xác định C1 , C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
α
λ+=
α
λ+δ+α
λ
−−=
⇒
⎭⎬
⎫
−+δα=λ−
λ−=−α
]K[,CtC
]m/K[,
)tt(
C
]tCC[C
C]Ct[
1
2
1f2
21
2f1f
1
2f2121
121f1
Hình 6. Trường t(x) trong vách
phẳng có 2W3
15
Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 - )x(
tt
1
21
2f1f
α
λ+
α
λ+δ+α
λ
−
Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách.
Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ +
λ/α2, tf2) như hình H
2.4.1.3. Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có
q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay
21
2f1f
11
ttq
α+λ
δ+α
−= , [W/m2]
Nếu gọi
21
11R α+λ
δ+α= , [m
2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có
R
ttq 2f1f −= , tương tự như công thức tính dòng điện
đ
21
R
VVI −= .
2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1.
Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với
một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt
cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (tw-tf) → 0,
tức là tW = tf. khi đó chỉ cần thay tw = tf và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể
tìm t(x) và q(x) cho bài toán biên loại 1.
Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau:
1) Khi
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
α+λ
δ
−=
α
λ+δ
−−=
∞=α
2
2f1W
2
2f1W
1
1
tt
q
tt
W1tt(x)
thç
2) Khi
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
λ
δ
−=
δ
−−=
∞=α=α 2f1W
2f1W
21 ttq
x
tt
W1tt(x)
thç
16
2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ
Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng
dx
dt)t()x(q λ−= . Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân
∫ ∫−=λ dx)x(qdt)t(
Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các công thức tính t và q nêu trên,
trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ
[t1, t2] của vách, là ∫ λ−=λ
2t
1t12
dt)t(
tt
1
Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì
∫ ++=+−=λ
2t
1t
21
12 2
tt
badt)bta(
tt
1
3
tttt
c
2
tt
badt)ctbta(
tt
1 2221
2
121
2t
1t
2
12
+++++=++−=λ ∫
2.4.4. Vách phẳng n lớp
2.4.4.1. Phát biểu bài toán
Cho vách phẳng n lớp, mỗi
lớp i có δi , λi không đổi, hai mặt
ngoài tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1,
α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không
đổi. Tìm dòng nhiệt q qua vách,
nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân
bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp.
2.4.4.2. Xác định q, ti, và ti(x).
Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình:
q= α1(tf1 – t0) = )tt()n1i(,/
tt
2fn
ii
1ii −α=÷=∀λδ
− +
Hình 7. Vách phẳng n lớp
17
Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti,
∀i=1÷n.
Bằng cách khử các ti sẽ tìm được q, sau đó tính ti và xác định
ti(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có:
[ ]
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
÷=∀δ−−=
α+λ
δ+α
−=
÷−=∀λ
δ+=α+=
+
=
+
∑
n1i,/x)tt(t)x(t
,
1i1
ttq
0)1n(i,qtt,qtt
i1iiii
n
1i 2i1
2f1f
i
i
1ii
2
2fn
2W/m
Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy
khúc, giống như biên loại 4
Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw = tf, 1/α = 0 hoặc
λ=λ = const vào các công thức trên.
2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU
2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3
2.5.1.1. Phát biểu bài toán
Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng,
bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt
r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2
tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 . Tìm
phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng
nhiệt qua vách.
Mô tả hình học trong toạ độ trụ có dạng
như Hình 8
Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau:
Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có
2W3
18
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−α=λ−
λ−=−α
=+
)3(]t)r(t[)r(t
)2()r(t)]r(tt[
)1(0
dr
dt
r
1
dr
td
)t(
2f222r
1r11f1
2
2
2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r)
1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau:
Đổi biến u =
dr
dt → Phương trình (1) có dạng 0
r
u
dr
du =+ → 0
rdr
)ur(d
rdr
udrrdu ==+ →
d(ur)=0→ur=C1→ ∫ +==→== 2111 CrlnCrdrC)r(tdrdtrCu
2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−α
λ+=
α
λ++α
λ
−−=
⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−+α=λ−
λ−=−−α
]K[),rln
r
(CtC
]K[,
rr
r
ln
r
)tt(C
]tCrlnC[
r
C
r
C]CrlnCt[
1
11
11f2
221
2
11
2f1f
1
2f2212
2
1
1
1
2111f1
Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α
λ+
α
λ++α
λ
−−=
111
221
2
11
2f1f
1f rr
rln
rr
rln
r
ttt)r(t
Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến
tại r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2).
2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ
1. Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là
q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2]
q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ.
2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là:
q l = lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m]
r,constC2r2.
r
Cr2).r(qq 11 ∀=πλ=πλ−=π= l
l
l
Thay C1bởigiá trị trên, sẽ thu được:
19
221
2
11
2f1f
r2
1
r
rln
2
1
r2
1
ttq
απ+πλ+απ
−=l , [W/m].
Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ.
Đại lượng ]W/mK[,
d
1
d
dln
2
1
d
1R
221
2
11 απ
+πλ+απ=l được gọi là nhiệt trở dẫn
nhiệt của 1m ống trụ.
2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp
Khi α→∞ thì thay tw = tf và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài toán vách
trụ 2 biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck 2 biên W1 như sau:
1) Khi α1 = ∞ thì
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
απ+πλ
−=
α
λ+
−−=
221
2
2f1w
1
221
2
2f1w
1w
r2
1
r
rln
2
1
tt
q
r
rln
rr
rln
ttt)r(t
l
2) Khi α1 = α1 = ∞ thì
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
πλ
−=
−−=
1
2
2f1w
1
1
2
2W1w
1w
r
rln
2
1
ttq
r
rln
r
rln
ttt)r(t
l
2.5.3. Vách trụ n lớp
2.5.3.1. Phát biểu bài toán
Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi
không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng
có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có
tf2, α2 kh ông đổi
Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti tại các
Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n
lớ
20
mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i, n1i ÷=∀
2.5.3.2. Xác định q l , ti và ti(r)
Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là :
q l = α1[tf1 – t0]2πr1 = n2fn2
i
1i
i
1ii r2)tt()n1i(,
r
rln
2
1
tt π−α=÷=∀
πλ
−
+
+
Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q l và (n+1) ẩn ti.
Bằng cách khử các ti để tính q l , sau đó tìm ti theo q l và xác định ti(r) như
vách có 2W1, sẽ thu được:
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
÷=∀−−=
÷=∀πλ−=απ−=
απ+πλ+απ
−=
+
+
−
−
=
+∑
n1i,
r
rln
r
rln
ttt)r(t
n1i,
r
rln
2
qtt;
r2
qtt
r2
1
r
rln
2
1
r2
1
ttq
i
i
1i
1ii
ii
1i
i
i
1ii
11
1f0
2n
n
1i i
1i
i11
2f1f
ll
l
2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu
2.5.4.1. Phát biểu bài toán
Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có
hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc
chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất
lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi.
Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng
nhiệt Q qua vách.
Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định
bởi hệ phương trình (t) sau:
Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−α=λ−
λ−=−α
=+
)3()]tr(t[t
)2()r(t)]r(tt[
)1(0
dr
dt
r
2
dr
td
)t(
2f2r
1r11f1
2
2
22 )(r
2.5.4.2. Tìm phân bố t(r)
1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến
dr
dtu = → phương trình (1) có
dạng : →=+→=+ 0
r
dr2
u
du0
r
u2
dr
du tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 →
u=
dr
dt
r
C
2
1 = → tích phân lần 2 có : t(x) = 2121 Cr
Cdr
r
C +−=∫
2) Tìm C1, C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3):
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +α
λ−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α+αλ
−=
⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−α=λ−
λ−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+α
]K[
r
1
r
CtC
]Km[
r
1
r
1
r
1
r
1
ttC
tC
r
C
r
C
r
CC
r
Ct
1
2
11
11f2
21
2
22
2
11
2f1f
1
2f2
1
1
22
2
1
2
1
1
2
1
1
1f1
Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +α+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++α
λ+α
−−=
1
2
11
21
2
22
2
11
2f1f
1f r
1
r
1
r
1
r
1
r
1
rr
1
ttt)r(t
Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α
λ− 1f
1
11 t,rR
và ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α
λ+ 2f
2
22 t,rR
2.5.4.3. Tính công suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu
Q = q(r).π(2r2)=- λ 21r
C 4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r
Thay C1 bởi giá trị nêu trên, ta có:
22
]W[,
r
1
r
1
4
1
r
1
r
1
4
1
ttQ
21
2
22
2
11
2f1f
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −πλ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α+απ
−=
Khi vách cầu có 2 biên loại W1 thì ]W[,
r
1
r
1
4
1
ttQ
21
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −πλ
−= W2W1
Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W3, sau khi giải hệ phương trình
π−α=÷=∀
+
πλ−=π−α=
+
+ 4)tt()n1i(,
r
1
r
1
4)tt(r4)tt(Q 2fn2
1ii
i1ii2
00f1f1
sẽ tìm được:
]w[,
r
1
r
1
4
1
r
1
r
1
4
1
ttQ
n
1i 1iii
2
22
2
11
2f1f
∑
= +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −πλ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α+απ
−=
Nhiệt độ các mặt ti và trường