Bài giảng Dao động của hệ có một bậc tự do

Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-1 Chương 1. DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới). Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi theo thời gian là P(t) (hình 1-1a). Vị trí của khối lượng M khi dao động được xác định bởi hàm số y(t). Giả thiết chuyển vị đứng y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát của khối lượng M là vị cân bằng ban đầu tương ứng với khi y = 0. Dưới tác dụng của lực kích thích P(t), khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác dụng của những lực sau đây : 1. Lực tác dụng P(t) 2. Lực quán tính của khối lượng yM.Z &&−= . Lực này đặt tại khối lượng M và có chiều hướng theo chiều của chuyển động tức là hướng xuống dưới, vì chiều của gia tốc y&& của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng. 3. Lực cản R. Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động (chất khí, chất lỏng...), ma sát của các liên kết tựa, hiện tượng ma sát trong của vật liệu, độ chuyển dời của khối lượng, và vận tốc của chuyển động. Đa số các trường hợp trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc chuyển động: yβ&=R , R có chiều ngược với chiều chuyển động tức là hướng lên trên. Trong đó : y& - vận tốc của khối lượng M ; β - hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cản, có đơn vị là s cm KN . Gọi 1Pδ - chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra; b, R δ1P c, 1 δ11 a, M P(t) y(t) y > 0 .. Z = -M.y .. x 1 Hình 1-1. Hệ có một bậc tự do. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-2 11δ - chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra. Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì ta có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng. Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, lực kích thích P(t) và lực cản R cùng tác dụng gây ra. Do đó ta có phương trình sau: .Rδ.Zδ.P(t)δy(t) 11111P −+= hay: yβδδδ &&& .y.M.P(t)y(t) 11111P −−= Chia cả hai vế cho 11δM và sau khi biến đổi ta được: .P(t).y2y 1P 22 δωωyα =++ &&& (1-1) trong đó 11 2 Mδ 1ω = ; M β2α = (1-2) Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có một bậc tự do. Trong các mục dưới đây ta sẽ vận dụng phương trình vi phân tổng quát để nghiên cứu dao động của hệ có một bậc tự do tương ứng với các trường hợp cụ thể khác nhau. 1.2 Dao động tự do không có lực cản Như ta đã biết, dao động tự do của hệ là dao động sinh ra bởi một lực kích động bất kỳ tác dụng trên hệ rồi cất đi tức thời. Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do không có lực cản có dạng: 0.yy 2 =+ ω&& (1-3) Đây là phương trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số. Nghiệm của phương trình (1-3) có dạng: ( ) ωtBsinωtAcosty += (1-4) Trong đó : A, B là những hằng số tích phân. Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình 1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của khối lượng M t.cosB.t.sinA.v)t(y ωωωω +−==& (1-5) Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) được xác định theo các điều kiện ban đầu: Khi 0=t ; 0yy = và 00 vyy == && . Thay các điều kiện này vào các phương trình (1-4) và (1-5) ta xác định được : 0yA = ; ω 0vB = . Như vậy phương trình dao động có dạng : Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-3 M y(t) y x a Hình 1.2 Hệ một bậc tự do y t t t T y 0 2ω π ωπ 2ω 2π T/4 T/4 T/4 T/4 v /ω0 ωπ 2ω 2π a, b, c, ε/ω T/4 T/4 T/4 t m y + ( )vω0 2 Hình 1-3. Các dao động thành phần 1 A C B BO A1 y v /ω 0y 0 ε ωt λ Hình 1-4. Véc tơ quay. t v tyy .sin.cos 00 ωωω += (1-6) Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động tỷ lệ với hàm coswt, phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu y0 của khối lượng (hình 1-3a); dao động tỷ lệ với hàm sinwt phụ thuộc vào vận tốc ban đầu v0 (hình 1-3b). Chuyển vị của khối lượng M ở mỗi thời điểm bằng tổng các tung độ của hai đường cong ở thời điểm tương ứng. Đường biểu diễn của chuyển động của khối lượng M theo thời gian t có dạng như trên (hình 1-3c). Người ta còn dùng véc tơ quay để biểu diễn dao động. Xét véc tơ OA (hình1-4) có độ lớn bằng y0, quay quanh điểm cố định 0 với vận tốc góc ω không đổi, véc tơ OB có độ lớn là ω 0v vuông góc với véc tơ OA . Hình chiếu của véc tơ OA và OB lên trục y cho ta các số hạng của biểu thức (1-6). Cũng được kết quả như vậy, nếu thay cho hai véc tơ OA và OB , ta khảo sát véc tơ OC là tổng hình học của chúng và lấy hình chiếu của OC trên trục y. Theo hình (1-4) véc tơ OC có độ lớn là a bằng : 202 0 )(ω v ya += , (1-7) và hợp với trục y một góc bằng : )t.( εω − , trong đó : 0 0 .y v arctg ωε = . Vậy phương trình (1-6) có thể viết dưới dạng : ).cos( εω −= tay (1-8) Nếu gọi l là góc hợp giữa véc tơ OC và OB thì ta có thể biểu diễn (1-8) dưới dạng: Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-4 )] 2 (.cos[ λπω −−= tay hay ).sin( λω += tay (1-9) Trong đó: )( 0 0 v y arctg ωλ = (1-10) Các đại lượng a và l xác định theo biểu thức (1-7) và (1-10) là các hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu của chuyển động. Ta cần xác định chu kỳ và tần số của dao động : + Chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện một dao động toàn phần và được ký hiệu là T và bằng: )(2 sT ω π= + Tần số dao động là số lần dao động trong một giây : )/1( 2 1 s T f π ω== . Do đó suy ra : f.2πω = là số lần dao động trong π2 giây vàω còn được gọi là tần số vòng của dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng tần số vòng nên thường gọi tắtω là tần số dao động riêng. Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau : 1. Tần số vòng của dao động riêng được xác định như sau: )/1( . 1 1111 s y g P g M t === δδω (1-11) Trong đó : g - gia tốc trọng trường; ty - chuyển vị của khối lượng M do lực P = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí đặt khối lượng M, theo phương dao động gây ra (hình 1-5a, b). Đối với hệ trên (hình 1-5b), nếu kể đến hiện tượng uốn dọc ta có : gM P MgEJ lty leO . )1(3 )( ' 3 − = a, y t P = M g P = M g l y t b , Hình 1-5. Sơ đồ xác định chuyển vị tĩnh yt. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-5 2. Tần số dao động riêng : ty gf ππ ω 2 1 2 == (1-12) 3. Chu kỳ dao động : g y T tπω π 22 == (1-13) Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị, vận tốc và gia tốc của khối lượng M. ).sin( λω += tay ; do đó ay =max (1-14) )t.sin(avy λωω +==& ; do đó ω.max av = (1-15) )t.sin(ay 2 λωω +−=&& ; do đó 2max .ay ω=&& (1-16) Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị tm xác định toạ độ thời gian đầu tiên xảy ra chuyển vị lớn nhất của khối lượng M (hình 1-3c). Theo (1-9): atay m =+= ).sin(max λω do đó : 2 . πλω =+mt Vậy: ω ελπω =−= )2( 1 mt 1.3 Dao động tự do có lực cản Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng : 0yy2y 2 =++ ωα&&& (1-17) Trong đó : M βα =2 và 11 2 1 δω M= Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1-17) có dạng : 0.2 22 =++ ωα ss Nghiệm của phương trình đặc trưng này là: 221s ωαα −+−= , 222s ωαα −−−= Vậy nghiệm của phương trình (1-17) có dạng tổng quát : )eCeC(ey t2 t 1 t. 2222 ωαωαα −−−− += (1-18) Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa α và ω . Nếu a ω (lực cản lớn) thì nghiệm là số thực . Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau : a) Trường hợp lực cản nhỏ (a <ω ): Các nghiệm của phương trình đặc trưng có dạng: 22 1 αωα −+−= is và 222 αωα −−−= is . Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-6 Nếu gọi 221 αωω −= thì phương trình (1-18) có dạng : )( 11 .2 . 1 . titit eCeCey ωωα −− += Hay có thể viết dưới dạng khác như sau : ).sin.cos( 11 . tBtAey t ωωα += − (1-19) Để xác định các hằng số tích phân, A và B, ta có các điều kiện ban đầu : Khi 0=t ; 0yy = và 00 vyy == && . Biểu thức vận tốc của chuyển động: )t.cosBt.sinA(e)t.sinBt.cosA(e.yv 11 t. 11 t. ωωωωα αα +−++−== −−& hay: )cossin(. 11.. 1 tBtAeyv t ωωα ωα +−+−= − . Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được : 0yA = và 1 00 . ω α yv B += . Vậy: ]sin)sin(cos[ 1 1 0 1 1 10 . t v ttyey t ωωωω αωα ++= − hay: )sin . cos( 1 1 00 10 . t yv tyey t ωω αωα ++= − (1-20) Số hạng thứ nhất của biểu thức này tỷ lệ với hàm cosw1t và chỉ phụ thuộc chuyển vị ban đầu y0, còn số hạng thứ hai tỷ lệ với hàm sinw1t, phụ thuộc cả chuyển vị ban đầu y0 và vận tốc ban đầu v0. Từ (1-20) ta thấy dao động có lực cản là dao động tắt dần. Tương tự, ở đây ta cũng có thể dùng véc tơ quay để biểu thị chuyển động của dao động tắt dần. Xét véc tơ OA (hình 1-6) biểu thị đại lượng thay đổi t.0ey α− quay quanh tâm 0 với vận tốc 1ω không đổi. Nếu tính góc quay từ trục y theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ω t1Α 1 Β1 S S N M C A O B 1 ϕ arctg( )αω y1 Hình 1-6. Biểu diễn bằng véc tơ quay Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-7 thì hình chiếu OA1 của véc tơ đó lên trục y bằng tcoseyy 1 t. 0 ωα−= và biểu diễn số hạng thứ nhất của (1-20). Cũng tương tự, xét véc tơ OB biểu thị đại lượng thay đổi bằng ) y.v (e 1 00t. ω αα +− và vuông góc với véc tơ OA ; hình chiếu OB1 của véc tơ này lên trục y là số hạng thứ hai của nghiệm (1-20). Biểu thức chung sẽ là hình chiếu trên trục y của véc tơ OC tức là véc tơ tổng của hai véc tơ OA và OB . Độ lớn của véc tơ OC đó bằng C : 2 1 002 0 .22 ) . ( ω αα yvyeOBOAC t ++=+= − . Nếu gọi góc hợp giữa véc tơ OB và véc tơ OC là ϕ thì góc hợp giữa véc tơ OC với trục y là: ) 2 (t1 ϕπω −− . Do đó biểu thức (1-20) có thể viết dưới dạng : )sin()] 2 (cos[ 11 ϕωϕπω +=−−= tCtCy hay: )sin(. ).( 12 1 2 002 0 . ϕωω αα +++= − tyvyey t (1-21) trong đó : 00 10 .yv y tg α ωϕ += hay 00 10 .yv y arctg α ωϕ += . (1-22) Khi véc tơ OC quay (hình 1-6), điểm C vẽ đường xoắn ốc lôgarít, tiếp tuyến của nó hợp với phương vuông góc với véc tơ OC một góc không đổi )( 1 arctg ω α− . Qua biểu thức (1-21) ta thấy dao động có lực cản ở đây là dao động tắt dần có dạng như trên (hình 1-7). n n+1 n n+1T1 T1 C C y y y y 1 m , m 3 ,2 m , y = c.e sin( t + ) α.t ω ϕ 1 y = -c.e −α.t 1 y = +c.e−α.t 1 m 1 m 2 3 m y Hình 1-7. Dạng dao động tắt dần. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-8 Chu kỳ của dao động này là : )(22 22 1 1 sT αω π ω π − == . Tần số dao động : )/1( 22 1 221 1 s T f π αω π ω −=== . Tần số vòng : )/1(2. 1 sf ωπ = . Qua biểu thức (1-21) và đồ thị ta thấy dao động là điều hoà nhưng biên độ thay đổi theo thời gian tCe .α− , với 2 1 2 002 0 ).( ω α yv yOCC ++== . Vậy dao động tắt dần theo quy luật số mũ âm. Ta cũng có thể dùng đường cong hình sóng vẽ trên hình 1-8 biểu diễn phương trình (1- 21). Đường cong này tiếp xúc với đường cong tCey .α−−= tại các điểm 1m′ , 2m′ . Để nghiên cứu độ tắt dần, ta xét tỷ số giữa hai tung độ chuyển vị của khối lượng cách nhau một chu kỳ T1 : )( . 11 )( 1 . 1 11 ])(sin[ )sin( Tt t Tt t n n e e TtCe tCe y y +− − +− − + =++ +== α α α α ϕω ϕωη ; 1 1 T n n e y y αη == + . Từ đó suy ra : χα == + )ln(. 1 1 n n y y T , trong đó χ là hệ số biểu thị tốc độ tắt dần, gọi là giảm lượng lôga của dao động. Hệ số χ có một ý nghĩa quan trọng, vì thông qua giá trị của nó xác định bằng thí nghiệm (đo yn và yn+1) ta có thể tìm được đại lượngα và từ đó suy ra hệ số cản β . Sau đây là một số kết quả thí nghiệm đo 1.Tαχ = 1. Đối với các kết cấu thép : 5,01,02)08,0016,0(. 1 ÷≈÷= πα T 2. Đối với các kết cấu gỗ : 15,003,02)022,0005,0(. 1 ÷≈÷= πα T 3. Đối với kết cấu bê tông cốt thép : 20,008,02)032,0016,0(. 1 ÷≈÷= πα T 4. Đối với cầu thép : )15,001,0(. 1 ÷=Tα trung bình 08,0 5. Đối với cầu bê tông cốt thép : 31,0. 1 =Tα 6. Đối với dầm bê tông cốt thép : )39,017,0(. 1 ÷=Tα trung bình 28,0 7. Đối với khung bê tông cốt thép : )16,008,0(. 1 ÷=Tα trung bình 12,0 Tần số góc 1ω thường xấp xỉ bằng tần sốω . Giả sử cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ sau nhỏ hơn biên độ trước một nửa; có nghĩa là hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh. Lúc này ta có : 5,01. == Teαη , nên : 693,05,0ln. 1 ==Tα . Do đó : 11 1 11,0 2 693,0693,0 ωωπα === T , ωωωαωω 994,0)11,0( 2 1 222 1 =−=−= . Ta thấy trường hợp hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh, tần số 1ω giảm không đáng kể. Vì vậy trong thực tế tính toán người ta thường chọn 1ωω = . Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-9 Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực cản đến chu kỳ dao động. Chu kỳ dao động tự do : ω π2 0 =T Chu kỳ dao động khi có lực cản : 2 221 1 )(1 1222 ω αω π αω π ω π − = − ==T Ta thấy : 1 )(1 1 20 1 > − = ω αT T . Như vậy lực cản làm cho chu kỳ dao động dài hơn; tất nhiên khi đó tần số sẽ giảm, nghĩa là dao động xảy ra chậm hơn dao động tự do không có lực cản. Trong thực tế η thường lớn, nhưng ω α thường lại nhỏ nên ta thấy: dao động tắt đi rất nhanh, nhưng chu kỳ dao động lại tăng rất ít so với chu kỳ dao động tự do. Vì vậy khi làm thí nghiệm để tìm chu kỳ dao động, ta bỏ qua lực cản của môi trường (khi lực cản yếu); điều đó có lợi vì hệ số cản thường chưa biết. b) Trường hợp lực cản lớn ( ωα > ): Ta đặt 2222 ωωα =− Theo (1.18) nghiệm của phương trình (1-17) có dạng : )()( 2221 . 21 . 22 tshCtchCeeeey tttt ωωγγ αωωα +=+= −−− hay có thể viết khác như sau : ).22.1 θωαα +−= − tsheay t (1-23) sau khi xác định C1 và C2 theo các điều kiện ban đầu ta được : tsh yv tchyey t 2 2 00 20 . .( ωω αωα ++= − . (1-24) Ta thấy chuyển động của khối lượng không tuần hoàn. Tuỳ theo điều kiện ban đầu, có thể xảy ra một trong ba dạng chuyển động sau : y t ym M y v 1 0 0 M1 t y v0 y0 y tm m y0 y o o o 0v = 0 Hình 1-8. Các dạng dao động tự do có lực cản lớn tuỳ thuộc điều kiện ban đầu. a) b) c) Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-10 + Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng ra ngoài vị trí cân bằng (hình 1-8a). Do lực cản lớn khối lượng chuyển động đến M1 rồi quay trở lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu; + Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng về vị trí cân bằng. Khối lượng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới M1 thì quay lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8b); + Khối lượng được thả từ y0 không có vận tốc ban đầu, lúc này chuyển động sẽ giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8c). c) Trường hợp ωα = : Phương trình đặc trưng có nghiệm kép α−== 21 ss . Vậy nghiệm của bài toán có dạng : )( 24 . CtCey t += −α . Chuyển động cũng không tuần hoàn, ta cũng có thể gặp một trong ba dạng chuyển động như trên. 1.4 Dao động cưỡng bức trong trường hợp tổng quát Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp dao động có lực cản, chịu lực kích thích bất kỳ P(t). Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có dạng: )t(Pyy2y P1 22 δωωα =++ &&& . Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp lực cản yếu )( βα < - là trường hợp hay gặp trong thực tế. Tương tự như ở Đ3, nghiệm của phương trình vi phân trên, nhưng không có vế phải có dạng (xem 1.20) : te v tteyy tt 1 . 1 0 11 . 0 sin)sin(cos ωωωω αω αα −− ++= . (1-26) Phương trình chuyển động (1-26) gồm hai số hạng : số hạng đầu là do chuyển vị ban đầu y0 so với vị trí cân bằng, số hạng sau là do ảnh hưởng của vận tốc ban đầu v0. Ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hưởng của lực kích thích P(t) nên chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa. Ta xét tại thời điểm t bất kỳ ở giữa các thời điểm 0 và t, trong khoảng thời gian rất ngắn dt, do tác dụng của lực kích thích vận tốc v có số gia là dv. Số gia dv sẽ làm cho số gia dy của chuyển vị tổng cộng tại thời điểm t có thêm một lượng tương tự như số hạng thứ hai của biểu thức (1-26) tức là : { } )(sinsin)sin(cos 1)( 1 1 . 1 0 1 1 1 . 0 τωωωωωω αω τααα −+++= −−−− tedvtevtteyddy ttt (1-27) Sau đây ta đi tìm số gia của vận tốc dv Theo giáo trình Cơ lý thuyết, ta đã biết: xung lượng của lực tác động trong thời gian dt bằng độ biến thiên động lượng tại thời điểm đó: ).()( vMddPS == ττ (1-28) Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-11 Cần chú ý rằng ở đây P(t) là lực tác dụng trực tiếp tại khối lượng M. Trong trường hợp tổng quát, nếu P(t) tác động tại điểm bất kỳ trên hệ thì ta có thể tìm được lực tương đương )(τP đặt tại M. Lực này có trị số để sao cho chuyển vị tại M do nó gây ra bằng chuyển vị tại M do lực P(t) đặt bất kỳ gây ra. Ở đây có thể xem như các lực P tác dụng tĩnh, vì nếu ở trạng thái động, chuyển vị của hai hệ hơn nhau µ lần, thì ở trạng thái tĩnh cũng hơn nhau µ lần. Điều kiện này chỉ đúng với giả thiết là hệ áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng ở trạng thái tĩnh cũng như ở trạng thái động. Đối với dầm vẽ trên (hình 1-9a), ta có: PP P 11 .δ=∆ Đối với dầm trên (hình 1-9b), ta có: 111 .δPP =∆ . Suy ra : 11 1 δ δ PPP = . Vậy xung lượng có dạng tổng quát như sau: τδ δτττ dPdPS P 11 1)()( == . (1-29) Thay (1-29) vào (1-28) ta có: ).()( 11 1 vMddP P =τδ δτ . Vì M là hằng lượng nên τδ δτ dP M dv P 11 1)(1= . Thay dv vào biểu thức (1-27), biến đổi ta được dy, rồi tích phân từ 0 đến t ta có: ττωτω δωωωωω αω τααα dtePtevtteyy t tPtt )(sin)(sinsincos. 0 1 )( 1 1 2 1 . 1 0 1 1 1 . 0 −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ∫ −−−− , (1-30) hay có thể biểu diễn dưới dạng tương tự như công thức (1-21) ta có ; ττωτω δωϕω ταα dtePteay t tPt )(sin)()sin(. 0 1 )( 1 1 2 1 . −++= ∫ −−− (1-31) trong đó : ap a P P ∆1P 1P∆ a, b, Hình 1-9. Sơ đồ tính dv Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-12 2 1 2 002 0 ).( ω α yv ya ++= ; 00 10 . . yv y tg α ωϕ += . Phương trình (1-31) thích hợp với trường hợp lực cản nhỏ ( ωα < ). Đối với trường hợp lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-23) và (1-25) ta có thể thiết lập được các phương trình chuyển động như sau : + Khi ωα > (lực cản lớn) ( ) ττωατωα δωθωα ταα dtshePtsheay t tPt )()(. 0 22)( 22 1 2 22. 1 −−− ++−= ∫ −−− (1-32) + Khi ωα = : ( ) ττδω ταα dtetPBtAey t tPt )()( 0 )( 1 2 22 . −++= ∫ −−− (1-33) Ta cũng có thể tìm nghiệm (1-30) bằng cách giải khác có tính chất toán học thuần tuý là dùng phương pháp biến thiên hằng số của Lagrăngiơ. Nghiệm của phương trình vi phân (1-1) có thể viết dưới dạng : )(.. tuey tα−= , (1-34) u(t) là hàm số phụ thuộc thời gian. Sau đây ta sẽ đi tìm hàm u(t). Sau khi đạo hàm (1-34) và thay vào (1-1) ta có : )t(Pe)t(u)t(u P1 2t.2 1 δωω α=+&& (1-35) Trong đó : 2221 αωω −= . Nghiệm của phương trình vi phân (1-35) khi lực cản nhỏ ( αω > ) có dạng : tBtAu 11 sincos ωω += . (1-36) Ta thấy biểu thức (1-36) có dạng tương tự như nghiệm (1-4) là nghiệm của trường hợp dao động tự do không có lực cản. Nhưng ở đây dao động là cưỡng bức, có lực cản; phương trình vi phân có vế phải, nên ta biến đổi các hằng số A và B thành các hàm số phụ thuộc thời gian. Theo Lagrăngiơ, hàm u phải thoả mãn điều kiện sao cho đạo hàm của nó cũng có dạng như khi B ,A là các hằng số : t dt BdtBt dt AdtAu 111111 sincoscossin ωωωωωω +++−=& (1-37) Khi A và B là các hằng số : tcosBtsinAu 1111 ωωωω +−=& (1-37)’ So sánh (1-37) và (1-37)’ ta thấy: 0sincos 11 =+ tdt Bdt dt Ad ωω (1-38) Từ (1-37)’ ta có : Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-13 tcos dt Bd tsinBtsin dt Ad tcosAu 111 2 1111 2 1 ωωωωωωωω +−−−=&& hay tcos dt Bd tsin dt Ad u.u 1111 2 1 ωωωωω +−−=&& (1-39) Thay biểu thức (1-39) vào (1