Bài giảng Đạo hàm và vi phân hàm số một biến số

Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm số một biến số I. Đạo hàm của hàm số II. Vi phân của hàm số III. Các định lý cơ bản về hàm số khả vi (SGK) IV. Ứng dụng của đạo hàm I. Đạo hàm của hàm số 1. Khái niệm đạo hàm 2. Công thức và quy tắc tính đạo hàm 1. Khái niệm đạo hàm Đạo hàm của hàm số tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0(a,b). Đặt: x = x-x0 y= f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+ x)-f(x0) Định nghĩa: Nếu tỉ số có giới hạn khi x0 thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x0. Ký hiệu: f’(x0) hay y’, dy/dx Khái niệm đạo hàm Vậy: Ví dụ: Khái niệm đạo hàm Đạo hàm trái: Đạo hàm phải: Khái niệm đạo hàm Định lý: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái, có đạo hàm phải và hai đạo hàm này bằng nhau. Ví dụ: 2. Công thức và quy tắc tính đạo hàm Công thức tính đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản: 2. Công thức và quy tắc tính đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm: II. Vi phân của hàm số 1. Hàm khả vi và vi phân 2. Quy tắc tính vi phân 3. Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao Hàm khả vi và vi phân Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,b) chứa x. Định nghĩa: Hàm số y=f(x) được gọi là khả vi tại điểm x (a,b) nếu tồn tại số A sao cho: y= f(x+ x)-f(x)=A.x +0(x) Biểu thức A.x được gọi là vi phân cấp 1 của hàm f(x) tại điểm x. Ký hiệu dy dy = A. dx 1. Hàm khả vi và vi phân Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân Định lý: Hàm số f(x) khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x. Chú ý: + Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là: df=f’(x)dx + Hàm khả vi tại một điểm nghĩa là hàm có đạo hàm tại điểm đó. 2. Quy tắc tính vi phân Nếu u(x) và v(x) là các hàm khả vi tại x ta có: 3. Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao Các định nghĩa: Định nghĩa 1: Đạo hàm cấp n (n>1) của hàm số y=f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 của f(x) tại điểm đó. Ký hiệu: y(n) Định nghĩa: Vi phân cấp n (n>1) của hàm số y=f(x) là vi phân của vi phân cấp n-1 của hàm số đó khi coi dx là hằng số. Ký hiệu: d(n)f(x) Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm cấp cao: dny = y(n)dxn 3. Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao Ví dụ: IV. Ứng dụng của đạo hàm 1. Tìm giới hạn dạng vô định 2. Công thức Taylor 3. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số (SGK) 4. Đạo hàm và cực trị của hàm số 1. Tìm giới hạn dạng vô định Quy tắc L’Hospital: Định lý: Giả sử các hàm g(x) và f(x) thỏa mãn các điều kiện: i) Giới hạn có dạng vô định 0/0; / ii) Tồn tại giới hạn . Khi đó: 1. Tìm giới hạn dạng vô định Quy tắc L’Hospital: Ví dụ: 1. Tìm giới hạn dạng vô định Khử các dạng vô định: Dạng 0. : Tìm khi f(x),g(x) 0 khi xa Đưa về dạng 0/0 hoặc / bằng cách biến đổi hoặc Dạng  -: Tìm khi f(x) và g(x) là hai hàm cùng dấu và cùng có giới hạn  khi xa Đưa về dạng 0/0 bằng cách biến đổi: 1. Tìm giới hạn dạng vô định Khử các dạng vô định: Dạng 00; 1; 0 Phương pháp chung: + Biến đổi: f(x)g(x) = eg(x)lnf(x) + Tìm giới hạn dạng 0. : + 1. Tìm giới hạn dạng vô định Các ví dụ về khử các dạng vô định: Ví dụ: 2. Công thức Taylor Đa thức Taylor của hàm số f(x) tại a là: Với phần dư: + Dạng Lagrange: + Dạng Peano: 2. Công thức Taylor Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm cấp n liên tục trong đoạn [a,b] và f(x) có đạo hàm cấp n+1 trong khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm c (a;b) sao cho: Với 2. Công thức Taylor Khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm a=0 được gọi là khai triển Maclaurin: Ví dụ: 4. Đạo hàm và cực trị của hàm số Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp cao Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn