Bài giảng Điều khiển số (Digital Control Systems)

21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 1 Điều khiển số (Digital Control Systems) Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo chương của giáo trình cùng tên (Version 5, 8/2011) 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 2 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.1 Một tín hiệu gián đoạn về thời gian được mô tả bởi: ( ) 11 11 zU z zz− = = −− Lời giải: Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệu kể trên bằng cách tính tổng Laurent: ( ) ( ) 0 0 k k k k k aU z a z z ∞ ∞ − = = ⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ Chuỗi trên chỉ hội tụ khi , tức là ở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a.1a z < Hãy đi tìm ảnh U(z) và miền hội tụ của tín hiệu ! Ví dụ 1.2.2 Hãy đi tìm ảnh z của hàm bước nhẩy đơn vị 1(t) ! ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 khi 0 1 khi 0,1, 2, 1 1 1 0 khi 0 0 khi 0 kk k k k t k u t u U z z z t k ∞ ∞ − − = = ⎧ ⎧≥ =⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⇒ = ⇒ = ⋅ =⎨ ⎨⎪ ⎪< <⎪ ⎪⎩ ⎩ ∑ ∑ ( ) 0 1 s s rr q q ∞ = = −∑ ( ) 11 11 zU z zz− = = −− Kết quả trên đúng với mọi giá trị trên toàn miền z, trừ điểm z = 1. Khi thay vào chuỗi: các giá trị q = z-1 và r = 1 ta thu được: 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 3 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.3 Ví dụ 1.2.4 Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) ! ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 ; 0 ; 0, 1, 2, kat akT akT k aT k k k f t e t f kT f e k F z e z e z ∞ ∞ − − = = = ≥ ⇒ = = = ⇒ = =∑ ∑ Kết quả tính tổng của chuỗi là: ( ) 111 1 aT aT aT e zF z e z e z − − −= =− − Hãy tìm ảnh z của hàm dốc tuyến tính ! ( ) ; 0; constf t at t a= ≥ = Dễ dàng viết được ảnh F(z) dưới dạng chuỗi như sau: ( ) 0 k k F z a kTz ∞ − = = ∑ Để tính tổng trên ta phải áp dụng nguyên lý tịnh tiến và sử dụng ảnh z của hàm bước nhẩy 1(t) và viết lại công thức trên: ( ) ( ) 1 2 3 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Tz Tz Tz Tz TzF z a Tz z z zaT z z aT z z z z z z z aTzaT z z z z − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ = =− − − " " " # " " 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 4 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z Ví dụ 1.2.5 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành các phân thức tối giản. Sau đó lần lượt tìm hàm gốc của các phân thức tối giản. kz a z a ⇔− ( ) ( ) 1; 1, 2, 1 1 1 k m m m k m kz a m mz a k z a a m − + − − ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠− ⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟− ⇔ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠ "•Điểm cực đơn: •Điểm cực lặp lại m lần: Cho trước ảnh z có dạng phân thức: ( ) 2 0,9 0,5 0,40,1 0,2 z z zF z z zz z = = −− +− − Áp dụng công thức để tìm hàm gốc: ( )0,5 0,4 kkkf = − − Ví dụ: 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 5 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z ( ) ( )( ) 0,9 0,5 0,4 zF z z z = − +Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 1 1 1 0,5z 1 1 2 0,4z 0,9 0,5 0,5 Res lim 0,5 0,5 0,4 0,9 0,4 0,4 Res lim 0,4 0,5 0,4 k k k z k kk z z z z z F z z z z z z z z F z z z z − − → − − →− ⎧ ⎡ ⎤⎪ −⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎪ = ⇒ = =⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤+⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎡ ⎤=− ⇒ = =− −⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ − +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎩ Có hai điểm cực z1, z2, vậy khi: Hàm gốc có dạng sau: ( )0,5 0,4 kkkf = − − Ví dụ 1.2.6 Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tính Residuum. Khi z = zν là điểm cực - lặp lại m lần: - đơn: Hàm gốc có dạng: ( ) 1 1 Res n k kf F z z ν − = ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1z 1 1 z 1Res lim 1 ! Res lim m mk k mz z k k z z dF z z F z z z z m dz F z z F z z z z νν νν ν ν − − − −→ − − → ⎡ ⎤⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 6 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng phương trình sai phân Hãy tìm giá trị trung bình [xk], tính từ 4 giá trị mới nhất của dãy [uk] ! Chú ý: Còn gọi là phép tính trung bình trượt. ( )1 2 314k k k k kx u u u u− − −= + + + Có thể giảm nhu cầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó: ( )1 1 2 3 414k k k k kx u u u u− − − − −= + + + Vậy: ( )1 4 1 4k k k k x x u u− −= + − Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng hàm truyền đạt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41 41 4 11 1 1 14 4 4 1k k k k zx x u u X z z X z U z z U z U z z − − − − − − −⎡ ⎤= + − ⇒ = + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ − Tiếp ví dụ 1.3.1: Thuật toán tính giá trung bình trượt có thể được mô tả bởi hàm truyền đạt sau: ( ) ( )( ) 4 1 1 1 4 1 X z zG z U z z − − −= = − Phép tính trên được gọi là thuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặc trưng cho một khâu có bản chất gián đoạn. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 7 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt Hãy tìm hàm truyền đạt của khâu tỷ lệ có quán tính bậc nhất (khâu PT1): ( ) 1 1 1 G s sT = + Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1 1 1 1 ⎛ ⎞⎟⎜= ⇒ = ⇒ = − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ t TG s H s h t e t sT s sT •Từ ảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đó tìm hàm gốc h(t) •Sau khi gián đoạn hóa hàm gốc h(t), ta tìm ảnh z của tín hiệu gián đoạn hk: ( )1 1 1 1 kT TkT k T T z zh e H z z z e − −= − ⇒ = −− − •Vậy hàm truyền đạt có dạng: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 1 T T T T T T z eG z z H z z e z e − − − − − −= − = − =− − Cách 2: •Có thể tách ảnh H(s) thành 2 phân thức tối giản: ( ) ( )1 11 1 1 1 11 TH s s ss s TT = = − ++ •Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng cách tìm ảnh của từng phân thức tối giản: ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 T T T T T T z zH s H z z z e eG z z H z z e − − − − Ζ = = −− − −⇒ = − = − 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 8 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 21 21 1 1S mm x s KG s T T T u s sT sT sT = = ≠ ≠+ + + Hãy tìm hàm truyền đạt trên miền ảnh z cho đối tượng sau: •Tách HS(s) thành các phân thức tối giản: ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 21 2 0 1; 1; 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1; 1, 2, , S m m S mm m m i j j i j j ij i j K G s T T T A AA AH s s s s s ss s s s T T TT T T A K A K i m T T T= ≠ = ≠ = = = + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ + + +⎟⎟ ⎟+ + +⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜= =− − + =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∏ " " •Chuyển HS(s) sang miền ảnh z: ( ) ( ){ }0 0 1 1 1 1 1 1 1 i m m i i S S T i i T i A A A A H s H s s zs z eT − −= = − ⎛ ⎞⎟⎜ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟= + ⇒ Ζ = +⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ − ⎜ ⎟⎟⎜ + ⎟⎜⎟ ⎝ ⎠⎜ −⎟⎜⎝ ⎠ ∑ ∑ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 9 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt ( ) ( ) ( ){ } ( )1 1 10 1 1;1 1 1 1 1 1 1 1 1 ji i TT mm m TT i i j j ii S S Tm T i A z e z A z e G z z H s z e −−− − − = = ≠=− −− = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟− + − −⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − Ζ = ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ∑∏ ∏ ∏ •Quy đồng mẫu số: •Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T1 = 10s; T2 = 7,5s; T3 = 5s Bảng: Hệ số của GS(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau 0,22608 0,26433 0,01672 -0,59381 0,10645 -0,00552 0,50712 0,15867 0,22570 0,01813 -0,76681 0,18243 -0,01312 0,40250 0,09896 0,17182 0,01746 -0,99538 0,31484 -0,03122 0,28824 0,05108 0,1086 0,01391 -1,2993 0,54723 -0,07427 0,17362 0,0186 0,0486 0,0078 -1,7063 0,958 -0,1767 0,0750 0,00269 0,00926 0,00186 -2,25498 1,68932 -0,42035 0,01399 b1 b2 b3 a1 a2 a3 ∑bi=1+∑ai 12108642T [s] Nhận xét: Khi tăng dần T •Giá trị các tham số ai nhỏ dần. •Giá trị các tham số bi tăng dần. •Tổng ∑bi=1+∑ai tăng dần. •Khi T lớn, ta có: và vì vậy có thể bỏ qua a3, b3. Mô hình ban đầu thực tế chỉ còn là mô hình bậc 2. 3 31 ;i ia a b b+∑ ∑  21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 10 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm truyền đạt Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu PT2), được điều khiển bởi tín hiệu vào có dạng bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng là động cơ một chiều (ĐCMC), được điều khiển bởi điện áp nuôi ở phần ứng. Gọi uA(t) là điện áp nuôi và n(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau: ( ) ( )( ) 21A mech mech el N s KG s U s sT s T T = = + + ( ) 12 00 6 1 1 1sec; sec; sec 5 6 8 A A mech el A J R LT T K V R cck ψψ −= = = = = =Với: J Mômen quán tính của các khối gắn vào trục ĐCMC ψ0 Từ thông (coi là const) RA Điện trở mạch phần ứng LA Điện cảm mạch phần ứng c, k Các hằng số của ĐCMC •Sau khi thay số cụ thể, ta biết rằng khâu PT2 trên có thể được thay thế bởi 2 khâu PT1, với T1 = 1sec và T2 = 0,2sec: ( ) ( )( ) 21 2 1 8 6 11 1 1 5 5 = =+ + + + KG s sT sT s s •Ta đã biết công thức: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }11S H SG z G s G s G z z H s−= Ζ ⇔ = − Ζ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 11 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.5 (tiếp) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 11 ; 1 1 8 − ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − Ζ =⎨ ⎬⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎩ ⎭ SG z K z Ks sT sT •Thay H(s) vào ta có: •Sau khi tách phân thức trong ngoặc {} thành các phân thức tối giản và áp dụng công thức (trang 17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có: ( ) ( ) 5 1 5 6 2 5 1 6 2 5 1 1 51 14 4 4 4 ; 81 T T T T T S T T T e e z e e e z G z K K e e z e z − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− + + − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =− + + •Nếu chọn chu kỳ trích mẫu là T = 0,2 sec ta có hàm truyền đạt của ĐCMC trên miền ảnh z sau đây: ( ) 1 21 20,00857 0,005751 1,18661 0,30119S z zG z z z − − − − += − + Dễ dàng kiểm tra kết quả trên bằng cách chọn tín hiệu vào U(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng ra X(z) = GS(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗi số tại các thời điểm t = 0,2k (với k = 0, 1, 2, ). Bằng cách đó có thể so sánh với tín hiệu x(t) trên miền gốc. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 12 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng mô hình trạng thái gián đoạn Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để minh họa phương thức mô tả bằng mô hình trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đối tượng SISO, mô hình có cấu trúc như hình bên. •ĐCMC có thể được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 2 (xuất phát điểm của khâu PT2 ở ví dụ 1.3.5) sau đây: 2 1 0 Aa n a n a n u •• •+ + = 3 2 2 1 0 0 0 0 8 48sec ; sec ; 8 sec 5 5 A AL J R Ja V a V a c V k k ψψ ψ= = = = = =Với: •Các biến điều khiển và biến trạng thái được chọn như sau: 1 2 ;A q n x u u q n • ⎧ = =⎪⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩ •Mô hình trạng thái có dạng bên: 1 2 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 q q a aq q q u a a a x q • • ⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪ =− − +⎨⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 13 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.6 (tiếp) •Có thể viết lại mô hình trạng thái dưới dạng ma trận: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t u t x t t •⎧⎪⎪ = +⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩ T q Aq b c q [ ]0 1 22 2 0 1 0 00 1 ; ; 1 0 ; 01 55 6 8 da a aa a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ TA b cvới: •Để tìm được phương trình chuyển trạng thái: ta cần phải tìm được Φ(t) và h(t): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 0, 1, 2,ν ν − = − + − =∫Φ Φ "  k k t k k kt t t t t t t t d u t k h q q b •Có thể tìm ma trận chuyển trạng thái bằng biến đổi Laplace ngược: ( ) ( ){ }11tt e L s −−= = −A I AΦ ( ) ( ) 1 21 6 115 6 55 6 s s s s s ss s −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = ⇒ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ I A I A•Từ: ta thu được: ( ) 5 5 5 5 51 5 5 54 t t t t t t t t e e e e t e e e e − − − − − − − − ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ Φ 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 14 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.6 (tiếp) •Có thể tính tích phân theo từng bước như sau: ( ) ( ) 0 ν ν ν ν= = = −∫ Φtt t dh b ( ) ( ) 5 50 5 5 0 1 4 1 1 5 5thay 5 5 5 4 8 32 ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ν ϑ ϑ − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⇒ =− = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ Φ t t t t t t e e e e t t d e e e e h b •Với T = tk+1 - tk ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 1 1 5 5 52 2 4 151 1 5 5 55 5 51 4 32 T T T T T T T T T T T T e e e eq k q k e e u k e e e eq k q k e e − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − ++⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạt từ mô hình trạng thái gián đoạn cho trước ( ) ( )( )det −= − Φ Φ T adj zG z z I c h I •Với mô hình: Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có: ( ) ( )1k k k T k k T T u x +⎧⎪ = +⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩ q q h c q Φ Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạn cho trước như kết quả của ví dụ 1.3.5. Hãy tìm hàm truyền đạt gián đoạn của động cơ ! 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 15 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.7 (tiếp) Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) được gọi là ma trận bù của ma trận A. Ma trận bù adj(A) có kích cỡ giống A, với các phần tử được tính theo công thức det(Aik) nhân với (-1)i+k. Trong đó, Aik là ma trận thu được từ A sau khi bỏ hàng thứ i và cột thứ k của A. ( ) ( ) ( ) 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 det+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " " " # # % # # # % # " " " " # # % # " n n n n n n nn n n nn n i k n ik ik ik n n nn a a a A A A a a a A A A adj a a a A A A a a a a a a A a a a A A A Avới: A bỏ hàng thứ i A bỏ cột thứ k 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 16 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.7 (tiếp) 5 5 5 5 5 1 1 1 4 4 4 4 5 5 1 5 4 4 4 4 T T T T T T T T z e e e e z e e z e e − − − − − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥⎢ ⎥− = ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ I Φ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 5 6 5 5 5 5 5 det 1 5 1 1 4 4 4 4 5 5 5 1 4 4 4 4 − − − − − − − − − − − − − ⎧⎪ − = − + + = − −⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎪⎪ ⎢ ⎥+ − −⇒⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥− =⎪⎪ ⎢ ⎥⎪ − + − +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎩ Φ Φ T T T T T T T T T T T T T z z e e e z e z e z e e e e adj z e e z e e I I •Với: ta tính được: •Với: ta tính đa thức tử số của hàm truyền đạt: [ ] ( ) 5 5 4 1 51 0 ; 5 5 32 T T T T e e T e e − − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ Tc h ( ) 5 5 61 5 1 1 51 8 4 4 4 4 − − − − − ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥− + + − +⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ΦT T T T T T adj z e e z e e e c I h ( ) ( )det ⎡ ⎤−⎣ ⎦ − Φ Φ T adj z z c I h I Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào: Ta sẽ thu được hàm truyền đạt GS(z) đúng như ví dụ 1.3.5. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 17 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa 2 thời điểm trích mẫu bằng phép biến đổi z mở rộng •ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điện áp dạng bậc thang với ảnh Laplace: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 81 1 5sTS HG s G s G s e s s s−= = − + + •Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức: ( )( ) 1 1 1 aT bT aT bT z b z e a z e s s a s b ab z a b a bz e z e ε ε− − − − ⎡ ⎤⎢ ⎥⇔ + −⎢ ⎥+ + − − −− −⎣ ⎦ •Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu được kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0,2 0,2 0,2 1 1,25 0,25 1,18661 1,70985 0,45468 0,30119 0,45985 0,204681, 8 0,81873 0,36788S z e e z e e e e G z z z ε ε ε ε ε ε ε − − − − − − ⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦= − − 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 18 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.8 (tiếp) ( ) ( )( ) 0,00857 0,00575 0,81873 0,36788S zG z z z += − − •Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu được hàm truyền đạt ở ví dụ 1.3.5 •Với ảnh z mở rộng của hàm truyền đạt tổng quát: ta có một công cụ để khảo sát các giá trị nằm trong khoảng giữa hai thời điểm trích mẫu ( ) ( ) ( ), ,SX z G z U zε ε= •Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bước nhẩy và ε = 0,5 (chính giữa k và k+1) ta có: ( ) ( )1U z z z= − ( ) ( )( ) 2 1 2 0,002573 0,010595 0,001156 , 1 0,81873 0,36788 z zzX z z z z ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦= − − − •Khi áp dụng phép biến đổi z ngược ta thu được tín hiệu số, cho phép tính giá trị của chuỗi [xk+½], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữa hai thời điểm trích mẫu. 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 19 1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạn có trễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang •Hãy tìm hàm truyền đạt Gd(z) của hệ có trễ ở hình dưới đây khi KS = 1, TS = 1sec: •Công thức tổng quát tính Gd(z): ( ) ( ) ( )11 1dsTsTdG z e e s s−− ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Ζ −⎨ ⎬⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭ a) Khi d = Td/T là số nguyên lần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 11 2 1 2 2 1 1 1 11 0,63211 1 1 1 1 0,3679 − − −− − − − − − − − ⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪= − Ζ = − = =⎨ ⎬⎪ ⎪+ − −⎪ ⎪⎩ ⎭ d e z zG z z z z z H z z s s e z z b) Khi d = Td/T không phải là số nguyên lần: Phải sử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta có T = 1sec và Td = 1,6 sec → Vậy: Td = (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 2 0,4 1 3 1 1 2 2 1 1 1 1 0,3297 0,30241 ;0,4 1 1 0,3679d e z e e z zG z z z H z z e z z − − − − − −− − − − − − − + − += − = =− − Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) được tiến hành với sự trợ giúp của bảng 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 20 2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương 1 1 1 1 z ww z z w − += → =+ −Ví dụ a): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0; 1;1 0 N z z a z a w wN w a a w w N w w a w w a w a a w a w a a a a a a a = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜= + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − = + + + − + − = − + + − + + + − + > •Cho trước đa thức đặc tính bên: •Thay vào N(z) thu được N1(w): 1 1 wz w += − •Nhân N1(w) với (1-w)2 thu được N2(w): Tiêu chuẩn HURWITZ -Điều kiện 1: -Điều kiện 2: Các định thức HURWITZ phải dương Ví dụ b): Dùng phép biến đổi ở trên để xét ổn định cho vòng ĐC với: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ; 1 0 0 1 1 1 S R B zb z b zG z G z K a z a z A z N z A z K B z z a b K z a b K K a b K a a b b K a a b b −− − − − − − − += = =+ + = + = ⇒ + + + + = ⎧⎪ − − −⎨⎪⎪⎪ >− + + +⎪⎪⎩ •Phương trình đặc tính: •Sau khi tìm được N2(w) và áp dụng cả 2 điều kiện: Giả sử: b1=0,1087; b2=0,0729; a1= -1,1197; a2=0,3012 Vậy: K-1 21 August 2011 Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội 21 2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số Ví dụ 2.1.2 Sử dụng quỹ đạo điểm cực Tiếp tục xét ĐCMC với tham số cho ở ví dụ 1.3.5. Hàm truyền đạt GS(z) đã tìm được ở trang 9.•Có thể GS(z) viết lại như sau: ( ) ( )( ) 5 6 5 5 5 5 4 5 1 4 51 4 4 T T T T T T T S T T e e ez e eG z K e e z e z e − − − − −− − −