Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian
Đường cong biểu diễn Điểm-curve represents points:
Điểm Biểu diễn và kiểm soát đường cong -Points represent-and control-the curve.
Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD)
11 trang |
Chia sẻ: haohao89 | Lượt xem: 2236 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Đường cong trong không gian 3D curve, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
1
(c) SE/FIT/HUT 2002
Đường cong trong không gian
3D CURVE
(c) SE/FIT/HUT 2002 2
Đường cong - Curve
Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong
không gian
Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points:
Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points represent-
and control-the curve.
Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric
Design (CAGD).
(c) SE/FIT/HUT 2002 3
Phân loại
Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và
thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
Xấp xỉ-Approximation -
Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học
Nội suy-Interpolation
Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp
với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“.
(c) SE/FIT/HUT 2002 4
Biểu diễn Đường cong
Tường minh y=f(x)
y = f(x), z = g(x)
impossible to get multiple values for a single
x
• break curves like circles and ellipses
into segments
not invariant with rotation
• rotation might require further segment
breaking
problem with curves with vertical tangents
• infinite slope is difficult to represent
Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations:
f(x,y,z) = 0
equation may have more solutions than we
want
• circle: x² + y² = 1, half circle: ?
problem to join curve segments together
• difficult to determine if their tangent
directions agree at their joint point
(c) SE/FIT/HUT 2002 5
Đường cong tham biến
Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation:
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
overcomes problems with explicit and implicit forms
no geometric slopes (which may be infinite)
parametric tangent vectors instead (never infinite)
a curve is approximated by a piecewise polynomial curve
Define a parameter space
1D for curves
2D for surfaces
Define a mapping from parameter space to 3D points
A function that takes parameter values and gives back 3D points
The result is a parametric curve or surface
0 t1
Mapping F :t → (x, y, z)
(c) SE/FIT/HUT 2002 6
Parametric Curves
We have seen the parametric form for a line:
Note that x, y and z are each given by an equation that
involves:
The parameter t
Some user specified control points, x0 and x1
This is an example of a parametric curve
10
10
10
)1(
)1(
)1(
zttzz
yttyy
xttxx
−+=
−+=
−+=
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
2
(c) SE/FIT/HUT 2002 7
Đường cong đa thức bậc ba
Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z
tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý
muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao
Why cubic?
(c) SE/FIT/HUT 2002 8
P0
P1 p2
p3
P0
P'0 P1
P'1
Đường cong bậc 3
x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3
y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3
z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3
Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình
xác định
(c) SE/FIT/HUT 2002 9
Hermite Spline
A spline is a parametric curve defined by control points
The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece
of flexible wood used to draw smooth curves
The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve
Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons
năm 60
A Hermite spline is a curve for which the user provides:
The endpoints of the curve
The parametric derivatives of the curve at the endpoints
• The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt
That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required
for higher order curves
(c) SE/FIT/HUT 2002 10
Đường cong Hermite
p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3
p(u) = ∑kiui i∈n
p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai
điểm đầu cuối của đoạn [0,1].
We have constraints:
The curve must pass through p0 when u=0
The derivative must be p’0 when u=0
The curve must pass through p1 when u=1
The derivative must be p’1 when u=1
(c) SE/FIT/HUT 2002 11
Basis Functions
A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point
by some function and summing
The functions are called basis functions
(c) SE/FIT/HUT 2002 12
Thay vào:
p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3)
+ p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3)
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ]
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
3
(c) SE/FIT/HUT 2002 13
Đường cong Bezier
Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường
cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit)
không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận
vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite).
Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF
(c) SE/FIT/HUT 2002 14
po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. diểm trung
gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp
tuyến tại điểm po và p3
p0’ = 3(p1 – p0)
p3’ = 3(p3 – p2)
p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-
u2 + u3)
p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2-3u3)
+ p2(3u2 - 3u3) + p3u3
(c) SE/FIT/HUT 2002 15
Biểu diễn Ma trận
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ]
−−
−
−
3
2
1
0
1331
0363
0033
0001
p
p
p
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
B0
B1
B2
B3
(c) SE/FIT/HUT 2002 16
Ưu điểm
dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp
tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite.
Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số
bậc tuỳ ý)
đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với
cặp hai vector của đầu cuối đó
(c) SE/FIT/HUT 2002 17
Example
Bezier Curves
[UW]
(c) SE/FIT/HUT 2002 18
Sub-Dividing Bezier Curves
P0
P1 P2
P3
M01
M12
M23
M012 M123
M0123
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
4
(c) SE/FIT/HUT 2002 19
Sub-Dividing Bezier Curves
P0
P1 P2
P3
(c) SE/FIT/HUT 2002 20
Sub-Dividing Bezier Curves
Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices.
Call them M01, M12, M23
Step 2: Find the midpoints of the lines joining M01, M12 and M12, M23. Call
them M012, M123
Step 3: Find the midpoint of the line joining M012, M123. Call it M0123
The curve with control points P0, M01, M012 and M0123 exactly follows the
original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5
The curve with control points M0123 , M123 , M23 and P3 exactly follows the
original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1
(c) SE/FIT/HUT 2002 21
de Casteljau’s Algorithm
You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar
algorithm
Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way
P0
P1 P2
P3
M01
M12
M23
t=0.25
(c) SE/FIT/HUT 2002 22
Biểu thức Bezier-Bernstain
Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát
p0 ... pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh
))(()(
)()(
1
0
1,
0
,
ii
n
i
ni
i
n
i
ni
PpuBnup
puBup
−=′
=
+
=
−
=
∑
∑
ini
ni uuinCuB
−−= )1(),()(,
)!in(!i
!n
)i,n(C −=
(c) SE/FIT/HUT 2002 23
Tính chất
P0 và Pn nằm trên đường cong.
Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc
Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại
Pn là đường Pn-1Pn .
Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các
điểm kiểm soát.
This is because each successive Pi(j) is a convex
combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) .
P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi
đường cong là đoạn thẳng.
(c) SE/FIT/HUT 2002 24
Review:
Bézier Curve Prop’s [1/6]
We looked at some properties of Bézier curves.
Generally “Good” Properties
Endpoint Interpolation
Smooth Joining
Affine Invariance
Convex-Hull Property
Generally “Bad” Properties
Not Interpolating
No Local Control
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
5
(c) SE/FIT/HUT 2002 25
Problem with Bezier Curves
To make a long continuous curve with Bezier segments
requires using many segments
Maintaining continuity requires constraints on the control
point positions
The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically
maintain continuity
The constraints must be explicitly maintained
It is not intuitive to have control points that are not free
(c) SE/FIT/HUT 2002 26
Invariance
Translational invariance means that translating the control points and then
evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve
Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating
the curve is the same as evaluating and then rotating the curve
These properties are essential for parametric curves used in graphics
It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will
study are translation and rotation invariant
Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant
Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve
(c) SE/FIT/HUT 2002 27
Longer Curves
A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves
At most 2 inflection points
One solution is to raise the degree
Allows more control, at the expense of more control points and higher degree
polynomials
Control is not local, one control point influences entire curve
Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into
piecewise cubic curves
Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic
Local control: Each control point only influences a limited part of the curve
Interaction and design is much easier
(c) SE/FIT/HUT 2002 28
Piecewise Bezier Curve
“knot”
P0,0
P0,1 P0,2
P0,3
P1,0
P1,1
P1,2
P1,3
(c) SE/FIT/HUT 2002 29
Continuity
When two curves are joined, we typically want some degree of continuity
across the boundary (the knot)
C0, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they
join
C1, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric
derivatives where they join
C2, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric
second derivatives where they join
Higher orders possible
Question: How do we ensure that two Hermite curves are C1 across a
knot?
Question: How do we ensure that two Bezier curves are C0, or C1, or C2
across a knot?
(c) SE/FIT/HUT 2002 30
Đường bậc ba Spline
Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba
độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát
hay điểm nút
Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho
n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc
cùng n-2 về độ cong
Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm
thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện
liên tục tại các điểm đầu nút
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
6
(c) SE/FIT/HUT 2002 31
Đường cong bậc ba
Spline
u0 = 0 với : (u0 ... un-1) uj+1 > uj
ui+1 = ui + di+1
C0 để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong.
C1 tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm nối.
C2 đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối
(c) SE/FIT/HUT 2002 32
Achieving Continuity
For Hermite curves, the user specifies the derivatives, so C1 is achieved
simply by sharing points and derivatives across the knot
For Bezier curves:
They interpolate their endpoints, so C0 is achieved by sharing control points
The parametric derivative is a constant multiple of the vector joining the
first/last 2 control points
So C1 is achieved by setting P0,3=P1,0=J, and making P0,2 and J and P1,1
collinear, with J-P0,2=P1,1-J
C2 comes from further constraints on P0,1 and P1,2
(c) SE/FIT/HUT 2002 33
Bezier Continuity
P0,0
P0,1 P0,2
J
P1,1
P1,2
P1,3
Disclaimer: PowerPoint curves are not Bezier curves, they are
interpolating piecewise quadratic curves! This diagram is an
approximation.
(c) SE/FIT/HUT 2002 34
B-splines
B-splines automatically take care of continuity, with exactly one control
vertex per curve segment
Many types of B-splines: degree may be different (linear, quadratic,
cubic,…) and they may be uniform or non-uniform
We will only look closely at uniform B-splines
With uniform B-splines, continuity is always one degree lower than the
degree of each curve piece
Linear B-splines have C0 continuity, cubic have C2, etc
(c) SE/FIT/HUT 2002 35
Đường cong B-spline
Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác
kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa
giác kiểm soát.
(c) SE/FIT/HUT 2002 36
B-Splines:
The Idea [1/2]
The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the
drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero
almost everywhere.
Using functions defined in pieces, we can fix these two.
Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1
or 0. When a function is 1, all the rest are zero.
So an order-1 B-spline is just a sequence of points.
Any number of control points may be used.
Now we make higher-order B-splines using a repeated-lirping procedure.
But this time, we can use any number of control points.
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
7
(c) SE/FIT/HUT 2002 37
B-Splines:
The Idea [2/2]
We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions.
As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at
zero. Each function is 0 most of the time.
So each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 1
(graph is a line).
So an order-2 B-spline is just the control polygon.
Again, any number of control points may be used.
We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions.
Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then back down.
Again, each function is 0 most of the time.
Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of
degree 2.
We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order.
See the blue book for details and graphs.
(c) SE/FIT/HUT 2002 38
Types of B-Splines Approximation Curves Used
B-Spline approximations can be classified based on the
spacing of the knot vector and the use of weights.
1. Uniform/Periodic B-splines : The spacing is
unform and the knots (control points) are equispaced e.g.
[0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack
local control and the starting and ending poits are ill
defined as above.
2. Non-periodic: The knots are repeated at the ends m
times and the interior is equispaced. e.g. [0 0 0 1 2 3 3 3
] These can be used to force the control point to start
and finish at a control point.
3. Non-uniform B-Splines : The spacing is non-
uniform and or repeated knots e.g. [0 1 1 2 4 5 6 6
] These can be used to obtain local control
B-Splines
(c) SE/FIT/HUT 2002 39
Ví dụ: Uniform Cubic B-spline on
[0,1]
Four control points are required to define the curve for 0≤t<1 (t is the
parameter)
Not surprising for a cubic curve with 4 degrees of freedom
The equation looks just like a Bezier curve, but with different basis functions
Also called blending functions - they describe how to blend the control points to
make the curve
( ) ( ) ( ) ( )3332232
1
32
0
3
0
4
6
133316
13646
13316
1
tPtttPttPtttP
tBPtP
i
ii
+−++++−+−+−=
=∑
=
)()( ,
(c) SE/FIT/HUT 2002 40
Basis Functions on [0,1]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
Does the curve interpolate its endpoints?
Does it lie inside its convex hull?
B0,4
B1,4 B2,4
B3,4
( )
( )
( )
( )33
32
2
32
1
1
32
0
6
1
33316
1
3646
1
3316
1
tP
tttP
ttP
tttPtP
+
−+++
+−+
−+−=)(
(c) SE/FIT/HUT 2002 41
Uniform Cubic B-spline on [0,1)
The blending functions sum to one, and are positive everywhere
The curve lies inside its convex hull
The curve does not interpolate its endpoints
Requires hacks or non-uniform B-splines
There is also a matrix form for the curve:
[ ]
−
−
−−
=
10001
1333
4063
1331
6
1 2
3
3210 t
t
t
PPPPtP )(
(c) SE/FIT/HUT 2002 42
Uniform - B-spline
Ni,k(u) đa thức B-Spline cơ bản
Với n+ 1 sô điểm kiểm soát
Pi điểm kiểm soát thứ i
k bậc của đường cong 1<k<n+2
Ui vector nút của đường cong U=[U1,U2...Un+k+1]
i
n
i
ki PuNuP ∑
=
=
0
, ).()(
)(
)(
)()()()( 1,
21
1
1,1
1
1
, uNUU
uUuN
UU
UuuN ki
kii
i
ki
kii
ki
ki −
−++
+
−−
−+
−+
−
−+−
−=
∈= +
others0
],[1
)( 11,
ii
i
uuu
uN
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
8
(c) SE/FIT/HUT 2002 43
Using Uniform B-splines
At any point t along a piecewise uniform cubic B-spline, there
are four non-zero blending functions
Each of these blending functions is a translation of B0,4
Consider the interval 0≤t<1
We pick up the 4th section of B0,4
We pick up the 3rd section of B1,4
We pick up the 2nd section of B2,4
We pick up the 1st section of B3,4
(c) SE/FIT/HUT 2002 44
Uniform Cubic B-spline Blending Functions
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
B0,4 B1,4 B2,4 B3,4 B4,4 B5,4 B6,4
(c) SE/FIT/HUT 2002 45
Computing the Curve
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-3
-2
.7
-2
.3 -2
-1
.6
-1
.3
-0
.9
-0
.6
-0
.2 0.
1
0.
5
0.
8
1.
2
1.
5
1.
9
2.
2
2.
6
2.
9
3.
3
3.
6 4
4.
3
4.
7
t
( ) ( )∑
=
=
n
k
kk tBPtX
0
4,
P0B0,4
P1B1,4 P2B2,4
P3B3,4
P4B4,4
P5B5,4
P6B6,4
The curve can’t start until there are 4 basis functions active
(c) SE/FIT/HUT 2002 46
(c) SE/FIT/HUT 2002 47
Đặc điểm
B-spline không đi qua hai điểm đầu và cuối trừ khi hàm hợp
được dùng là tuyến tính.
B-spline có thể được tạo qua hai điểm đầu, cuối và tiếp xúc với
vector đầu và cuối của đa giác kiểm soát. Bằng cách thêm vào
các nút tại vị trí của các nút cuối của vector tuy nhiên các giá
trị giống nhau không nhiều hơn bậc của đường cong.
Tính chất bao lồi của đa giác kiểm soát và tính chất chuẩn
được thoa mãn.
Số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển
luôn có các quan hệ ràng buộc:
0 ≤ u ≤ n - k + 2
1(u)N
n
0i
ki, =∑
=
(c) SE/FIT/HUT 2002 48
( )
≤≤= +
otherwise 0
1 1
1,
kk
k
ttt
tB
B-Spline Blending Functions
The recurrence relation starts with the 1st order B-splines,
just boxes, and builds up successively higher orders
This algorithm is the Cox - de Boor algorithm
( ) ( )
( )tB
tt
tt
tB
tt
tttB
dk
kdk
dk
dk
kdk
k
dk
1,1
1
1,
1
,
−+
++
+
−
−+
−
−
+
−
−=
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
9
(c) SE/FIT/HUT 2002 49
Bk,1
B 0,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
1(
t)
B 2,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2 .
8
-2 .
6
-2 .
4
-2 .
2 -2 -1 .
8
-1 .
6
-1 .
4
-1 .
2 -1 -0 .
8
-0 .
6
-0 .
4
-0 .
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
2,
1(
t)
B 3,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2 .8 -2 .6 -2 .4 -2 .2 -
2
-1 .8 -1 .6 -1 .4 -1 .2 -
1
-0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
3,
1(
t)
B 1,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3 -2.
8
-2.
6
-2.
4
-2.
2 -2 -1.
8
-1.
6
-1.
4
-1.
2 -1 -0.
8
-0.
6
-0.
4
-0.
2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
B
1,
1(
t)
(c) SE/FIT/HUT 2002 50
Bk,2
B 0,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-3
-2
.8
-2
.6
-2
.4
-2
.2 -2
-1
.8
-1
.6
-1
.4
-1
.2 -1
-0
.8
-0
.6
-0
.4
-0
.2 0 0.
2
0.
4
0.
6
0.
8 1
t
B
0,
2(
t)
B 1,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1