Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh
Định nghĩa Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. Định lý Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x
0
lim ( ) .
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vìx
2( ) 2 3cos f x x x
2lim 2 3cos .
x
x x
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi .0x x
Giả sử
0
( )
lim .
( )
x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
lim
Toång höõu haïn caùc VCL
Toång höõu haïn caùc VCLx x
0
lim
VCL baäc cuûa töû
VCL baä
cao nhaát
cao nhaátc cuûa maãux x
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3
lim
4
x
x x x
I
x x
2 4 2 3 3
x
x x x x
Mẫu là tổng của hai VCL:
2 4 2
x
x x x
3 3
lim
2 2
x
x
I
x
3. Liên tục của hàm số
Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định( )y f x
tại điểm này và
Định nghĩa
0x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
Nếu hàm không liên tục tại , ta nói hàm gián đoạn tại0x
Định nghĩa
điểm này.
đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).
Khi x tiến đến a.
thì f(x) tiến
đến f(a).
1) Điểm gián đoạn loại một:
Định nghĩa
Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f x0x
giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn.
x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+)
2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.
x0 là điểm nhảy: 0 0( ) ( )f x f x
bước nhảy: 0 0( ) ( )h f x f x
x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.
x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.
( )f x x
x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.
Tính chất của hàm số liên tục
Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó( ), ( )y f x y g x 0x
liên tục tại x0.1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x
2) Nếu , thì liên tục tại x0.0( ) 0g x
( )
( )
f x
g x
Nếu hàm f(x) liên tục tại và , thì tồn tại một0x
Định lý
lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.
0( ) 0f x
Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì
Hệ quả
tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
Định lý (Bozano- Côsi)
Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B( )y f x
thì tồn tại sao cho[ , ]C A B 0 ,x a b 0( ) .f x C
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
1/ hàm hằng
Định nghĩa
2/ hàm lũy thừa y x
3/ hàm mũ ; 0, 1
xy a a a
4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a
5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược
7/ hàm hyperbolic
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản
Định nghĩa
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
1
sin3 ln
2
y x
x
Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
Định lý
là hàm sơ cấp
Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
sin
0, ( )
x
x f x
x
Ví dụ
sin
, 0
( )
1, 0
x
x
f x x
x
Khảo sát tính liên tục
0 0
sin sin
lim 1 lim (0)
x x
x x
f
x x
Tại x = 0:
Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
sin
0, ( )
x
x f x
x
Ví dụ
sin
, 0
( )
1, 0
x
x
xf x
x
Khảo sát tính liên tục
0
sin
lim 1
x
x
x
Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
0
sin
lim 1
x
x
x
Bước nhảy: 0 0 1 ( 1) 2.h f f
Tập xác định:
Ví dụ
1
( ) arctanf x
x
Khảo sát điểm gián đoạn
0
1
lim arctan
2x x
Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
0
1
lim arctan
2x x
Bước nhảy: 0 0 ( ) .
2 2
h f f
\ 0fD R
Tập xác định:
Ví dụ
1
( ) arctanf x x
x
Khảo sát điểm gián đoạn
0
1
lim arctan 0
x
x
x
Tại x = 0:
x = 0 là điểm gián đoạn khử được.
0
1
lim arctan 0
x
x
x
\ 0fD R
Ví dụ
cos( / 2)
, / 2,3 / 2 , 0,
sin
( ) , 0
,
x x
x x x
x
f x a x
b x
Tìm a, b để hàm liên tục trên / 2;3 / 2
0
lim ( )
x
f x
0
cos( / 2)
lim 1
sinx
x x
x
1.a
lim ( )
x
f x
cos( / 2)
lim
sinx
x x
x
.
2
b
2
Ví dụ
2
, | | 1
( )
, | | 1
x x
f x
x ax b x
Tìm a, b để hàm liên tục trên toàn TXĐ.
1
lim ( )
x
f x
2
1
lim 1
x
x ax b a b
1 1.a b
1
lim ( )
x
f x
1
lim 1 (1)
x
x f
1
lim ( )
x
f x
1
lim 1 ( 1)
x
x f
1 1.a b
1
lim ( )
x
f x
2
1
lim 1
x
x ax b a b
Vậy a = 1, b = -1.
Tập xác định:
Ví dụ ( )
sin
x
f x
x
Khảo sát điểm gián đoạn
không tồn tại.
0
lim
sinx k
x
x
\ ,fD R k k Z
Tại 0 0 0, 0 :x k k
Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai.
Tại 0 0 :x
0
lim 1
sinx
x
x
x0 = 0 là điểm gián
đoạn khử được.
Tập xác định: R
Ví dụ
1,
( )
x
f x
x
laø soá höõu tyû.
0, laø soá voâ tyû.
Khảo sát điểm gián đoạn
Hàm không có giới hạn tại mọi điểm. (Vì sao??)
Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai.
Tập xác định: R
Ví dụ
,
( )
x x
f x
x
laø soá höõu tyû.
0, laø soá voâ tyû.
Khảo sát điểm gián đoạn
Hàm không có giới hạn tại mọi điểm khác 0.
Các điểm khác không là những điểm gián đoạn loại hai.
0
lim ( ) 0 (0).
x
f x f
Tại điểm x = 0:
Hàm liên tục tại x = 0.
I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0
Bài tập
2
1, 0
1) ( )
, 0
x x
f x
x x
0 0x
1
, 0
2) ( )
0, 0
x
f x x
x
0 0x
2
1
, 0
3) ( )
1, 0
x
f x x
x
0 0x
4) ( ) sign( 1)f x x 0 1x
II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
2
1/( 1), 0
1) ( ) ( 1) , 0 2
1 , 2
x x
f x x x
x x
1
2) ( )
cos
f x
x
| 2 |
3) ( )
2
x
f x
x
2 3
| 1|
4) ( )
x
f x
x x
/ 2x n loại hai
x= -2, điểm nhảy, h =2
x= 0: loại hai, x= 1:
điểm nhảy, h = -2
III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
arcsin
1) ( )
sin 2
x
f x
x
2) ( )
cos
x
f x
x
1
3) ( )
ln | 1|
f x
x
2/(1 )4) ( ) 3x xf x
1/| |5) xy e
x= 0, khử được
/ 2x n loại hai
x= 0, x= 2: loại hai,
x = 1: khử được
x= -1, x= 1: loại hai
x= 0, khử được
IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
2
1
1) ( ) arctanf x
x
2) ( ) sin( lg( 1))f x x x
1 1
3) ( ) ln
1
x
f x
x x
| |
4) ( )
arctan
x
f x
x
1
5)
arctan(1/ )
x
y
x
x= 0, khử được
liên tục trên MXĐ
x= 0, khử được
x= 0, điểm nhảy, h=2
x= 0, điểm nhảy, h= 4/
V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
21) ( ) ln ln(1 )f x x
22) ( ) sign( 2 3)f x x x
1/ 1/
1/ 1/
3 2
3) ( )
3 2
x x
x x
f x
5 / 3 cos
4) ( )
tan(arcsin | |)
x x
f x
x
1
5) (sin )siny x
x
x= 0, loại hai
x= -1, điểm nhảy, h = -2
x= 3, điểm nhảy, h = 2
x= 0, điểm nhảy, h = 2
liên tục trên MXĐ
x= 0, khử được
V) Tìm giá trị a để hàm liên tục
(1 ) 1
, 0,
1) ( )
, 0
nx
x n N
f x x
a x
trên R
cot(2 ), 0,| | / 2
2) ( )
, 0
x x x x
f x
a x
trên ( / 2, / 2)
(arcsin )cot , 0
3) ( )
, 0
x x x
f x
a x
trên (-1,1)
sinh
, 0
4)
, 0
x
x
y x
a x
trên R
a n
1/ 2a
1a
1a
VI) Chứng minh rằng các pt sau có nghiệm duy nhất
1) 2 1xx
2) 2xx e
23) arctan ; 0x x a a
4) sin 1, 0 1x x
VII) CMR pt có ít nhất hai nghiệm thực2 4
x x
VIII) CMR pt có vô số nghiệmsin 1/ 2x x
IX) CMR pt chỉ có một nghiệm110x x 0 1.x
