Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 2: Đạo hàm và vi phân • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .0x ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x       được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 . ' 0( )f x I. Đạo hàm Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm tại điểm x0( ) cosf x x ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x       0 0 0 cos( ) cos lim x x x x x       0 0 sin sin 2 2 lim 2 x x x x x            0sin( )x  '0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x       Ví dụ Tìm , biết 2 1sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x           ' (0)f     2 0 sin 1/ 0 lim x x x x       0 1 lim sin x x x             0 (bị chặn x vô cùng bé) Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .0x ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . ' 0( )f x Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .0x ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 . ' 0( )f x Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) Nếu , thì ta nói hàm0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x        có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 . Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi0x nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. '0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x         Ví dụ Tìm , biết 1/ , 0 ( ) 0, 0 xe x f x x      ' '(0); (0)f f  1/ 0 0 lim x x e x         ' 0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x         1/ 0 0 lim x x e x       0 Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ Tìm , biết 2( ) 3 | | 2f x x x  ' ( )f x Tại điểm x = 0: 2 2 3 2, 0 ( ) 3 2, 0 x x x f x x x x          ' 2 3, 0( ) 2 3, 0 x x f x x x        ' '(0) 3; (0) 3f f    Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0. '0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x         Ví dụ Tìm , biết ( ) sin 2f x x' '(0); (0)f f  0 sin 2 lim x x x     2 ' 0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x         0 sin 2 lim x x x     2  Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ Tìm , biết sin , 0 ( ) 1, 0 x x f x x x       ' ( )f x ' 2 cos sin , 0 ( ) ,? 0 x x x x f x x x       ' 0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x       0 sin 1 lim x x x x        20 sin lim x x x x       0 0, '0 1 arctan 2(0) lim x xf x        Ví dụ Tìm , biết 1 arctan , 0 ( ) , 0 2 x x f x x          ' '(0); (0)f f    ' 0 1 arctan 2(0) lim x xf x        1  Đạo hàm hàm hợp   ' 1. 0a    ' 12. x x     ' 3. x xe e   ' 4. sin cosx x   ' 5. cos sinx x    ' 1 6. ln x x    ' 2 1 7. tan cos x x    ' 2 1 8. cot sin x x     ' 1 '2. u u u      ' '3. u ue e u      ' '4. sin cosu u u      ' '5. cos sinu u u     ' ' 6. ln u u u    ' ' 2 7. tan cos u u u    ' ' 2 8. cot sin u u u   Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic   ' 2 1 1. arcsin 1 x x     ' 2 1 2. arccos 1 x x      ' 2 1 3. arctan 1 x x     ' 2 1 4. arccot 1 x x      ' 5. sinh coshx x   ' 6. cosh sinhx x   ' 2 1 7. tanh cosh x x    ' 2 1 8. coth sinh x x   Công thức tính đạo hàm   ' '1. u u    ' ' '2. u v u v     ' ' '3. u v u v u v       ' ' ' '4. u v w u v w u v w u v w           ' ' ' 2 5. u u v u v v v         ' ' '( ), ( ) ( ) ( ) ( )f f u u u x f x f u u x     Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp. Đạo hàm của hàm hợp Đạo hàm của hàm ngược. ' 0 ' 0 1 ( ) ( ) g y f x  Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y). ' ' 1 ( ) ( ) x y y x  Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và Ví dụ Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm 3( )f x x x  f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm ' 2( ) 1 3 0,f x x x    ' 2 1 1 ( ) 1 3 dx dy y x x    x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm ' ( ) 1/ cosh 0,x y y y   ' ' 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 sinh 1 dy y x dx x y y x       Ví dụ Tìm , biết sinh 2 y ye e x y   ' ( )y x Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dy y t dt y t y x dx x t dt x t    ( ) ( ) x x t y y t    Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số: Giả sử hàm có hàm ngược( )x x t ( )t t x Khi đó là hàm y theo biến x.( ) ( ( ))y y t y t x  ' ' ' ( ) ( ) ( ) y t y x x t   Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số 3 3cos , sin , (0, / 2).x a t y b t t      ' ' ' ( ) ( ) ( ) y t y x x t  ' 2( ) 3 cos sin 0, (0, / 2)x t a t t t      ' 2( ) 3 sin cosy t b t t 2 2 3 sin cos tan 3 cos sin b t t b t aa t t     Đạo hàm của hàm ẩn. Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x là biến, y là hàm theo x. Hàm y = y(x) với cho ẩn bởi phương trình( , )x a b nếu với .( , ) 0F x y  ( , ( )) 0F x y x  ( , )x a b  Ví dụ 2 3 cosx ye x y   Tìm , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ' ( )y x phương trình  2 ' 2 '2 ( ) 3 ( ) sinx ye y x x y x y     2 2 ' 2 3 2 ( ) sin x y x y x e y x e y       Ví dụ Tìm , biết 3( ) ln ; (2 1), 1 cos xe f x x n n Z x      ' ( )f x 1 1 1 ln ln(1 cos ) ln(1 cos ) 3 3 3 3 x xy e x x      ' 1 1 sin 3 3 1 cos x y x      ' 1 1 sin 3 3 1 cos x y x     Ví dụ Tìm , biết 2 3 4 7 1 ( ) , sin x f x x n n Z x x     ; ' ( )f x 2 4ln ln(1 ) ln 7lnsin 3 f x x x    2 ' 23 4 7 1 2 4 cos 7 3 sin1sin x x x y x xxx x           Đạo hàm hai vế ' 2 2 4 cos 7 3 sin1 f x x f x xx     Ví dụ Tìm , biết sin( ) (2 1) xf x x ' ( )f x Đạo hàm hai vế sinln ln(2 1) sin ln(2 1)xf x x x     ' 2sin cos ln(2 1) 2 1 f x x x f x      ' 2sincos ln(2 1) 2 1 x f f x x x          sin 2sin(2 1) cos ln(2 1) 2 1 x xx x x x          Có thể sử dụng: sin ln(2 1)( ) x xf x e   Định nghĩa (đạo hàm cấp cao) Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.   ''' '( ) ( )f x f x Có thể lấy đạo hàm một lần nữa của đạo hàm cấp một, ta được khái niệm đạo hàm cấp hai. Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n.   '( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao) Dùng qui nạp ta chứng minh được   ( ) ( ) ( ) 0 nn k k n k n k f g C f g      Giả sử y f g    ( ) 0 (0) ( ) 1 (1) ( 1) ( ) (0)n n n n n n n nf g C f g C f g C f g          Trong đó qui ước: (0) (0); .f f g g  Phương pháp tính đạo hàm cấp cao. 1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết 2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”. 3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là hàm đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử dụng công thức Leibnitz 4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học) Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp      ( ) 1) ( 1) ( 1) n n x a n x a              ( ) 1 1 1 ( 1) ! ( ) n n n n x a x a            ( ) 2) nax n axe a e    ( ) 1 ( 1)!3) ln ( 1) n n n n x x       ( ) 4) sin( ) sin( ) 2 n nax a ax n       ( ) 5) cos( ) cos( ) 2 n nax a ax n     Chú ý:    ( ) n ax b     ( ) ln( ) n ax b   ( ) sin( ) sin( ) 2 n nax b a ax b n         ( ) cos( ) cos( ) 2 n nax b a ax b n        ( 1) ( 1) n n ax an b             1 ( 1)!( 1) ( ) n n n n ax a b         100 (100) 99 100 2 ln(2 3) ( 1) 99! (2 3) x x     Ví dụ. 1 1 1 1 ( 2)( 2) 4 2 2 y x x x x            Ví dụ Tính , biết 2 1 4 y x   ( ) ( )ny x ( ) 1 1 1 ( 1) ! ( ) n n n n x a x a          Sử dụng công thức ( ) 1 1 ( 1) ! 1 1 4 ( 2) ( 2) n n n n n y x x           1 1 1 1 ( 2 )( 2 ) 4 2 2 y x i x i i x i x i            Ví dụ Tính , biết 2 1 4 y x   (100) (0)y ( ) 1 1 1 ( 1) ! ( ) n n n n x a x a          Sử dụng công thức ( ) 1 1 ( 1) ! 1 1 4 ( 2 ) ( 2 ) n n n n n y i x i x i           100 (100) 101 101 ( 1) 100! 1 1 4 ( 2 ) (2 ) y i i i          100 100! 4 2   1 cos2 1 cos 2 2 2 2 x x y     Ví dụ Tính biết 2siny x( ) ( ),ny x ( ) 1( ) 2 cos(2 ) 2 2 n ny x x n      ( ) 1( ) 2 cos(2 ) 2 n ny x x n    2( ) 3 1; ( ) lnf x x g x x   y f g  (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) 100 100 100( )fg C f g C f g C f g       Ví dụ Tính , biết 2(3 1) lny x x (100) (1)y Vì , nên  ( ) 0, 2 k f k   (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) 100 100 100( ) 0fg C f g C f g C f g       3 (3) (97) 100 (100) (0) 100 100C f g C f g       (100) 99 100 99! ln ( 1)x x     (100) 2 100 99 98 99! 98! 97! ( ) 1 3 1 100 6 4950 6y x x x x x             Sử dụng , ta có  ( ) 1 ( 1)!ln ( 1) n n n n x x       (99) 98 99 98! ln ( 1)x x      (98) 97 98 97! ln ( 1)x x    (100)( ) (1) 4 99! 600 98! 29700 97!y        9708 97!   2 3; cos2f x g x   Ví dụ Tính , biết (2 3) cos2y x x  (100) ( )y x (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 100 100( ) 0fg C f g C f g      (100) 0 (0) (100) 1 (1) (99) 2 (2) (98) 100 100 100( )fg C f g C f g C f g       100 99100 99(2 3) 2 cos 2 200.2 cos 2 2 2 x x x                   100 99(2 3) 2 cos2 200.2 sin 2x x x     '2 1 1 y x   Ví dụ Tính , biết arctany x(100) (101)(0); (0)y y 2 ( ) ( 1) ( 2)(1 ) 2( 1) ( 1)( 2) 0n n nx y n x y n n y           0 (0) ( 1) 1 (1) ( 2) 2 (2) ( 3) 1 1 1 0 n n n n n nC f g C f g C f g             ( ) ( 2)(0) ( 1)( 2) (0)n ny n n y      2 '(1 ) ( ) 1x y x   2 '(1 ); ( )f x g y x   Vì nên'' (0) 0y  (100) (0) 0.y  Vì nên ' (0) 1y  (101) (0) 100!y  '2 1 1 y x   Ví dụ Tính , biết arctany x(100) (101)(0); (0)y y 1 ( ) ( 1) ( 1)! 1 1 2 ( ) ( ) n n n n n y i x i x i           99 (100) 100 100 ( 1) .99! 1 1 (0) 0 2 ( ) ( ) y i i i         1 1 1 2i x i x i         100 (101) 101 101 ( 1) .100! 1 1 100! 1 1 (0) 100! 2 2( ) ( ) y i i i ii i                Định nghĩa (khả vi) Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại điểm , nếu0x 0 0( ) ( ) ( )      f x x f x A x x II. Vi phân Khi đó được gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0,A x  0( )df x A x ký hiệu Định lý Hàm số y = f(x) khả vi tại khi và chỉ khi tồn tại0x ' 0( ).f x a) Nếu f khả vi tại x0. Khi đó: 0 0( ) ( ) ( )      f x x f x A x x 0 0( ) ( ) ( )f x x f x xA x x          ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x         0 ( ) lim x x A A x            b) Ngược lại nếu tồn tại ' 0 00 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x x       '0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x x f x f x x        Suy ra f(x) khả vi tại x0. Vi phân của hàm f(x) tại x0: ' 0 0 ( ) ( )df x f x dx Tính chất của vi phân 1) 0, d R    3)    d f g df dg  4)    d f g gdf fdg 2 5)        f gdf fdg d g g Tất cả các tính chất này đều suy ra trực tiếp từ tính chất của đạo hàm.  2) ,     d f df R 0x  0x x    0( )f x   0f x x       0 0f x x f x   df(x0) thì ( ) 0x  0 0 0( ) ( ) ( )f f x x f x df x     Vi phân của hàm hợp. ( ) ( ) y y u u u x    ( ( ))y y u x  ' ( )dy y x dx Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ thuộc biến độc lập x hay biến hàm u. ' '( ) ( )y u u x dx  ' ( )y u du ' ( )dy y x dx ' ( )dy y u du Vi phân cấp một có tính bất biến. Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số ( ) ( ) x x t y y t    ' ' ' ( ) ( ) ( ) y t dy y x dx dx x t    Vi phân của hàm ẩn là hàm ẩn xác định từ pt ( )y y x ( , ) 0.F x y  ' ( )dy y x dx Ứng dụng vi phân cấp một tính gần đúng   '0 0 0( ) ( ) ( )      f x x f x f x x x là hàm khả vi trong lân cận của x0.( )y y x    '0 0 0( ) ( )f x f x f x x x   Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1.    '0 0 0( ) ( )f x f x f x x x  f df  Thay vì tính giá trị phức tạp, tính df đơn giản hơn.f a) Ví dụ Cho .3 2( ) 2 1f x x x x    a) Tính và , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01.f df b) Tính và , nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05.f df 3 2(2) 2 2 2.2 1 9f           3 2(2.01) 2.01 2.01 2. 2.01 1 9.140701f      0 0( ) ( )f f x x f x     (2.01) (2 0.14) 0701f f    ' 0 0( )df f x x x   23.2 2.2 2 0.01 0.14     b) Tương tự. 0.717625f  0.7df  Khi x thay đổi nhỏ, và càng gần nhau.f df Ví dụ a) Tìm vi phân cấp 1 tại của .3f x  b) Sử dụng a), tính gần đúng .3.98 ' 1( ) 2 3 f x x   1 2 3 df dx x    0 1x  1 1 (1) ( 1) 4 4 df dx x      1 ( ) (1) 1 4 f x f x    khi x gần 0 1x  3.98 3 0.98  x 1 (1) (0.9 )8 1 4 f   1.995 Nếu dùng máy tính: 1.99493.98 9373  '(1) (1) 1y y f x   3.98   Giá trị gần đúng  Giá trị chính xác của 3.98 Trong ví dụ này, tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số nên giá trị gần đúng luôn lớn hơn giá trị chính xác. Ví dụ Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với Thể tích hình cầu là: sai số không quá 0.05cm. Hỏi sai số lớn nhất của thể tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao nhiêu? 34 3 V r Sai số lớn nhất của thể tích là V dV  ' ( )V V r r    2 34 21 0.05 277 (cm )   21, 0.05r r   Vi phân cấp cao Vi phân (nếu có) của df(x) được gọi là vi phân cấp hai của hàm y = f(x). '( ) ( )df x f x dx là một hàm theo biến x.  2 ( )d f x d df  ' ( )d f x dx  ' ( )dxd f x   '' ( )dx f x dx '' ( )f x dxdx '' 2( )f x dx Tương tự, vi phân cấp n là vi phân (nếu có) của vi phân cấp n – 1: ( )( ) ( )n n nd f x f x dx Vi phân cấp cao của hàm hợp ( ) ( ) f f u u u x    Vi phân cấp một có tính bất biến: ' '( ) ( )df f x dx f u du  Vi phân cấp hai    2 '( )d f d df d f u du  Chú ý: dx là hằng số, du không là hằng số: ' ( )du u x dx  '2 ') ( ))( (d f dud f uu f u d d      ' 2' '( ) ( ( ))f u u du udu f u d    2 '' 2 ' 2( ) ( )d f f u du f u d u  hoặc 2 '' 2( )d f f x dx Vi phân cấp 2 không còn tính bất biến. III. Các định lý về giá trị trung bình Định lý Rolle Cho hàm y = f(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] 2) Khả vi trong khoảng (a,b) 3) f (a) = f(b)   , :c a b  ' ( ) 0f c  Định lý Fermat Hàm y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và đạt cực trị tại đó. Nếu tồn tại đạo hàm , thì ' 0( )f x ' 0( ) 0.f x  Nêu lên mối liên hệ giữa hàm y = f(x) và đạo hàm . ' ( )f x III. Các định lý về giá trị trung bình 3) Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] 2) Khả vi trong khoảng (a,b)  , :c a b  '( ) ( ) ( ) f b f a f c b a    Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x). 1) Liên tục trên đoạn [a,b] 2) Khả vi trong khoảng (a,b)  , :c a b  ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b a g c     ( ) 0, ,g x x a b   Hàm khả vi trên đoạn [1,3] và bằng 0 tại các điểm( )f x Ví dụ Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm ( ) ( 1)( 2)( 3)f x x x x    x = 1, x= 2, x = 3. Trên hai đoạn [1,2] và [2,3] đối với hàm f(x) thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý Rolle. Tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1,3) tại đó . ' ( ) 0f x  ' 2( ) 3 12 11 0f x x x    1 2 1 1 2 ; 2 3 3 c c     1 2[1,2]; [2,3]c c  ' '(1) 1 (1)f f    Khảo sát tính khả vi tại x = 1. Dùng định nghĩa tìm được  '(2) (0) ( ) 2 0 ,0 2f f f c c     ' ' 2 1 ( ) ,0 1, ( ) ,1 2f x x x f x x x         Ví dụ. Xác định giá trị trung gian c trong đlý Lagrange 23 , 0 1 2( ) 1 , 1 x x f x x x            đối với hàm trên đoạn [0,2]. Vậy f(x) khả vi, liên tục trên đoạn [0,2]. Theo đlý Lagrange 2 2 , 0 1 1 2/ , 1 2 c c c c          1/ 2 2c c   Trên đoạn [0,2], hàm khả vi và liên tục. Áp dụng đlý Lagrange, ta có: Ví dụ. Giả sử . Hỏi giá trị lớn nhất'(0) 3,( ) ( ) 5f x f x    của f(2) có thể là bao nhiêu?  '(2) (0) ( ) 2 0f f f c   '2 ( )f c '(2) (0) 2 ( )f f f c   (2) 3 2 5 7.f     Hàm liên tục và khả vi trên đoạn [a,b].( ) arctanf x x Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức arctan arctana b a b    '( ) ( ) ( )f b f a f c b a   Theo định lý Lagrange, tồn tại một hằng số  ,c a b  2 1 ( ) ( ) 1 f b f a b a c     arctan arctana b a b   IV. Công thức Taylor, Maclaurint Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0. Mục đích. Tìm một đa thức bậc n, sao cho: 1)   ( ) ( )0 0 0 0( ) ( ); 1,..., ( ) ( ) k k n nf x P x k n f x P x    2) là xấp xĩ tốt nhất cho hàm f(x) trong lân cận( )nP x của x0 ( tức là là VCB bậc cao hơn )( ) ( )nf x P x 0( ) nx x IV. Công thức Taylor, Maclaurint Định nghĩa Đa thức gọi là đa thức Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0. Taylor của hàm f(x) trong lân cận của x0   ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ! kn k n k f x P x f x x x k    Chú ý: Với một hàm có đạo hàm đến cấp n cho trước ta luôn tính được đa thức Taylor. Trong định lý sau ta thấy Pn(x) là xấp xĩ (tốt nhất) cho hàm y = f(x) (khác nhau một đại lượng là VCB bậc n + 1). Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trong lân cận     ' '' 20 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ) ! 2! ( f x f x f x x xf x x x      IV. Công thức Taylor, Maclaurint điểm . Công thức Taylor của f(x) đến cấp n tại x0 là:0x   ( 1) 1 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ! n n n n ff x x x x n x n      Phần dư thứ n: ( )nR x       ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! kn k n n n k f x f x f x x x R x P x R x k       là số nằm giữa x và x0 Từ công thức Taylor, ta có: Định lý Trong định nghĩa của công thức Taylor, ta có:   0( ) nnR x x x    ( ) ( )n nR x f x P x    ( ) ( )0 0 0 0( ) ( ), 1,..., ( ) ( ) k k n nf x P x k n f x P x    ' ( ) 0 0 0( ) ( ) ( ) 0 n n n nR x R x R x        0 0 0 ' ( ) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim 0 ! n n n n n nx x x x x x R x R x R x nx x n x x             0( ) nnR x x x   Sử dụng qui tắc Lopital n lần, ta được: Phần dư ghi ở dạng Peano     0 nnR x x x  Phần dư là một vô cùng bé bậc cao hơn  0 n x x Khi không quan tâm đến phần dư, sử dụng dạng Peano Phần dư ghi ở dạng Lagrange      